Hace un tiempo publicábamos en este post la siguiente igualdad:
Pero no se demostró. Ahora os propongo a vosotros que la demostréis. A ver quién es capaz.
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Partamos de que
, por lo tanto basta demostrar que 
. Pero tomando TANGENTE, basta ver que ![tan[arctan(2)+arctan(3)]=-1](https://s0.wp.com/latex.php?latex=tan%5Barctan%282%29%2Barctan%283%29%5D%3D-1&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "tan[arctan(2)+arctan(3)]=-1")
.
Pero ésto último es evidente, pues usando la fórmula de la tangente de la suma,
resulta:
Se me ha ocurrido esta visualización geométrica:
http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_13df36km
A pesar de que Tito ya ha demostrado el asunto por la vía analítica, creo que Asier está bien encaminado en dar una demostración geométrica. Lo que ocurre es que el dibujo no es muy «riguroso» jejeje
jeje no creo que la demostración geométrica tenga el mismo valor que la otra, pero aun así, ambas son muy interesantes!
El hecho es que no entiendo ni pija jjeejee sorry si hago enojar a alguien.
Como ya he dicho, mi dibujo no es una demostración sino una visualización geométrica. La demostración ya la había hecho Tito Eliatron. Además, qué esperais de un dibujo hecho con el Paint en 15 minutos? 🙂
pues yo rompo una lanza en favor de la prueba geométrica…me parece que tiene más valor formativo que la analítica. Otra cosa es que lo que ha hecho Asier haya que pulirlo algo más para que se considere correcto. Pero la idea es buena.
Cualquier demostración es buena dentro de su contexto. Y por supuesto un dibujo siempre es más «visual» que algo analítico, pero ambos tipos de pruebas se deben complementar.
Pues a mí me ha gustado la visualización geométrica, pienso que con unas palabras más, bien puestas, sería toda una demostración, e incluso podría incluirse, qué sé yo, en el libro VII de Euclides, jeje.
Un saludo
Ya tengo la demostración geométrica, a ver si a la noche saco un rato para hacer el dibujo, que ahora estoy trabajando 🙂
Aquí lo teneis, más claro el agua:
http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_16fd6628
Un mínimo apunte, ASIER, el resultado es
y no 
pues se tiene que expresar en RADIANES y no en GRADOS SEXAGESIMALES.
Eso es absolutamente irrelevante, Tito, cuestión de notación. Lo he puesto así a propósito para ver que se trata de un ángulo, para verlo más claro si cabe.
En este caso la notación es irrelevante, pero hay que tener en cuenta que no siempre lo es. Por ejemplo
en radianes, en cambio 
en grados sexagésimales.
ASIER, perdona pero NO es irrelevante. Es uno de los principales errores en los estudiantes de matemáticas, pues para hacer cuentas con ángulos hay que usar los radianes.
, resulta que 
y por tanto, 
Sino, dada la función
Aquí pongo una solución geométrica muy similar a la de Asier (perdón si el sitio al que he subido la imagen no es el más idóneo).
http://img57.imageshack.us/my.php?image=arcotan2jp6.jpg
Por cierto, con el método analítico se ve igualmente fácil que
. ¿Alguien se anima a dar una prueba geométrica de ésto?
Insisto en que es absolutamente irrelevante. Si todas las matemáticas se hubieran basado en los grados sexagesimales, serían igual de coherentes, dado que la medida para el ángulo es un convenio. Seguro que hay muchas razones prácticas para utilizar los radianes, pero no deja de ser un convenio. Es igual que utilizar los grados Celsius o Fahrenheit en la Física en lugar del Kelvin. castroman, el ejemplo que pones no tiene sentido, si tomamos grados sexagesimales nos queda por ejemplo: cos'(90º) = -sin(90º) = -1. Es decir, totalmente coherente. Tito, en el ejemplo que pones tienes que explicar de dónde… Lee más »
Un ángulo es un número, y un número es sólo eso, un número, así que no está en grados ni radianes ni nada. Sería más correcto hablar de la función arctan (grados) o arctan(radianes).
Asier, si se hubiera usado siempre la función seno (grados), y para nada la función seno (radianes) ¿hubiera podido Euler probar que la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales converge a una expresión que involucra a pi, o que e^(i*pi)-1=0?
Perdón, quería decir e^(i*pi)+1=0
Asier tiene razón, en mi opinión. En una demostración geométrica es irrelevante. De hecho en Euclides, Arquímedes y Apolonio ni grados ni radianes … y llegaron lejos. También en cálculo y análisis lo natural son radianes y hay que tener en cuenta las notaciones en determinados contextos. Hay una demostración elemental de la suma de los inversos de los cuadrados en que es irrelevante el convenio (creo recordar, pi podría aparecer como la razon entre el area de un circulo y el area de un cuadrado sobre su radio), tanto como lo es para la formula del seno de la… Lee más »
La diferencia es que el RADIAN no mide ángulos sino DISTANCIAS en la independiente (véase la definición de RADIAN) mientras el los grado SEXAGESIMALES miden la apertura.
La analogía con la temperatura no es válida.
bueno aquí pongo una construcción geométrica que ilustra que
http://img337.imageshack.us/my.php?image=arctan1ng8.jpg
Muy buena Domingo 🙂
todo esto no son sino casos particulares de la identidad
, para 
Me da pereza hacer otro dibujo pero si en mi demostración anterior tomamos el triángulo rojo como un triángulo de base 2 y altura 10 y el triángulo verde de base 2 y altura 3, nos queda la demostración para el caso que plantea Domingo.
Para demostrar la Identidad de DOMINGO de forma analítica, basta ver que