Un par de sumas de inversos de senos para resolver:
Hallar el valor de las siguientes sumas:
A ver si éstos duran algo más.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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A la primera:
0.
los terminos pares y los impares se van anulando mutuamente.
Con respecto a la primera (puntualizo el comentario de Aitor): cada seno vale
(ya que el argumento es un múltiplo par y no divisible por tres de 
. El primer término es claramente positivo. Por otro lado, es fácil ver que el término 
tiene signo opuesto al 
, ya que el «resto» que obtenemos de sustraerle al argumento del seno el máximo múltiplo de 
posible pasa de 
a 
y viceversa al multiplicar por dos. Luego si 
es par la serie vale cero. Pero si es impar queda un término descompensado que siempre tiene signo positivo y el resultado es 
De acuerdo, Pasotaman, la primera suma vale
A por la segunda…que es la que interesa…
Para el 2º, quizás sirva esta fórmula:
$latex \displaystyle sen(x/2)=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}} =
\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}$
Quizas con esta:
Usando que
La segunda tiende a infinito.
Si no me equivoco, esa suceción es similar a el línite cuando x tiende a cero de 1/sen(x), límite que da infinito. Una suma infinita de términos cada vez mayores dará como resultado infinito.
Es asi?
sí, la serie es divergente (pues el término general no tiende a cero), pero lo que se pide hallar una expresión cerrada en términos de funciones elementales para la enésima suma parcial.
Aislando
en la siguiente fórmula:
He llegado a esta otra, pero no se si puede simplificarse más:
Quizás podría tenerse en cuenta que el producto de cosenos tiende a
como se podía leer en un post anterior de Gaussianos:
https://gaussianos.com/circunferencias-concentricas-y-poligonos-regulares-inscritos/#comments
¿Qué tal si…
…?
A lo único que he podido llegar es a una sucesion de raices pero todavia no he podido visualizar una respuesta a la n-ésima suma parcial de esa serie
no usen las fórmulas trigonométricas del ángulo mitad, que eso complica todo por la presencia de raíces.
Estudien casos concretos: n=2,3,4,…y usen adecuadamente las fórmulas del ángulo doble.
Gracias Domingo, iba muy desorientado
una última pista…
y ya no digo más 🙂
Vale, creo que lo tengo
La demostración es:
Teniendo en cuenta que:
Gracias por las pistas Domingo
Me parece increible como las matemáticas son tan sorprendentes.
Resolviendo este problema me he encontrado como (haciendo un símil paisajístico) yendo por un bosque abigarrado de fórmulas y raíces, y, de repente al tomar un estrecho sendero casi inadvertido, llegar a un paisaje despejado y sencillo, haciendo desaparecer el bosque como por arte de magia.
Toro Sentado, te felicito porque yo le estaba dando vueltas y más vueltas y sólo encontraba raices dentro de otras raices. En cuanto pusiste la solución ya vi clara la demostración y el caso es que la pista daba la clave.
Pero tengo que comentarte que en la demostración has cometido un fallo, y es que mezclas «senos» con «sines», y aunque en teoría no hay diferencia entre la teoría y la práctica, en la práctica sí que la hay, jejeje.
Dentro de un bosque me hallaba, atravesando una suma de n caminos con enrevesadas sinusoidades, y cada n camino dividía en 2 durante n veces a un PInar, por los que a medida que iba avanzando me tropezaba con inoportunas raices y otros obstáculos, hasta que el GPS (Que cariñosamente llamo «Domingo») me indicó un pequeño sendero, sencillo, pero con gran identidad, que me guió, viendo cómo a medida que lo seguía las sinuosidades de los n caminos se confundían entre sí hasta desvanecerse y de repente aparecer un sencillo paisaje del cual me encontraba inversamente tangente al río n+1.
efectivamente, la respuesta es
(, y en particular la serie correspondiente diverge).
la cuestión estaba en transformar la suma original es una suma telescópica de esas que tanto nos gustan 🙂 (con cancelaciones al sumar términos consecutivos….esto se veía haciendo casos particulares)
Por cierto, ¿alguien conoce la razón exacta por la que a las series que producen cancelaciones en sus términos se las denomina «telescópicas»??
Pobrecito Hablador, tienes toda la razón con lo de los senos y sines, llevaré más cuidado la próxima vez.
Por cierto, pensando sobre este problema he encontrado una propiedad interesante, a partir de esta fórmula:
Se llega a que:
He hecho algunos cálculos y la expresión
se acerca rápidamente al valor de la cotangente.
Supongo que se llaman telescópicas por el parecido de las series con los aparatos telescópicos.
Telescópico me suena a los artilugios (antenas, mirillas, …) que pueden hacerse más largos o más cortos encajando unas piezas con otras.