Después de ver la demostración de la divergencia de la serie armónica os dejo dos problemas que me ha mandado al mail fede.
Demostrar que en su progresión hacia infinito la serie armónica no coincide nunca con un número entero, es decir, 
Demostrar que la serie obtenida de la serie armónica quitando todos los términos que contienen algún 
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El problema 2 se refiere a la omisión del dígito 9. Pienso que sería interesante mencionar, o investigar, que ocurre si se omiten los demás dígitos.
Las series que se obtienen de omitir los otros dígitos también convergen (series de Kempner).
¡Muy buenos estos problemas! La verdad es que no los conocía y por ahora tampoco se me ha ocurrido cómo ‘atacarlos’. He buscado algo acerca de las series Kempner (¡buena anotación Johannes!) y resulta sorprendente que incluso excluyendo los términos que contienen en el denominador una cadena de dígitos determinada (8237463278374273463923438 por poner un ejemplo) la serie converge. ¡Impresionante!
¿Qué pasará con el problema 2 quitando dígitos en otras bases de numeración?
Exactamente lo mismo.
En primer lugar, felicitar a fede por estos problemas tan curiosos y a Johannes por la referencia a las series de Kempner. Bueno, vamos a resolver el primer problema propuesto: Llamaremos a la n-ésima suma parcial . Sea ahora el único natural verificando que (). Entonces de cara a evaluar la suma tomamos . Ver que la máxima potencia de 2 que divide a es precisamente . Por lo tanto, , siendo un número natural. Si se asume entonces que es un número natural, llegamos a un absurdo pues dividiría a . Esto responde a la primera cuestión. Vamos ahora… Lee más »
Para resolver el segundo problema: 1) Consideremos los naturales de una sola cifra excepto el 9. La suma de los inversos está acotada por 8. 2) De los números de 2 cifras, sobreviven a la eliminación de ellos (el resto contienen al 9). Así la suma de los inversos de los números de dos cifras que no contienen al 9 en su expresión decimal la podemos acotar por . 3) Del mismo modo, números de tres cifras no contienen ningún nueve, y la suma de sus inversos se puede acotar por Y así con los números de n cifras. Por… Lee más »
Muy bien, Domingo. Yo la verdad es que no supe resolver el primer problema (sin usar el postulado de Bertrand).
Del segundo, como lo mismo pasa con cualquier dígito en cualquier base, resulta como comenta Asier que por ejemplo la suma de los inversos de los números que en su representación decimal no contengan la secuencia formada por el primer millón de digitos de
es convergente.
La serie armónica se puede describir de la siguiente forma:
para que sea un número entero debería simplificarse a:
y podríamos eliminar algún multiplicando arriba y abajo:
Finalmente si dividimos todos los productorios del numerador de la primera fórmula por i (
), obtendríamos únicamente una fracción (todas las demás divisiones tendrían un número entero). Por tanto sea cual sea el número entero que escojamos siempre habrá una fracción y no podremos obtener un número entero.
Es la primera vez que utilizo el código latex, y he tardado lo suficiente como para que se me adelantaran 😛
jejejeje, casi como Leibniz y Newton, entre otras disputas.
Estas series de Kempner implican por lo tanto que siempre existirá algun número primo que contenga cualquier secuencia de dígitos que nos podamos imaginar. Curioso, ¿no?
Juanmah sabrá perdonarme la osadía pero no veo clara su demostración, quizá no la entendí bien, pero podría darse el siguiente caso:
donde puede eliminarse el 3 del numerador y el denominador quedando:
se ha eliminado un multiplicando, pero la suma sigue sin ser un entero, con lo cual la demostración no sería válida, porque el número i seleccionado puede dividir alguno de los multiplicandos restantes.
Toro sentado, iba a comentar que no es cierto que para todos los números sea válido, ya que me dí cuenta que no era verdad.
Pero sí es cierto que si hubiera alguna i entre 2 y k para la que se dejase de cumplir la fórmula, quedaría invalidada.
De hecho, en su ejemplo la única i que invalidaría la fórmula sería el 5.
Claro que eso requiere otra demostración en la que i fuera número primo y k
Toro sentado, iba a comentar que no es cierto que para todos los números sea válido, ya que me dí cuenta que no era verdad. Pero sí es cierto que si hubiera alguna i entre 2 y k para la que se dejase de cumplir la fórmula, quedaría invalidada. De hecho, en su ejemplo la única i que invalidaría la fórmula sería el 5. Claro que eso requiere otra demostración en la que i fuera número primo y k menor que 2i. O sea, que el mayor primo del intervalo 2..k no tuviera un múltiplo. Visto de otra manera sería… Lee más »
Propongo una cuestión a ver que os parece:
¿Cual es el conjunto C de números naturales tal que la serie formada con los inversos de cualquier subconjunto de C es convergente pero la serie formada con los inversos de C es divergente?
