Vamos con el problema de la semana:
Demostrar que la suma de los dígitos de
(factorial de
) tiende a infinito, si
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Vale… ¿en qué base?
Supongo que en todas. Pero no me gustan nada los problemas que aluden a la representación de los números. Tienden a hacerse molestamente dependientes de la base de numeración.
Hombre, atendamos a que n! tiene a lo sumo:
1+n(1/5+1/25+…+1/(5^[log{5}n]) ceros. Luego suponiendo que el resto de cifras tiene por valor 1.
Se trata de calcular el limite de
[log{10}n]-n(1/5+1/25+…+1/(5^[log{5}n])
y observar que tiende a infinito.
Me limito tan solo a dar la idea, pues no se escribir formulas y no quiero que quede una chapuza. Espero que mi post no sea molesto.
Xavi, ese sería el numero de ceros consecutivos que n! tiene *al final*. Pero es posible que haya más ceros intercalados a la izquierda (por ejemplo, 8!=40320, 12!=479001600) así que en principio no podemos suponer que el resto de las cifras son 1.
Yo diría que puesto que
, cuando 
tiende a infinito por fuerza 
tiene que ser mayor 😉
Sigo con el problema de fijar la base de numeración. Supongamos que tenemos una base
tal que 
, donde los 
son primos.
Entonces necesitaremos
símbolos para representar cualquier número, pero 
tendría una representación tal, que habría un montón de 0’s.
Yo creo que en ese caso la suma de dígitos no tendría por qué tender a infinto, pero aún no he encontrado la demostración.
Hola a todos,
se me ha ocurrido pensar que
es múltiplo de tres. La suma de las cifras de todos los múltiplos de 3 debe ser también múltiplo de 3. ¿No hay manera de usar esta propiedad?
Como para ayudar(nos) a pensar: es válida la propiedad sin tomar el factorial ?
Es decir, ¿es verdad que «Cuando n tiene a infinito la suma de sus dígitos tiende a infinito» ?
La respuesta a la pregunta de mi comentario anterior (no seguir leyendo si prefieren pensarlo antes) es que la propiedad sólo es verdadera si se interpreta lo de «tender a infinito» para una secuencia en un sentido laxo/impropio, como sinónimo de «no estar acotada»: es obvio que la suma de los dígitos de n no está acotada cuando n tiende a infinito. Pero en el sentido «técnico», restringido, matemáticamente riguroso, una secuencia tiende a infinito cuando se mantiene por encima de cualquier dado M a partir de algún N. En este sentido, la propiedad es obviamente falsa, porque, por ejemplo,… Lee más »
En lugar de buscar la suma de los dígitos
, yo he atacado contando el número de dígitos que son diferentes de cero 
. Al fin y al cabo 
tiende a infinito si y solo si 
tiende a infinito.
Fijaros que
Yo asumo también que el límite se entiende en sentido riguroso. Es decir que se pueden encontrar cotas arbitrariamente grandes de modo que todos los números de la sucesión
son mayores que esa cota a partir de un cierto punto.
En realidad estoy trabajando en suponer lo contrario y encontrar una contradicción. Es decir, estoy suponiendo que existe una cota
de modo que se pueden encontrar 
arbitrariamente grandes con 
que no supera la cota. 
En los comentarios anteriores me refería a
y 
A ver por acá:
Supongamos que
.
es múltiplo de 999. Entonces, por extensión del criterio de divisibilidad del 9, tomando los dígitos agrupados de a 3 (o sea, pensando en base 10^3), la suma de estos numeros de 3 digitos deberia ser un múltiplo de 999. O sea, por lo menos 999. Esto implica que hay al menos 3 digitos son distintos de cero (mmm está bien esto ? no estoy seguro)…
Entonces
Sea el número de dígitos no nulos en , supondré que el límite de no tiende a infinito. De acuerdo con esta hipótesis, existe un entero y otro entero tal que . Voy a escribir la representación en base 10 de Los son dígitos enteros del 1 al 9. Los son exponentes enteros no negativos. Como mucho habrá de estos dígitos no nulos . , así que divide a , con los enteros con , así que reescribo como , , , nueves multiplicado por un entero . Se puede ver intuitivamente que no existen y que cumplan esta ecuación,… Lee más »
Si se demuestra que, si s(n) es la suma de los digitos de n, s(a)+s(b)+… >= s(a+b+…),
resulta, creo, que la suma de los dígitos de un múltiplo de 9….9 (h nueves) es mayor o igual que 9h.
