Olimpiada Matemática de Baleares 2013 – Problema 4

Hoy os traigo el cuarto problema propuesto en la Olimpiada Matemática de Baleares 2013, primer de la segunda sesión, que se celebró el 11 de enero pasado. Vamos con él:

Se escriben alrededor de un círculo siete números enteros. Demostrar que si cada uno de ellos es igual a la media aritmética de los dos que tiene a su lado entonces la suma de los siete números es múltiplo de 7.

Que se dé bien.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comments

  1. X2 = (X1 + X3) / 2 => X3 = 2 X2 – X1. Iterando y despejando para X4,…,X7,
    X6 = 5 X2 – 4 X1, X7 = 6 X2 – 5 X1. Como X1 = 2 X7 – X6,
    X1 = 7 X2 – 6 X1. O sea X2 = X1. Luego todos los Xi son iguales y la suma de siete números iguales es múltiplo de 7.

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  2. Si todos los números son iguales a n la suma será 7n, es decir, múltiplo de 7. Si al menos dos consecutivos son distintos llamémoslos x y x+d.
    Para que x+d sea la media de los que lo circundan el siguiente ha de ser x+2d. Del mismo modo pasará con los restantes que serán x+3d, x+4d, x+5d y x+6d. La suma de los siete es 7x+21d, múltiplo de 7 como queríamos demostrar, pero lamentablemente nos encontramos con que x+6d ha de ser también la media entre x y x+5d, es decir, x+3d. Esto significa que x+6d=x+3d, o sea d=0. Conclusión: todos los números han de ser iguales, lo que, como vimos al principio, cumple el enunciado.
    O no lo he entendido bien, o no me parece un problema olímpico.

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  3. Sean los números a1, …, a7. Las relaciones de media aritmética implican, para a1:
    a1+a6 = 2a7; a1+a3 = 2a2 pero también (sustituyendo en las respectivas ecuaciones para el resto de números):
    a1+a4 = 2a6; a1+a5 = 2a3.
    Sumando las cuatro igualdades y despejando a un lado a1 + … + a7, sustituyendo para dejar todo en función de a1 (usando de nuevo la ecuación de la media aritmética) se llega a que la suma de los 7 es igual a 7a1, que es un múltiplo de 7.
    Repitiendo el argumento pero empezando en otro vértice i se obtendría a1 + … + a7 = 7ai, de lo que se deduce que todos los ai son iguales.

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  4. Me sale lo mismo, una vez que estableces un sentido y si crece o decrede (d positivo o negativo) en la última relación se deduce que 7d=-d => d es 0 con lo cual todos los números son iguales.

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  5. No tienen por qué ser iguales. Ejemplo: 2 4 6 8 10 12 7.

    En la notación de JJGJJG: teniendo en cuenta que la media del séptimo número sería x+5d/2, tenemos que d ha de ser par y la suma es: 7x+(1+2+3+4+5+5/2)d=7(x+5d/2), que es múltiplo de 7.

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  6. Javier, en tu ejemplo 12 no es media aritmética de 10 y 7.

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  7. Son todos iguales, en efecto. La sucesión de números es monótona recorramos como recorramos el círculo y demos tantas vueltas como queramos, luego será constante.

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  8. Supongo que hay algo mal en el enunciado, porque es muy fácil.

    Como curiosidad, si los números se colocan en línea, de modo que el primero y el último no se unan, la suma de todos ellos también es necesariamente múltiplo de siete. Y en general, si se colocan n números (n>2), la suma es múltiplo de n.

    De todos modos no creo que este sea el error, ya que también es demasiado fácil para una olimpiada.

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  9. Sive

    creo que tu análisis no es correcto. Eso sólo es para n impar o si la diferencia es par. Por ejemplo, para n=4, los números 1,2,3,4 lo cumplirían y su suma es 10, que no es múltiplo de 4.

    Espero no ofender a nadie, pero este problema parece sacado de los paralímpicos.

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  10. Tienes razón, golvano, debo aprender a coger el bolígrafo antes de comentar.

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  11. Golvano, no corras tanto.
    Cierra el círculo y veras que (2+4)/2 no es igual a 1 y que por lo tanto tu solución no es correcta.
    Podemos demostrar que son todos iguales por reducción al absurdo, esto es:
    Sean los números a,b,c,d,e,f y g.
    Si a>b => b>c => c>d….. => f>g => g>a lo cual es imposible porque a>g por la propiedad transitiva.
    Paralímpicos 1 Golvano 0 (no te enfades :-))
    Saludos

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  12. No, la primera parte de mi comentario no se refería al problema original, sino a la variación que proponía Sive, sin cerrar el círculo.