¿Existe ese conjunto?
¿Está bien definido el problema?
Para cualquier conjunto S de naturales cuya suma de inversos sea divergente, existen subconjuntos infinitos T tales que la suma de los inversos de S-T es divergente.
Claro, si a C le quitas cualquier subconjunto finito (en particular un solo número), entonces la «subserie» sigue siendo divergente. O sea, que esa propiedad que buscas no se puede conseguir.
Sobre la cuestión que plantea Toro Sentado, se puede demostrar que cualquier conjunto de naturales cuya suma de inversos es divergente se puede particionar en un numero infinito de subconjuntos disjuntos tales que la suma de los inversos de cada uno de ellos es divergente.
Interesante propiedad la que comentas, fede. ¿Podrías dar un ejemplo? Estoy pensando en los números primos por ejemplo. ¿Cómo particionarlos en un número infinito de subconjuntos de manera que la suma de los inversos de cada uno de ellos sea divergente?
Asier, podemos dividir una sucesión cuya suma sea divergente en infinitos subconjuntos finitos de forma que la suma de los términos de cada uno sea mayor que 1.
Creamos con estos subconjuntos infinitas subsucesiones s_i divergentes así:
El primero va a la sucesión s1.
Los dos siguientes a la s1 y a la s2
Los tres siguientes a la s1, a la s2 y a la s3.
Etc
La suma de cada una de las subsucesiones así creadas crece todo lo que queramos, y no hay límite para el número de subsucesiones.
Cierto, fede, gracias por la aclaración.
Propongo otro problema relacionado: calcular la suma de los inversos de los números triangulares, es decir:
¿converge? ¿diverge?
La solución es muy sencilla, pero hay que ‘verlo’.
(Abstenerse de contestar de inmediato los que lo sepan…)
A mí aún se me ocurre otra
¿Se puede encontrar un conjunto D de números naturales, tal que, los inversos de cualquiera de sus subconjuntos con infinitos miembros, formen series también divergentes?
Creo que la respuesta es que no, es decir que todo conjunto de infinitos naturales podrá siempre dividirse en dos subconjuntos infinitos, uno cuyos inversos formen una serie divergente y el otro una serie convergente, pero no veo la demostración.
Aunque aún está el ejercicio propuesto por Asier pendiente de resolver, podríamos estudiar la siguiente cuestión
«si
es primo, entonces el numerador de la suma parcial 
contiene a 
como factor.»
Los denominadores de la serie triangular son los términos de una serie aritmética de término general:
La suma de los inversos de estos números será:
Y resulta que es convergente
Muy bien, Toro Sentado! La dificultad estaba en descomponer cada término adecuadamente como resta.
¿De dónde sacas esas perlas, Domingo? En cuanto tenga un rato lo intentaré…
Toro Sentado: en cuanto a la demostración que buscas acerca de que siempre puede encontrarse un subconjunto que converge partiendo de un conjunto infinito de naturales cuyos inversos divergen, a ver qué te parece esto: Sabemos que los inversos de los cuadrados convergen. Dado que partimos de un conjunto infinito de naturales, siempre habrá alguno que sea mayor que 4, otro mayor que 9, otro mayor que 16, etc. Ahora del conjunto infinito de naturales cogemos un número superior a 4, otro superior a 9, otro superior a 16, etc. Esto puede hacerse dado que tenemos infinitos naturales, y está… Lee más »
Vale lo entendí,
muchas gracias Asier
Ya que estamos,
se puede estudiar también la convergencia de la suma de los inversos de los números cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc…
Primero intentaré el problema de Domingo…
Mientras le daba vueltas al problema de Domingo, me parece haber encontrado otra demostración para el Problema 1, es decir, que la serie armónica no coindice nunca con un entero. Para empezar, dados n naturales consecutivos (n >= 2) partiendo del 1, está claro que solamente uno de ellos (llamémosle ) es el que mayor número de doses tiene en su factorización. Demostrar esto es sencillo (lo omito por abreviar). La serie armónica puede expresarse como una fracción de esta manera, siendo el denominador: Como hemos comentado existe un para el cual, el sumando tendrá el mínimo número de doses… Lee más »
En mi comentario anterior, al final, digo: «pues solamente pertenece a uno de los n factores que representa .». Lo que en realidad quería decir, y siendo más estricto, es: Sea la cantidad total de doses que tiene en su factorización (t >= 1). Sea la cantidad total de doses que tiene en su factorización (m >= 1). Entonces tenemos que es la cantidad de doses que tenemos que sacar como factor común para quedarnos con el sumando impar en el numerador (l >= 0). Evidentemente tenemos . Para cualquier , al dividir el denominador por , está claro que… Lee más »
Creo que ya tengo la demostración del problema de Domingo, esta tarde si tengo un momento la acabo de transcribir
Saludos
Asier, desde el principio comprendí tu idea para resolver el problema de fede (que en el fondo es lo que interesa) dejando formalismos aparte.
