Una de las ramas de las matemáticas más olvidadas (y menos estudiadas en la actualidad en niveles preuniversitarios) es la que podríamos llamar geometría sintética. Sí, nos son familiares (y se estudian) cuestiones geométricas sencillas relacionadas con los tipos de figuras planas en 2D y cuerpos geométricos en 3D, características métricas sobre ellas (áreas, volúmenes, etc) y geometría analítica, esto es, estudio geométrico a través de coordenadas cartesianas y expresiones algebraicas.

Pero la geometría moderna o superior ha quedado reducida a lo anecdótico en el ambiente académico con el paso de las décadas. Por ello, textos como el que tenéis a continuación son enormemente valiosos, porque nos recuerdan que hay una geometría maravillosa aparte de la académica referida anteriormente.

En este caso, el artículo trata del problema de Cramer-Castillon, un problema de construcciones geométricas muy interesante y con muchísima historia. Aquí, como en otros muchos casos, la Geometría Proyectiva permite una solución elegante del problema.

Los autores, Francisco Javier García Capitán y José Manuel Sánchez Muñoz, incluyen datos históricos del problema y recopilan varias de las soluciones del mismo. Para quienes estéis interesados, Francisco Javier tiene en su web un Curso de Geometría Proyectiva para un amigo que fue escrito en 2006 por José María Pedret Yebra (ingeniero naval y gran conocedor de la Geometría Proyectiva, fallecido en 2013) que seguro será de ayuda a quienes quieran introducirse en esta disciplina.

Varias soluciones al problema de Cramer-Castillon

Francisco Javier García Capitán y José Manuel Sánchez Muñoz
30 de junio de 2025

En el fascinante mundo de la geometría, pocos desafíos son tan intrigantes como el problema de Cramer-Castillon:

Imagina una circunferencia y tres puntos, independientes unos de otros, dispersos aleatoriamente en el plano. La pregunta que surge es: ¿resulta posible encontrar un triángulo cuyos lados no solo se inscriban en dicha circunferencia, sino que también pasen exactamente (ellos o sus prolongaciones) por estos puntos dados?

Este dilema no solo despierta la curiosidad matemática, sino que también nos invita a explorar las profundas interacciones entre formas y espacios.

A lo largo de este artículo, desentrañaremos las complejidades del problema y descubriremos las condiciones necesarias para la construcción de este triángulo ideal. A medida que avanzamos, veremos cómo este enigma geométrico se conecta con conceptos más amplios en la teoría de la geometría euclidiana y sus aplicaciones prácticas. Prepárate para sumergirte en un viaje donde la lógica y la creatividad se entrelazan, revelando la belleza oculta detrás de una simple pregunta geométrica.

Un poco de historia

Ya en el siglo IV, Papo de Alejandría abordó el caso específico de este problema en la situación en que los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) estén alineados. El suizo Gabriel Cramer trabajó varios años en la propuesta generalizada. En 1742, le comentó sus investigaciones al joven matemático italiano (residente en Berlín) Giovanni Salvemini, apodado Castiglione (en español Castillon) por ser el nombre del pueblo toscano en el que nació. Tras algo más de treinta años de investigaciones, en 1776 el italiano encontró una solución geométrica que mereció su publicación en las actas de la Academia de Berlín (véase Ostermann & Wanner, 2012, pp. 175-178).

El problema fue también estudiado por geómetras posteriores como el francés Joseph L. Lagrange, que encontró una solución analítica que mostró a Castillon solo un día después de su presentación en la Academia de Berlín. Dicho trabajo ponía de manifiesto el potencial del método analítico (véase Wanner, 2006). Años más tarde, en 1803, la solución de Lagrange fue simplificada por su coterráneo Lazare Carnot, como veremos más adelante.

