Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 - Problema 1: Rectas concurrentes

Entre ayer, día 11 de julio, y hoy, 12 de julio, se ha celebrado en Hong Kong la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016. Comenzamos hoy a plantear en el blog los problemas propuestos en esta competición.

El enunciado del primer problema es el siguiente:

El triángulo $BCF$ es rectángulo en $B$ . Sea $A$ el punto de la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$ . Se elige el punto $D$ de modo que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz del ángulo $\langle DAB$ . Se elige el punto $E$ de modo que $EA=ED$ y $AD$ es bisectriz del ángulo $\langle EAC$ . Sea $M$ el punto medio de $CF$ . Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (con $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$ ). Demostrar que las rectas $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.

Como siempre, os pido que si veis la solución al problema en alguna web (se publicarán en muchas webs las soluciones a estos problemas) no la pongáis directamente aquí, dejad que los que no han visto la solución puedan intentar el problema por su cuenta. Muchas gracias.

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Alejandro

12/07/2016 14:57

Me parece genial la propuesta, sigo el tema de cerca gracias al Facebook oficial y al del equipo mexicano. ¿España comparte la participación del equipo nacional en alguna red social?
Ánimo a todos.

Responde

Ramon

Reply to Alejandro

17/07/2016 09:57

Comparto un intento de solución:

http://www.escaquejant.com/altres/img089.pdf

Me parece alucinante que algunos de estos chavales lo puedan haber resuelto con el poco tiempo del que disponen (si no voy equivocado, una media de media hora por problema).

Saludos,
Ramon

Bitacoras.com

12/07/2016 18:08

Información Bitacoras.com

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Aitor

24/07/2016 18:27

Un problema muy interesante y entretenido. Yo lo he resuelto asi:

http://imgur.com/H3yFiCc
http://imgur.com/iwYToiU

En la segunda foto hay una manera añternativa de hacer la conclusion del problema sin usar desargues y un dibujo con todos los angulos porque la demostracion escrita es un poco liosa; espero que no haya erratas. Formalmente creo que esta perfecta.
Como me parecia una construccion muy curiosa, me puse a cacharrear con geogebra y descubri que el punto en el que concurren es el circuncentro de MDF (os dejo que intenteis demostrarlo). ¿Se os ocurre alguna otra propiedad de este punto?