Parece que Hernan y yo hemos ido por el mismo camino, pero el lo explica de un modo más intuitivo.
La clave está en suponer que
, con lo cual 
divide a 
.
Después se agrupan los digitos de
en bloques de M dígitos y la suma de estos bloques es divisible por 
. Lo único que falta es demostrar formalmente que estas suposiciones implican que al menos hay 
dígitos no nulos.
Para el caso de tres cifras, M=3 es fácil.
Yo también caí (numéricamente) en la conjetura de fede, pero no sé cómo demostrarla ni estoy seguro de que sea cierta.
Claro es que de ser cierta el problema sale de inmediato.
Hernán, si por ejemplo abc…z es la representación decimal de un múltiplo de 999, resulta que
abc + def + … = a’b’c’…h’ es multiplo de 999 y que
a’b’c + d’e’f’ + …. = a»b»c»… es múltiplo de 999, y así hasta que llegamos a un resultado de 3 digitos que será 999.
Supongamos a»b»c» = 999.
Usando s(a+b) <= s(a)+s(b) tenemos que 27=s(999) <= s(a’b’c’) + s(d’e’f’) +… =
s(a’b’c’…h’) <= s(abc) + s(def) + …. = s(abc…z).
Muy bien, hernan, gulliver, fede. Buena puntería!
Manuel, efectivamente, el problema estaba referido a base decimal.
Efectivamente la cosa estaba en notar que si un número es múltiplo de un
entonces la suma de sus dígitos es mayor o igual que 
. Y de ahí que 
Veamos, esto se ve divertido…. Así de primera mano se me ocurre lo siguiente… Por demostar: Veamos tenemos 3 posibilidades: i) S diverge ii) S converge condicionalmente iii) S converge absolutamente Resulta importante el entender que al tratarse de una suma de infinitos términos estamos hablando de un límite y no de una suma de términos común y corriente. En efecto (Un paréntisis: Esta última aclaración no tiene mucha importancia en mi argumento pero no está de más, porque, eso implica que por ejemplo, en el caso ii) la suma de los términos puede convergir a cualquier número real con… Lee más »
M: gracias, pero sin embargo no veo que hayamos logrado demostrar que «si un número es múltiplo de un entonces la suma de sus dígitos es mayor o igual que M» Samy: está mal, no se trata de analizar el límite de la serie (suma de ) sino de la secuencia (). Si de la serie se tratara, es trivial, no hace falta ver que son múltiplos de 9, basta con ver que y ya está. También está mal escribir ese límite , todo lo que mostraste es que el término es multiplo de 9, o sea, , pero no… Lee más »
En realidad el método ya está y solo quedaban algunos detalles.
Para demostrar que
hay que seguir el proceso de la suma de dos números. Para cada dígito o bien el dígito de la suma es la suma de dígitos, o bien hay que restar 10 y sumar 1 al siguiente dígito.
Se sigue con
, etcétera
Luego el procedimiento de Fede se generaliza y se llega a
, donde b es un número de M dígitos que divide a 
y por tanto 
Quería decir
Para demostrar que
hay que seguir el proceso de la suma de dos números. Para cada dígito o bien el dígito de la suma es la suma de dígitos más el posible acarreo del dígito anterior (ya descontado), o bien hay que restar 10 y sumar 1 al siguiente dígito. En el primer caso la operación individual conserva la suma de dígitos, en el segundo está restando 9 a la suma de dígitos.
Cierto Gulliver,la suma de los dígitos de un múltiplo de
es mayor o igual que 9M.
(Por cierto en el esbozo de demostración que puse para M=3, los grupos de 3 digitos han de tomarse desde la derecha…)
Gracias hernan. Se me hacía raro que fuera «tan fácil». Bueno, si planteé mal lo que había que demostrar, supongo que está todo mal. Por lo demás, analizando mi razonamiento me doy cuenta de que lo que trataba de demostrar era trivial (Disculpa, que lo hice como a las 5 de la mañana acá en Chile xD). Respecto a lo del límite, entiendo el error, pero a mi parecer es más bien un error de formalismo. Lo que pretendía decir es lo que escribí después de eso «No importa cuan grande (…) «. Como sea, retiro lo dicho xD, veré… Lee más »
Vale.