En los años posteriores, fueron varios los geómetras que dedicaron sus esfuerzos al problema, como por ejemplo el italiano Gianfrancesco Malfatti o el ítalo francés Annibale Giordano, que dedujo una elegantísima solución con tan solo dieciséis años de edad. Sin embargo, a finales del siglo XVIII no se podía sospechar aún cuán trivial resulta este problema tratado por los métodos de la geometría proyectiva que iniciaría el francés Jean-Victor Poncelet a comienzos del siglo XIX.

José María Pedret Yebra (Priego de Córdoba, may. 2006).
Foto cortesía de F. J. García Capitán.

En España, el ejercicio fue propuesto en 2003 como problema 82 en la célebre y añorada página triánguloscabri. Propusieron soluciones al mismo Saturnino Campo y François Rideau.

En 2004, con motivo de la propuesta del problema 200, nuestro admirado José María Pedret Yebra presentó en un brillante ensayo la construcción general del problema para una cónica.

En 2008, Pedret volvió de nuevo a la carga elaborando una solución por conjugación. Como en su solución anterior, ésta viene precedida por toda una fundamentación teórica (véase Pedret Yebra, 2008).

Solución con haces proyectivos

La resolución del problema que vamos a exponer puede encontrarse en Díaz Hernando (2015).

Haciendo uso de las series y haces proyectivos, vamos a considerar tres puntos arbitrarios \(D\), \(E\) y \(F\) sobre la circunferencia \(\mathcal{C}\), de manera que vamos a obtener sus transformados sobre la misma, haciendo pasar rayos desde dichos puntos que pasen a su vez por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) dados. Se obtienen finalmente los puntos transformados \(D’\), \(E’\) y \(F’\) (véase la figura 1).


Figura 1.

Vamos a obtener el eje de la proyectividad definida en la circunferencia \(\mathcal{C}\). Se obtienen tres puntos de dicho eje \(p\) haciendo \(DE’\cap D’E\), \(DF’\cap D’F\) y \(EF’\cap F’E\) (véase la figura 2). Los puntos \(N\) y \(P\), intersección del eje de proyectividad \(p\) con la circunferencia \(\mathcal{C}\), son puntos dobles de la proyectividad definida, por lo tanto, son vértices de los triángulos inscritos a dicha circunferencia que se buscan.


Figura 2.

Finalmente, basta trazar desde \(N\) un rayo que pase por el punto \(A\), de manera que de su intersección con la circunferencia \(\mathcal{C}\) resulta el segundo vértice \(Q\) del triángulo buscado. Trazando un rayo desde \(Q\) que pase por \(C\) se obtiene \(R\), tercer vértice del triángulo buscado. De la misma manera, se utiliza una construcción similar para obtener el \(\triangle PST\), segundo triángulo buscado (véase la figura 3).


Figura 3. Triángulos inscritos resultantes.

Observaciones finales

  1. Obsérvese que de manera general pueden existir dos, una o ninguna solución posible al problema planteado dependiendo de si el eje de la proyectividad establecida es secante, tangente o no corta, respectivamente, a la circunferencia dada.
  2. Dado el carácter proyectivo de las cónicas, el problema se podría haber planteado con cualquiera de ellas (elipse, hipérbola o parábola).
  3. Cabe comentar que, permutando el orden de puntos elegidos, resultan tres ejes de proyectividad distintos que dan lugar a distintos pares de puntos, que son los distintos vértices de los triángulos solución resultantes.

Solución con conjugación

El lector puede leer un ensayo extenso sobre la solución por conjugación que vamos a mostrar aquí en Pedret Yebra (2008).

A continuación, exponemos la construcción (véase la figura 4):

  1. Trazamos el \(\triangle A’B’C’\) conjugado del \(\triangle ABC\) respecto de la circunferencia \(\mathcal{C}\) dada. Los lados del triángulo conjugado referido son las polares de \(A\), \(B\) y \(C\) respecto la circunferencia.
  2. Las rectas \(AA’\), \(BB’\) y \(CC’\) cortan el triángulo conjugado en los puntos \(D\), \(E\) y \(F\), respectivamente.
  3. Las rectas \(DE\), \(EF\) y \(FD\) cortan la circunferencia dada en los puntos \(N\), \(P\), \(R\), \(T\), \(Q\) y \(S\), respectivamente, de manera que \(\triangle NRQ\) y \(\triangle PTS\) son los triángulos inscritos a la circunferencia \(\mathcal{C}\) buscados.


