Dos perpendiculares distintas

Os dejo el problema de la semana:

Dos perpendicularesConsideramos dos circunferencias como las de la figura. Se cortan en dos puntos, Q y R.Sus diámetros son los segmentos QP y QS. Si ahora trazamos el segmento PS tenemos que dicho segmento corta a las circunferencias en los puntos M y N.

Pero se sabe que todo ángulo inscrito en una semicricunferencia es un ángulo recto. Por tanto los ángulos QNP y QMS son ángulos rectos. Pero si ahora nos fijamos en el punto Q y el segmento PS tendríamos que desde Q hemos trazado dos perpendiculares distintas a dicho segmento. ¿Verdad?

Como veis el problema de esta semana va muy en la línea de las Falacias geométricas (y II) que planteamos resolvimos hace un tiempo. A ver quién resuelve ésta.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comments

  1. «Pero se sabe que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.»

    Pero no se está aplicando ese teorema. Según me acuerdo dice que el ángulo recto es el que toca la curva, no los que forma la recta. Y en segunda, eso tampoco es verdad aquí, porque estas no son semicircunferencias, el arco puede cortar muy arriba o muy abajo (no es un diámetro).

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  2. El dibujo está forzado: los puntos M, N y R han de ser necesariamente el mismo.

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  3. Por no usar el enunciado:

    Si llamamos P’ y S’ a los centros de las circunferencias, es fácil ver que por simetría el segmento P’S’ corta a QR perpendicularmente en su punto medio. Aplicando a P’S’ una homotecia de razón 2 con centro en Q, obtenemos el segmento PS que, puesto que P’S’ pasa por el punto medio de QR, pasa por R (y es perpendicular a QR). Por lo tanto M, N y R son el mismo punto.

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  4. PQ y QS no son diámetros, sólo lo parecen. Si se dibujan diámetros «de verdad» M, N y R coinciden, como explica GNeras.

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  5. Otra forma (creo): tanto QS como QP son diámetros. Desde todos los puntos (pero sólo desde ellos) de cada circunferencia «se ven» sus respectivos diámetros bajo ángulos rectos. El único punto desde el que se ven los dos diámetros con 90º es R. Eso obliga a que P, R y S estén alineados, (pues 90º + 90º = 180º), y a que M y N, por la construcción, coincidan con R.

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  6. Ahí va una respuesta, a ver qué tal. Efectivamente QMP y QNS son ángulos rectos. Si asumimos que desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una perpendicular a ella (el 5º de Euclides, ¿no?), entonces dicha perpendicular desde Q solo puede cortar a PS en un punto, M=N. En otras geometrías quizá ocurra otra cosa. Saludos

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  7. Los centros de las circunferencias se han desplazado ligeramente hacia el circuncentro del triángulo, como ya han apuntado varios la trampa está en el propio dibujo.

    Saludos

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  8. Dados dos puntos cualesquiera, P y S, de dos circunferencias tangentes como las de la figura, no es nada obvio que los diámetros que pasan por P y S coincidan en el punto Q.

    Un saludo,

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  9. Bueno, no son tangentes, son secantes.

    Un saludo de nuevo,

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  10. Lo primero: enhorabuena, un blog muy ameno.
    Después, si se traza desde Q, no es obvio que sean diámetros. La recta QR tiene potencia cero con respecto a cualquiera de las dos circunferencias y las rectas QN y QM no son ejes radicales.

    Un saludo,

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  11. De ser ambas perpendiculares a PS el triangulo QMN tendría 2 angulos rectos, vale decir: (90º+90º+ angulo MQN)
    lo que no puede ser debido a que la suma de los angulos interiores de un triangulo es 180º, osea angulo MQN = 0º, entonces QM y QN coinciden en QR.

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  12. claramente este es un abzurdo por lo que los puntos M,N,R son necesariamente iguales

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  13. En mi opinión, el razonamiento es perfecto luego solo cabe esperar que el fallo venga del dibujo como apuntan muchos.

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  14. Si supongo que esta afirmación es cierta, por contradicción. Se tiene que las pendientes de las rectas QN y QM multiplicadas por la pendiente de PS deben ser iguales y además iguales a -1 (para que puedan ser perpendiculares). Luego, Sea P = (px,py), Q=(qx,qy), N=(nx,ny), M=(mx,my), N=(nx,ny), S=(sx,sy). Bueno si calculas las pendientes, sería: w= my-qy/mx-qx (pendiente de QM); z= ny-qy/nx-qx(pendiente de QN); y alpha= sy-py/ sx-px. Cuando haces el producto de w*alpha y de z*alpha la única manera en que sean iguales e iguales a -1 es que M=N. Por lo tanto, sólo existe una perpendicular.

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  15. Insisto en un pequeño apunte. Si el triángulo no estuviera dibujado en el plano, sino en una esfera, por ejemplo, y se hiciera coincidir el punto Q con el polo norte (para entendernos), de manera que QP, y QS fueran dos meridianos y PS un paralelo, entonces sí sería posible que todos los segmentos trazados desde Q a PS fueran perpendiculares… Los ángulos interiores del triángulo sumarían más de dos ángulos rectos. M, N y R coincidirían, al igual que en el plano, creo, pero sería posible trazar más perpendiculares.
    Saludos

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  16. El segmento QS no pasa por el centro de la circunferencia = no se corresponde con el diámetro real de dicha circunf.

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