Y ahora… ¿lo podéis generalizar a cualquier base? Es que un resultado tan particular resta belleza al problema.
Samy: es verdad que el error del límite es de escritura, se entiende lo que querías decir. Gulliver, fede, M: De acuerdo, ya está demostrado. A modo de pasada en limpio/recopilación: ————————————————————– Lema 1: Sea un entero positivo, cuya representación en base decimal imaginamos particionada en dos grupos de dígitos , sea la sumatoria de los dígitos de A en esa base. Entonces (Gulliver | 5 de Noviembre de 2008 | 14:03) Ejemplos: , Obviamente, esto es generalizable a particiones múltiples o sucesivas. ————————————————————– Lema 2: Si esmúltiplo de entonces (fede | 4 de Noviembre de 2008 | 22:33) Ejemplo/demostración:… Lee más »
Lema 2: Ejemplo con M=3, debería decir
Si
es la suma de los digitos de x en base b, entonces ![\displaystyle{ S_b(n!) \ge (b-1) [log_b(n)] }](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B+S_b%28n%21%29+%5Cge+%28b-1%29+%5Blog_b%28n%29%5D+%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{ S_b(n!) \ge (b-1) [log_b(n)] }")
¿Cual es la mejor aproximación que se conoce a
?
Está bueno, Gulliver… ahora solo nos queda encontrar la distribución asintótica de frecuencia de los dígitos 🙂
Gulliver: por tanto en base 2 la suma de los dígitos es finita.. ¿no?
No, Manuel, en base dos tampoco es finita.![\displaystyle{ S_2(n!) \ge [log_2(n)] }](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B+S_2%28n%21%29+%5Cge+%5Blog_2%28n%29%5D+%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{ S_2(n!) \ge [log_2(n)] }")
Asintóticamente
tiene 
dígitos, de los cuales 
son ceros a la derecha. Suponiendo que el resto de ceros y unos son aleatorios, 
iría como 
y he visto empíricamente que se ajusta perfectamente al menos hasta 
.
[…] de los dígitos de n! (base 10) La suma de dígitos de n! se ajusta a lo esperado en el caso de que los dígitos que no son ceros a la derecha tienen una […]
Esa forma asintótica implica que los dígitos (excepto los últimos ceros) son equiprobables, ¿no? ¿Es cosa empírica?
Sí, empíricamente se ajusta bien a esa suposición. Pero no he ido más allá de las comprobaciones empíricas.
Y como se puede demostrar que si n tiende a infinito ; la suma de sus cifras tiende a infinito? Igual no es que converga sino como que luego se cae al pasar a tener un montón de ceros. Que es converger, que lio, jaja. Se supone que cuando algo converge no deberia moverse a medida que se aproxima al infinito?. saludos de un neofito.
Mas alla de lo matematico, tal vez, la intuicion nos puede dar la seguridad que necesitamos para solidificar la idea: la sumatoria de un conjunto de terminos que esta creciendo indefinidamente hasta n, es la idea, pero ¿ cual es n ?, ¿es acaso 1, 2, 3, ….1001, 110005589, ….. ?.no me dicen que sea precisamente eso. es n. si n fuera un cuerpo real objetivo y univoco, seguro que el conjunto sumatoria de su factorial tiende a un limite L . de lo contrario »n» no esta definido y crece indefinidamente y por lo tanto la sumatoria del conjunto… Lee más »
Sorry no habia leido, pero la de Hernan me parece que es estupenda. Que bakan. A proposito; y si n tiende a infinito; supongo que la seria va subiendo y bajando 0001 a 0002 a 9999 a 10000, etc; lo que no me queda claro es que se diria de la suma de digitos de n, -algo básico supongo-: cual es lo apropiado, que diverge o que converge?
Marko, la suma de los dígitos de
oscila de forma no acotada
en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence
en.wikipedia.org/wiki/Oscillation_(mathematics)