Figura 4. Solución por conjugación.

Solución mediante construcción geométrica

La construcción que se va a exponer a continuación aparece en Carréga (1989, pp. 98-101). Vamos a utilizar para ello una configuración de puntos ligeramente distinta a la propuesta en las dos soluciones anteriores, de manera que los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) serán en este caso exteriores a la circunferencia \(\mathcal{C}\) (véase la figura 5).


Figura 5.

Sea \(O\) el centro de la circunferencia \(\mathcal{C}\) dada y supongamos que los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) dados están sobre los lados \(MP\), \(PN\) y \(NM\) (o sus prolongaciones en el caso propuesto), respectivamente.

  1. Supongamos que la paralela a \(AB\) por el punto \(N\) corta a la circunferencia \(\mathcal{C}\) en el punto \(E\) y que la recta \(EM\) corta a \(AB\) en el punto \(F\). Veamos que \(F\) está determinado por los datos del problema.

En efecto, \(\measuredangle MPN=\measuredangle MEN\), ya que ambos son ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo segmento \(MN\), y \(\measuredangle MEN=\measuredangle MFA\), ya que son ángulos alternos internos y \(EN\parallel AB\). En consecuencia, los triángulos \(PAB\) y \(FAM\) son semejantes, y resulta

\[
AF\cdot AB=AM\cdot AP=P_{F|\mathcal{C}},
\]

donde con \(P_{F|\mathcal{C}}\) denotamos la potencia de \(F\) respecto de \(\mathcal{C}\).

La figura 6 muestra cómo construir el punto \(F\). Basta trazar una secante por \(A\) a la circunferencia \(\mathcal{C}\) y construir la circunferencia que pasa por los dos puntos de intersección y también por el punto \(B\) dado. Entonces, dicha circunferencia cortará a \(AB\) en \(F\).


Figura 6.

  1. Supongamos que la paralela por \(N\) a \(FC\) corta a \(\mathcal{C}\) en el punto \(G\) y que la recta \(EG\) corta a \(FC\) en el punto \(H\). Si \(E=G\), se sustituye la recta \(EG\) por la tangente a \(\mathcal{C}\) trazada por \(E\). Como en el apartado anterior, con ayuda de los triángulos semejantes \(EFH\) y \(CFM\) se demuestra que
    \[
    FH\cdot FC=P_{F|\mathcal{C}}.
    \]
  2. Demostremos que la cuerda \(EG\) puede construirse también a partir de los datos del problema, usando \(F\) y \(H\). La cuerda \(EG\) se ve desde \(N\) bajo el ángulo \(\measuredangle GNE\), que es uno de los ángulos formados por las rectas \(FB\) y \(FC\). Sea \(K\) el punto de la semirrecta \(FB\) tal que \(FK\) es igual al radio de \(\mathcal{C}\).

Entonces, la circunferencia de centro \(K\) que pasa por \(F\) corta a \(FB\) y \(FC\) en puntos \(\beta\) y \(\gamma\) tales que la cuerda \(\beta\gamma\) mide lo mismo que \(EG\). De ello resulta que, si \(\delta\) es el punto medio de la cuerda \(\beta\gamma\), la cuerda \(EG\) es tangente a la circunferencia de centro \(O\) y radio \(K\delta\). Esto da una construcción de \(EG\) trazando una tangente que pasa por \(H\) a la circunferencia de centro \(O\) con radio \(K\delta\).

