El teorema de Bolyai-Gerwien (y un par de resultados chocantes relacionados con él)

Mira que en matemáticas hay teoremas curiosos, extraños, intuitivamente paradójicos,…(podéis añadir aquí multitud de adjetivos que indiquen sorpresa), y todavía, después de conocer muchos de ellos, podemos encontrar alguno que nos llame la atención por lo interesante y sugerente del resultado. A mí me ocurrió cuando supe de la existencia del denominado teorema de Bolyai-Gerwien.

Vamos a introducir el resultado con un caso particular. Imaginad que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4, como los que aparecen en la figura:

El área del cuadrado es , y la del triángulo es . Vamos, que tienen áreas iguales. Y aquí viene la pregunta:

¿Se os ocurre alguna forma de cortar el triángulo en un número (finito) de piezas tal que puedan reordenarse para forma el cuadrado?

Para resolverla quizás lo más divertido y educativo sea tomar papel y tijeras y pensar. Para los que no lo hagáis, os comento que la respuesta está en Gaussianos, mezclando estos dos artículos.

Bien, creo que a raíz de esto la pregunta es obligada: ¿se podrá hacer siempre esto? Es decir: ¿entre qué polígonos se puede conseguir que una cierta disección de uno de ellos pueda reordenarse formando el otro? Veamos un enunciado informal del teorema:

Teorema de Bolyai-Gerwien:

Dados dos polígonos cualesquiera de la misma área, es posible cortar uno de ellos en un número finito de piezas poligonales de forma que estas piezas puedan reordenarse formando exactamente el otro polígono.

Vamos, que lo que hemos comentado antes se puede hacer siempre. Una demostración intuitiva (aunque también informal) de este resultado es la siguiente:

Todo polígono puede cortarse en piezas triangulares que se puede reordenar para formar rectángulos. Estos rectángulos a su vez puede colocarse para formar un rectángulo más grande, que después puede recortarse en piezas que formen un cuadrado, que tiene la misma área que el polígono inicial.

Como esto lo podemos hacer con los dos polígonos, podemos llevar uno de ellos hasta un cuadrado y después llevar ese cuadrado hasta el otro polígono (invirtiendo el proceso descrito en el párrafo anterior). Así conseguimos pasar de uno de los polígonos al otro.

Quizás ahora, después de ver el ejemplo y una demostración informal, penséis que el resultado es evidente, pero seguro que cuando habéis leído el enunciado del mismo os habéis sorprendido un poco.

Este teorema fue conjeturado por Farkas Bolyai (el padre de Janos Bolyai) sobre 1790, y fue demostrado por William Wallace (el matemático) en 1807. Posteriormente, en 1833, Gerwien (de quien solamente he encontrado esto) lo demostró sin conocer la existencia de la prueba de Wallace. En 1835 Bolyai también encontró una prueba sin saber nada sobre las anteriores.

¿Qué ocurre en tres dimensiones

Después de conocer esto parece natural preguntarse si en 3 dimensiones ocurre lo mismo. Pues la respuesta es no, en general no se puede diseccionar un poliedro en poliedros más pequeños tales que se puedan reordenar para conseguir cualquier otro poliedro. De hecho éste fue el tercer problema de la lista de Hilbert del año 1900, y fue resuelto por Max Dehn, alumno del propio Hilbert, en el mismo año 1900.

¿Se puede pasar de un círculo a otro polígono?

Y otra pregunta interesante que podríamos hacernos es si podríamos cortar un círculo en una cantidad finita de piezas que pudieran ser reordenadas para formar un polígono, por ejemplo un cuadrado, de la misma área que el círculo inicial. La respuesta es no, ¿verdad? Claro, ya sabemos que la cuadratura del círculo es imposible…con regla y compás. ¿Y si quitamos esa restricción? Esto es, ¿podría pasarse del círculo al cuadrado teóricamente, aunque físicamente no se pueda? La respuesta es sí, es decir, podemos recortar un círculo en un número finito de piezas que luego se pueden reordenar para formar un cuadrado de la misma área que el círculo, pero no podemos reproducirlo físicamente. ¿Por qué no podemos? Pues por la misma razón que nos impide reproducir físicamente lo que describe la paradoja de Banach-Tarski: porque las piezas en las que hay que dividir el círculo son no medibles.

Por cierto, este problema se denomina Tarski’s circle-squaring problem y fue propuesto por Alfred Tarski en 1925 y demostrado por Miklós Laczkovich en 1990, cuya descomposición usa unas piezas. Ahí es nada…

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La imagen de Farkas Bolyai la he tomado de aquí y la de Alfred Tarski de aquí.