Después de ver la demostración de la divergencia de la serie armónica os dejo dos problemas que me ha mandado al mail fede.

Problema 1

Demostrar que en su progresión hacia infinito la serie armónica no coincide nunca con un número entero, es decir, \displaystyle{\sum_{k=1}^n \cfrac{1}{k}} no es un nunca un número entero, para n > 1.

Problema 2

Demostrar que la serie obtenida de la serie armónica quitando todos los términos que contienen algún 9 en su denominador es convergente, es decir, la serie \dfrac{1}{1} + \cfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{10} + \ldots +  \cfrac{1}{18} + \dfrac{1}{20}  + \ldots + \cfrac{1}{88} + \dfrac{1}{100} + \ldots  converge.

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