En síntesis, la construcción propuesta (véase la figura 7) se resume de este modo:

  1. Se construye \(F\) sobre \(AB\) tal que \(AF \cdot AB=P_{A|\mathcal{C}}\).
  2. Se construye \(H\) sobre \(FC\) tal que \(FH \cdot FC=P_{F|\mathcal{C}}\).
  3. Se construye \(K\) sobre la semirrecta \(FB\) tal que \(FK\) es el radio de \(\mathcal{C}\). A continuación, se construye la circunferencia con centro \(K\) que pasa por \(F\), que cortará \(FB\) en \(\beta\) y a \(FC\) en \(\gamma.\) Llamamos \(\delta\) al punto medio de \(\beta\gamma\).
  4. Se construye la circunferencia con centro \(O\) y radio \(K\delta\).
  5. Se trazan tangentes a esta circunferencia desde \(H\). Estas tangentes cortan a \(\mathcal{C}\) en
    cuatro puntos. Llamamos \(E\) a uno de esos puntos. Es posible que en dicha elección tengamos que hacer varios intentos para elegir el punto \(E\) «adecuado» que haga posible la inscripción del triángulo que se busca en \(\mathcal{C}\).
  6. La recta \(EF\) corta a \(\mathcal{C}\) en \(M\), la recta \(MC\) corta a \(\mathcal{C}\) en \(N\) y finalmente la recta \(MA\) corta a \(\mathcal{C}\) en \(P\).


Figura 7.

Observaciones finales

  1. Como el punto \(E\) debe elegirse entre cuatro posibles (dos por cada tangente que interseca con \(\mathcal{C}\)), es probable que tengamos que realizar varios intentos hasta dar con el punto \(E\) que resulta adecuado de entre esos cuatro.
  2. El método usado aquí es perfectamente válido en el caso particular que los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) estén alineados. En dicho caso, el análisis que se ha realizado refleja que los puntos \(E\) y \(G\) coincidirán, y la recta \(EG\) se sustituye por la tangente a \(\mathcal{C}\) en \(E\). La síntesis se simplifica en gran medida, ya que la circunferencia con radio \(K\delta\) coincidirá entonces con \(\mathcal{C}\).
  3. El problema se puede generalizar a la construcción de un polígono de \(n\) lados inscrito en una circunferencia dada, pasando los lados de dicho polígono por los \(n\) puntos dados. Además, se puede generalizar también cambiando la circunferencia por una cónica.

Solución analítica

La solución analítica que vamos a presentar aquí se basa en los trabajos del francés Carnot que, como ya se ha comentado, simplificó el método analítico utilizado por Lagrange unos años antes (véase Carnot, 1803). La fundamentación teórica se puede consultar en Wanner (2006).

La transformación de Möbius

La principal herramienta que utilizaremos es la denominada transformación de Möbius \(u\mapsto v\) donde

\[
v=\frac{pu+q}{ru+s}\qquad\text{o}\qquad \begin{pmatrix}v\\1\end{pmatrix}=K \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\1\end{pmatrix},\quad K\in\mathbb{R},\tag{1}
\]

con \(p\), \(q\), \(r\), \(s\) parámetros conocidos. La expresión permite un factor de escala en el producto matricial.

Carnot descubrió que la composición de dos de estas transformaciones

\[
u_2=\frac{p_1u_1+q_1}{r_1u_1+s_1}\,,\quad
u_3=\frac{p_2u_2+q_2}{r_1u_2+s_2}=\frac{pu_2+q}{ru_2+s}\,,
\tag{2}
\]

donde

\[
\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}p_2&q_2\\r_2&s_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}p_1&q_1\\r_1&s_!\end{pmatrix}
\]

resulta nuevamente en una transformación de Möbius cuyo nuevo coeficiente matricial se trata del producto de dos matrices de coeficientes. Un resultado análogo resulta verídico para las operaciones inversas, y las transformaciones con \(ps-qr\neq 0\) forman un grupo.