A por
ahora 🙂 (no hace falta usar herramientas matemáticas pesadas…)
Comentar que el recíproco de este problema que ahora nos ocupa está hoy en día sin resolver. Es decir, la proposición
«Sea
, tal que 
divide a la suma armónica parcial 
. Entonces, 
es un número primo.»
está sin demostrar o refutar. Se sabe que es cierta hasta una potencia de 10 grande.
Tal vez los problemas que ha planteado Toro Sentado han pasado algo desapercibidos. No obstante son bastante interesantes.
Tal vez si lo planteamos así llame la atención de más gente:
«Demostrar que la serie de los inversos de los números pentagonales (
) es convergente y converge al valor
El número es 0,7410187508850556…
Domingo H.A. ¿Puedes calcular el valor de convergencia de la suma(1/(3*n^2 – n) y también el valor de convergencia de la suma(1/((3*n^2 – n)/2), para n=1 hasta infinito?
La fórmula p_n = (3*n^2 – n)/2 da la secuencia de los números pentagonales.
Me parece que se te ha olvidado multiplicarlo por 2, Domingo. El resultado es justo el doble: 1,482037501770…
ah sí jejeje…efectivamente…ése es el límite
Con lo cual nos queda una expresión cerrada preciosa, debido al uso del 3:
Bueno, repasemos:
La secuencia de los números pentagonales es: 1, 5, 12, 22, 35, 51,…
Su fórmula es: p_n=(3*n^2 – n)/2.
La serie de la suma de sus recíprocos converge en el valor: 1,4820375017701112…
La secuencia de los números pentagonales multiplicados por 2 es: 2, 10, 24, 44, 70, 102,…
Su fórmula es: 2*p_n=(3*n^2 – n).
La serie de la suma de sus recíprocos converge en el valor: 0,7410187508850556…
Efectivamente Asier….precioso!! Demostrar «a pelo» esa igualdad no parece nada elemental, aunque sale bastante fácil usando las propiedades de sobre la función digamma y su valor en puntos racionales (teorema debido a Gauss!!). http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html Usando que la función digamma cumple la relación y conociendo su valor en los racionales se obtiene la fórmula ( es la constante de Euler). Y ya que estamos, conociendo como son los números hexagonales (), obtenemos que sus inversos suman, curiosamente, Para los heptagonales (), la suma sale una barbaridad que me da pereza escribir; y para los octagonales ( los inversos convergen a… Lee más »
Sería interesante entonces, obtener la expresión, más general, para el valor de convergencia de la serie de la suma de los recíprocos de los números pentagonales multiplicados por n.
Omar-P, gracias por tu interés en este tema. No sé si he entendido bien tu cuestión.
1) ¿Te refieres a sumar los inversos de
?
En este caso, la suma es
, y sale usando la función digamma y su derivada primera.
2) ¿O te refieres simplemente a
?
Ahí va la demostración del problema de Domingo: 1ª parte, demostración de que el numerador buscado es múltiplo de p: 1) Si p es primo Hay una demostración de esto en: http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/modular.html 2) Llamaré para abreviar a 3) siendo números de 1 a p-1 4) . O lo que es lo mismo todos los son diferentes entre si, y como hay exactamente p-1 de aquí se sigue el punto 5) Demostración: supongamos que existen y iguales. Entonces se daría el caso de que seria un múltiplo de p lo que se sabe que es imposible 5) Por tanto el conjunto… Lee más »
Mientras escribía la segunda parte acabo de darme cuenta de que tengo un error en mi demostración, seguiré en ello
Domingo H.A.: Me refiero a la expresión que sirve para obtener los valores de convergencia de las series de la suma de 1/(k*((3*n^2 – n)/2)).
Para k=1 corresponde a los recíprocos de los números pentagonales. Para k=2 corresponde a los recíprocos de; los números pentagonales multiplicados por 2. Para k=3 corresponde a los recíprocos de; los números pentagonales multiplicados por 3. Etc.
Por cierto hay un error en la primera parte:
2) Llamaré
para abreviar a 
Omar-P, entonces la respuesta se da en la opción 2) que indiqué antes.
Toro Sentado, errores de escritura aparte, ahora sí que estoy de acuerdo en tu demostración de que p (primo) divide al numerador de la suma parcial. Vamos ahora con
.