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  13. Disculpe usted entonces Sr. Golvano
    Un saludo

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  14. Si deucarra, es que no me creo que este problema vaya a una olimpiada, así que estuve buscado muchas variantes a ver si alguna convertía este problema en algo interesante. Siento la confusión.

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  15. Hola a todos,

    yo lo había resuelto de una forma parecida a las aquí expuestas, pero sin hacer ningún cálculo ni despejar ninguna incógnita.

    Básicamente se basa en que la media aritmética de 2 números siempre es un valor intermedio a los 2 valores de los que se calcula la media. Es decir (para N_1):

    N_7 \leq N_1 \leq N_2

    ó

    N_7 \geq N_1 \geq N_2

    ya que, a priori, no podemos saber cual de los dos números adyacentes es mayor.

    Supongamos que la primera es la correcta. Al hacer el mismo razonamiento para N_2, forzosamente tendríamos que usar signos \leq para que sea consistente con la primera media aritmética. Obtendremos:

    N_7 \leq N_1 \leq N_2 \leq N_3

    Siguiendo con el razonamiento:

    N_7 \leq N_1 \leq N_2 \leq N_3 \leq N_4 \leq N_5 \leq N_6 \leq N_7

    Que solamente puede cumplirse cuando todos los N_i son iguales (=N). Igual resultado se obtendría al elegir la ecuación con los signos \geq.

    Finalmente:

    \sum_{i=0}^{7} N_i = \sum_{i=0}^{7} N = 7 N

    Que, evidentemente, es múltiplo de 7.

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  16. Por si hace falta, aclaro que ése es el enunciado tal cual me lo pasaron, no he cometido ningún error al escribirlo, y entiendo que quien me lo pasó tampoco se equivocó.

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  17. Llamando X(1),X(2),…,X(7) a los números, se tiene que: X(k)= 2X(k-1)-X(k-2) para k=3,4,5,6,7 (Esto no es mas que hacer cumplir que cada número sea igual a la media aritmética de los dos que tiene a ambos lados cuando están colocados en forma circular, es decir: X(k)+ X(k-2)= 2X(k-1)). Entonces:
    X(3)=2X(2)-X(1);
    X(4)=2X(3)-X(2)=..[OPERANDO Y DEJÁNDOLO EN FUNCIÓN X(1) Y X(2)]..=3X(2)-2X(1)
    X(5)=2X(4)-X(3)=…=4X(2)-3X(1)
    X(6)=2X(5)-X(4)=…=5X(2)-4X(1)
    X(7)=2X(6)-X(5)=…=6X(2)-5X(1)

    Por tanto X(1)+X(2)+…+X(7)= X(1)+ X(2)+ 2X(2)-X(1)+ 3X(2)-2X(1)+ 4X(2)-3X(1)+ 5X(2)- 4X(1)+ 6X(2)- 5X(1)= 21X(2)-14X(1)= 7(3X(2)-2X(1))

    Luego como puede comprobarse la suma es múltiplo siempre de 7

    Un saludo!

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  18. Sea la lista de números: {a,b,c,d,e,f,g}
    Que cumplen relaciones: [a,b,c,d,e,f,g]=[(g+b)/2, (a+c)/2, (b+d)/2, (c+e)/2, (d+f)/2, (e+g)/2, (f+a)/2]
    Ponemos cada valor en función del parámetro t: [a,b,c,d,e,f,g]=[t,9t/4,7t/2,3t,5t/2,2t,3t/2]
    Hacemos la suma: S=a+b+c+d+e+f+g=63t/4, como podemos ver 63 es múltiplo de 7.

    Nota aclaratoria: {}, para conjuntos. [], para vectores.

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  19. Soy la anterior, rectifico, la he liado poniendo los valores en función del parámetro t:

    Resolviendo,
    a=t; b=(t+c)/2 ;c=((t+c)/2+d)/2 -> c=(t+2d)/3; (…); f=(t+5g)/6; g=t.
    Creo que bien, obtengo: [a,b,c,d,e,f,g]=[t,t,t,t,t,t,t], por lo que todos los valores tienen que ser iguales dadas las condiciones. Así que la suma=7*t.

    Siento no haber verificado antes de publicar.
    Gracias por estas propuestas 🙂
    Un saludo.

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