La aplicación definida por la expresión (1) resulta una involución (es decir, su propia inversa) si y solo si \(s=-p\).

Procedimiento

El descubrimiento crucial de Carnot consistió en el hecho de que su método simplificaba enormemente los cálculos a realizar si las tangentes de ciertos semiángulos son utilizadas como coordenadas. Esto nos lleva a las «coordenadas pitagóricas» en la circunferencia (que suponemos de radio unidad)1, como se muestra en la figura 8.

\[
u=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right),\qquad x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\,,\qquad y=\frac{2u}{1+u^2}\,.
\]

El punto \((x,y)\) se mueve sobre la circunferencia en sentido horario para \(-\infty < u < \infty \) (y los valores tienen conexión con las ternas pitagóricas \(\{1-u^2,2u,1+u^2\}\), de ahí el nombre).


Figura 8. Coordenadas pitagóricas sobre la circunferencia (izqda.) y
la involución de la circunferencia respecto a un punto dado (drcha.).

La idea es la que sigue: se comienza desde un punto \(B_1\) arbitrario de coordenadas \(u_1\) y se calcula su proyección \(B_2\) sobre la circunferencia desde el punto de coordenadas conocidas \(A_1=(a_1,b_1)\). Entonces, se calculan sucesivamente los puntos \(B_3\), \(B_4\), \(\ldots\) de manera similar satisfaciendo finalmente que \(B_{n+1}=B_1\).

La colinealidad de \(B_1\), \(B_2\) y \(A_1\) se caracteriza mediante

\[
\begin{vmatrix}
\frac{1-u_1^2}{1+u_1^2}&\frac{2u_1}{1+u_1^2}&1\\
\frac{1-u_2^2}{1+u_2^2}&\frac{2u_2}{1+u_2^2}&1\\
a_1&b_1&1
\end{vmatrix}=0
\qquad\text{o}\qquad
\begin{vmatrix}
1-u_1^2&2u_1&1+u_1^2\\[1mm]
1-u_2^2&2u_2&1+u_2^2\\[1mm]
a_1&b_1&1
\end{vmatrix}=0,
\]

que cuando se multiplica y se divide por un factor trivial \(u_2-u_1\), resulta

\[
u_2=\frac{-bu_1+1-a_1}{-(a_1+1)u_1+b_1}\qquad\text{o}\qquad
\begin{pmatrix}
u_2\\1
\end{pmatrix}=K\begin{pmatrix}
-b_1&1-a_1\\-a_1-1&b_1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1\\1
\end{pmatrix},\quad K\in\mathbb{R},
\]

que es una transformación de Möbius. Repitiendo el proceso para el polígono de \(n\) lados y aplicando la expresión (2), se observa que, multiplicando todas estas matrices, se llega a la condición

\[
u_{n+1}=u_1=\frac{au_1+b}{cu_1+d}\,,
\]

donde

\[
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-b_n&1-a_n\\-a_n-1&b_n
\end{pmatrix}\cdots\begin{pmatrix}
-b_1&1-a_1\\-a_1-1&b_1
\end{pmatrix}.
\]

Esto representa una ecuación cuadrática en \(u_1\) que normalmente tiene dos posibles soluciones.

Caso práctico

Vamos a ver un ejercicio algo más general al inicialmente propuesto. Consideramos la circunferencia \(\mathcal{C}\) de radio unidad centrada en el origen de coordenadas y los puntos \(A_1=(1{,}5; 1)\), \(A_2=(-1{,}5; 1{,}5)\), \(A_3=(-0{,}5; -0{,}5)\) y \(A_4=(-2; -0{,}7)\). Vamos a construir el cuadrilátero inscrito en \(\mathcal{C}\) cuyos lados pasan por los puntos \(A_i\) dados.

