Los Elementos de Euclides (aunque en realidad no sabemos qué partes de los Elementos son originales de Euclides, si hay alguna) culminan en el libro XIII y último con la construcción de los 5 poliedros regulares.

Presentamos aquí la construcción del dodecaedro que aparece en la proposición 17 del libro XIII.

Los antiguos griegos no utilizaban el término razón áurea, porque el dorado se le dio en el siglo XIX, ni tampoco el término divina proporción que usó Luca Pacioli en el siglo XV, sino el término más técnico razón extrema y media, definido al principio del libro VI de los Elementos.

Si

\cfrac{M+m}{M} = \cfrac{M}{m}

entonces, en la correspondencia entre razones y números reales (desconocidos por los antiguos),

\cfrac{M}{m} = \phi = 1.6180339 \ldots

es nuestro número áureo.
Euclides muestra cómo dividir un segmento en razon áurea en la proposición VI.30 y, antes de la teoría de la proporción, en la proposición II.11. Para construir un dodecaedro: (Para ver las figuras correspondientes, dejar el cursor sobre la descripción de cada paso)

  • Tomamos una cara de un cubo y la dividimos por la mitad.
  • Dividimos una mitad de la linea divisoria en dos segmentos en razón aúrea, M:m = \phi, y elevamos un cuadrado sobre el segmento mayor.
  • (El area del cuadrado amarillo será igual a la del rectángulo verde.)
  • Hacemos lo mismo con la otra mitad de la linea divisoria.
  • Unimos los vértices superiores del rectángulo elevado que resulta con los vértices de la cara del cubo.
  • Se forman así dos caras trapezoidales y dos caras triangulares. Podemos llamar a la figura que resulta techo de oro.
  • Sobre cada una de las caras del cubo colocamos un techo como el anterior, de forma que los extremos de las lineas divisorias de las caras nunca coincidan.
  • Entonces la figura que resulta es un dodecaedro regular.

En la proposición XIII.17 de los Elementos podéis ver la demostración de que

  • las caras que resultan de la construcción anterior son planas,
  • los lados y ángulos de esas caras son iguales y
  • los vértices son equidistantes del centro del cubo.

Si partimos de un cubo que tenga por vértices los 8 puntos de coordenadas \{ \ (\pm 1, \pm 1, \pm1) \ \} y en las caras z= \pm 1 colocamos la linea divisoria en la dirección del eje de coordenadas y, entonces los 20 vértices del dodecaedro regular que resulta son


\{ \ \ (\pm 1, \pm 1, \pm1), \ \ ( 0, \pm \Phi^{-1}, \pm \Phi),\ \ ( \pm \Phi, 0, \pm \Phi^{-1}),\ \ ( \pm \Phi^{-1}, \pm \Phi,0)\ \ \}

donde, por definición de \phi:

\phi^{-1} = \cfrac{1}{\phi}= \phi -1 = 0.6180339 \ldots

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

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