En primer lugar, vamos a obtener la matriz de la transformación de Möbius:

\[
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0{,}7&3\\1&-0{,}7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0{,}5&1{,}5\\-0{,}5&-0{,}5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1{,}5&2{,}5\\0{,}5&1{,}5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1&-0{,}5\\-2{,}5&1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7{,}375&-4{,}3\\-11{,}9&5{,}075
\end{pmatrix}.
\]

Por lo tanto, se tiene que

\[
u_1=\frac{7{,}375u_1-4{,}3}{-11{,}9u_1+5{,}075}\implies -11{,}9u_1^2-2{,}3u_1+4{,}3=0\implies\begin{cases}u_1\approx-0{,}7055,\\u_1\approx 0{,}5122.\end{cases}
\]

Para obtener el punto \(B_1\) (primer vértice del cuadrilátero buscado), basta obtener la intersección de la recta que pasa por los puntos \(A=(-1,0)\) y \(B=(0;-0{,}7055)\), o \(C=(0;0{,}5122)\) con la circunferencia \(\mathcal{C}\). El punto \(B_2\) se obtendrá de la intersección de la recta \(A_1B_1\) con \(\mathcal{C}\). De forma similar, los vértices \(B_i\) del cuadrilátero resultan de la intersección de las rectas \(A_{i-1}B_{i-1}\) con \(\mathcal{C}\) (véase la figura 9).


Figura 9. Dos soluciones posibles al problema propuesto.

Obsérvese en las soluciones obtenidas que no siempre se garantiza que los polígonos resultantes sean convexos.

Implementación del algoritmo en Mathematica©

Parametrización de la circunferencia unidad

Suponemos, sin pérdida esencial de generalidad, que la circunferencia dada es la circunferencia unidad. Usamos la conocida parametrización racional de la circunferencia unidad que viene dada por las fórmulas de sustitución de Weierstrass. 


f[u_]:=Simplify[{(1-u^2)/(1+u^2),(2u)/(1+u^2)}]

Definimos una función que expresa que tres puntos están alineados.

Puntos alineados


EstanAlineados[ptA_, ptB_, ptC_] := Det[{ptB-ptA, ptC-ptA}] == 0

Ahora partimos de A1 = (a1, b1) y B1 = f(u). Queremos hallar v tal que f(v) sea la segunda intersección B2 de A1B1 con la circunferencia unidad.


Clear[u]
Solve[EstanAlineados[{a1, b1}, f[u], f[v]], v]

Así, obtenemos

\[
v = \frac{{1 – a_1 – b_1 u}}{{b_1 – (1 + a_1 )u}}\,.
\]

Expresión matricial

Este resultado lo podemos expresar en forma matricial


m[{a_, b_}] := {{-b, 1-a}, {-a-1, b}}
SiguientePaso[u_, ptA_] := Factor[Apply[Divide, m[ptA].{u, 1}]]

También podemos hacer una definición directa usando la fórmula anterior 


SiguientePaso[u_,{a_,b_}]:=Factor[(1-a-b u)/(b-u-a u)]

Cálculo de los puntos sucesivos

Ahora, partimos de u1 arbitrario, y a partir de él y de los puntos de partida A1, A2, A3 hallamos u2, u3 y u4 


ptA1 = {3, 1}; 
ptA2 = {-1/3, 0}; 
ptA3 = {-1, -3/2};
ptB1 := f[u1];
ptB2 := f[u2];
ptB3 := f[u3];
u2 = SiguientePaso[u1, ptA1]
u3 = SiguientePaso[u2, ptA2]
u4 = SiguientePaso[u3, ptA3]

Obligamos a que sea u4 = u1, que resolverá nuestro problema, resultando en general dos soluciones. 


solu1 = Solve[u4 == u1, u1]

Gráficos


instr = {PointSize[0.02],
	Directive[{FontFamily → "Palatino Linotype", FontSize → 12, 
	FontSlant → Italic}],
	InfiniteLine[{ptA1, ptB1}],
	InfiniteLine[{ptA2, ptB2}],
	InfiniteLine[{ptA3, ptB3}],
	Blue, Circle[{0, 0}, 1], Map[Point, {ptA1, ptA2, ptA3}],
	Text["A1", ptA1, {0, -1.5}],
	Text["A2", ptA2, {0, -1.5}],
	Text["A3", ptA3, {0, 1.5}],
	Red, Map[Point, {ptB1, ptB2, ptB3}],
	Text["B1", ptB1, -ptB1],
	Text["B2", ptB2, -ptB2],
	Text["B3", ptB3, -ptB3]
	};
Grid[{Map[Graphics, instr /. solu1]}]

Ejemplo con cuatro puntos


A = {{3, 1}, {-1/3,0}, {-1,-3/2},{2,-2}};
u = FoldList[SiguientePaso, u1, A]
	solu1 = Solve[Last[u] == u1, u1]
	Linea[a_, b_] := InfiniteLine[{a, b}]
	instr2 ={PointSize[0.02],Directive[{
				FontFamily → "Palatino Linotype",
				FontSize → 12, FontSlant → Italic}],
	MapThread[Linea, {A, Map[f, Drop[u, -1]]}],
	Blue, Circle[{0, 0}, 1],
	Table[Text[Subscript["A", i], A[[i]], -0.7A[[i]], 
	Background → White], {i, 1, Length[A]}],
	Red, Table[Text[Subscript["B", i], f[u[[i]]],
	-0.7f[u[[i]]], Background → White], {i, 1, Length[u]-1}],
	Map[Point[f[#]] &, Drop[u, -1]],
	Blue, Map[Point, A]
	};
Grid[{Map[Graphics, instr2 /. solu1]}]

Conclusiones

Dado el carácter proyectivo del problema, éste tiene fuertes implicaciones en campos como las geometrías hiperbólicas (véase Cannon, Floyd et al., 1997).

Una transformación de Möbius de una circunferencia \(\mathcal{C}\) es una restricción de una transformación proyectiva que deja invariante. En otras palabras, una transformación de Möbius es una extensión de una isometría hiperbólica por continuidad hasta el límite del modelo de disco de Cayley-Klein (denominado también de Beltrami-Klein).

La acción del grupo de Möbius sobre un círculo (o disco) es equivalente a la acción del grupo fraccionario lineal sobre una recta proyectiva, denotado PSL(2, \(\mathbb{C}\)) (véase Fine & Rosenberger, 2019), si el círculo se identifica con la recta por una proyección estereográfica. Esto implica lo siguiente.

Las transformaciones de Möbius de un círculo
actúan libre y transitivamente sobre ternas de puntos.

En particular, una transformación de Möbius no idéntica no puede tener más de dos puntos fijos, como ya hemos visto. Una transformación de Möbius \(f\) que preserva la orientación, junto con la correspondiente isometría hiperbólica \(f’\) que preserva la orientación, pertenece a uno de los tres tipos siguientes:

  • elíptica, si f no tiene puntos fijos;
  • parabólica, si f tiene exactamente un punto fijo;
  • hiperbólica, si f tiene exactamente dos puntos fijos.

Toda isometría hiperbólica de tipo elíptico tiene un punto fijo dentro de \(\mathcal{C}\) y resulta por lo tanto una rotación alrededor de dicho punto. La rotación de 180o es la simetría central.

La isometría hiperbólica más básica que invierte la orientación es la simetría axial. Las rectas que intersecan en un punto junto a su imagen especular respecto a \(\ell\) pasan todas por el polo de \(\ell\).

El hecho de que una transformación de Möbius con tres puntos fijos sea la identidad implica el siguiente teorema.

Teorema. Si el problema de Castillon tiene al menos tres soluciones, entonces cada punto de la circunferencia supone una solución independiente.
Si \(A_1,\ldots, A_n\) son colineales, entonces para n impar no hay solución, y para n par la existencia de una solución no trivial implica que cada punto de partida implica una solución.

Para \(n=3\), el problema tiene a lo sumo dos soluciones, como ya hemos visto. Para \(n=4\), infinitas soluciones son posibles tan solo si \(A_1, A_2, A_3, A_4\) son colineales, ya que los ejes, respectivamente centros de las transformaciones de Möbius cuya composición resulta también una nueva transformación (como ya se ha visto anteriormente), deben coincidir. El caso de que coincidan seis puntos en los pares \(A_1 = A_4\), \(A_2 = A_5\), \(A_3 = A_6\) está relacionado con el teorema de Pascal.

La geometría hiperbólica nos permite producir configuraciones de puntos para los cuales la cadena de cuerdas de la circunferencia se cierra independientemente del punto de partida.

Resulta interesante que el problema de Castillon puede hacerse extensible a la esfera. La aplicación \(I_p:\mathbb{S}^2\mapsto\mathbb{S}^2\) es una transformación de Möbius. Como dicha transformación preserva la orientación, entonces puede ser determinada por la imagen de tres puntos. Esto nos lleva al siguiente teorema.

Teorema. Si el problema de Castillon para la esfera y un número par de puntos tiene al menos tres soluciones, entonces cada punto de partida en la esfera da una solución.

La figura 10 muestra tres configuraciones de puntos (véase Izmestiev, 2015) para los cuales la secuencia encadenada de cuerdas siempre cierra. Los puntos son los vértices de un dodecaedro hiperbólico en ángulo recto en el modelo Cayley-Klein.


Figura 10. Configuraciones de puntos sobre la esfera \(\mathbb{S}^2\), para las que
el problema de Castillon tiene infinidad de soluciones posibles.

Para ver por qué funcionan dichas configuraciones, se representa la reflexión en un vértice como una composición de reflexiones en tres lados adyacentes del dodecaedro. Al cancelar la reflexión común, obtenemos, por ejemplo, \(I_2\circ I_1=S_b\circ S_a\) en la representación más a la izquierda de la figura 10, por lo que

\[
I_8\circ\cdots\circ I_1=(S_a\circ S_d)\circ (S_d\circ S_c)\circ (S_c\circ S_b)\circ (S_b\circ S_a)=S_a\circ S_a=\text{id},
\]

donde \(S_x\) denota la reflexión respecto a la cara \(x\).

Referencias

Notas

  1. El concepto formal al que refieren dichas coordenadas también es conocido como parametrización racional de la circunferencia o fórmulas de sustitución de Weierstrass. ↩

Sobre los autores

Francisco Javier García Capitán

Francisco Javier García Capitán (Madrid, mar. 1963). Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada. Toda una vida profesional (más de 36 años) dedicada a la docencia, ahora jubilado pero dedicado a las matemáticas y al senderismo. Mantiene un gran interés en la investigación de problemas matemáticos elementales, sobre todo de Geometría; ha publicado varios artículos sobre este tema en diversas revistas como Forum Geometricorum, Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas y el Laboratorio Virtual de Triángulos con Cabri. Es miembro del comité editorial de la revista Lva2 en España y también de otras de carácter más internacional como Mathproblems, International Journal of Geometry, International Journal of Computer Discovered Mathematics y Sangaku Journal of Mathematics.

José Manuel Sánchez Muñoz

José Manuel Sánchez Muñoz (Madrid, nov. 1973). Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Profesor de Educación Secundaria. Participa activamente en redes sociales como divulgador. Creador de comunidades como «Retos Matemáticos» o «MaTeX» en Telegram. Además de haber publicado una cantidad notable de artículos y libros, posee experiencia en el mundo editorial. Fue miembro fundador de la revista Pensamiento Matemático. Actualmente dirige la revista de divulgación matemática Lva2. Se reconoce un enamorado de las matemáticas y su historia. Sus investigaciones se centran en campos como la criptografía, teoría de juegos, geometrías riemannianas o innovación educativa.

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