¿Qué pensarías si te digo que las trenzas que te haces en el pelo, las pulseras que se hacen trenzado hilos y las cestas de mimbre pueden ser interpretadas como objetos matemáticos? La teoría de trenzas estudia las propiedades de hebras que se entrecruzan y de puntos que se mueven en el plano. A continuación descubriremos qué son los grupos de trenzas, cómo se definen sus generalizaciones algebraicas (los grupos de Artin-Tits) y en qué consiste el problema de intersección de subgrupos parabólicos.

El pasado mes de junio de este año 2020 se fallaban los Premios de Investigación Matemática Vicent Caselles, que entrega la Fundación BBVA en colaboración con la Real Sociedad Matemática Española. Una de las galardonadas este año ha sido la matemática española María Cumplido, cordobesa de nacimiento, por resolver una conjetura relacionada con trenzas que llevaba casi 20 años sin respuesta.

La noticia tuvo un seguimiento mediático bastante grande, tanto en medios especializados como en otros más generalistas (no tenéis más que hacer una búsqueda por su nombre para verlo). Pero, como es natural, no se profundizaba en las matemáticas del problema. Por eso, cuando me enteré de la noticia, contacté con María para pedirle que nos contara en Gaussianos qué es esto de las trenzas y de qué va su trabajo en este campo, y accedió encantada a escribir un artículo para nosotros. Pero antes de nada, dejemos que la propia María se presente brevemente:

Nací en Córdoba en 1992. Descubrí mi pasión por las matemáticas participando en las Olimpiadas Matemáticas en secundaria. Soy graduada en Matemáticas por la Universidad de Sevilla, tengo el Máster en Matemática Avanzada por la Universidad de Sevilla y soy doctora en Matemáticas por las universidades de Rennes 1 y de Sevilla. He realizado contratos postdoctorales en la Universidad de Bourgogne Franche-Comté (Dijon, Francia) y en la Universidad Heriot-Watt (Edimburgo, Escocia). En breve me incorporaré como Profesora Ayudante Doctora a la Universidad Complutense de Madrid. Trabajo en el área de la teoría de grupos, y más concretamente en grupos de trenzas, grupos de Artin y grupos de Garside. En Rennes, recibí el segundo premio a la mejor tesis en Matemáticas, Ciencia y Tecnología. En España, he recibido el premio de investigación Vicent Caselles 2020 de la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación BBVA.

María nos ha preparado una colaboración tan completa que van a ser dos los artículos que vamos a publicar sobre su trabajo. Os dejo con el primero, que trata sobre grupos de trenzas y grupos de Artin. En los próximos días publicaremos el segundo, en el que María nos hablará de la conjetura que ha resuelto. Esperamos que os parezcan interesantes.

Los grupos de trenzas

Figura 1: Trenza

Una trenza con n cuerdas se puede definir como un cilindro con n puntos en su disco superior y n puntos en su disco inferior, los cuales están unidos por n caminos (o cuerdas) que nunca se tocan y que siempre avanzan en dirección vertical (Figura 1). Es decir, una cuerda no puede «bajar y subir», siempre tiene que «bajar». Así por ejemplo, cuando hacemos una trenza clásica en el pelo estamos haciendo una trenza con tres cuerdas. Aunque ojo, si consideramos cada cabello como si fuese una cuerda, estamos haciendo una trenza con cientos de cuerdas.

Decimos que dos trenzas son equivalentes si fijamos los extremos de las cuerdas y podemos deformar las hebras de una para obtener la otra (las cuerdas no se pueden tocar en esta deformación). Así, cuando dos trenzas sean equivalentes, en nuestra cabeza serán la misma:

Figura 2: Trenzas equivalentes

Además, podemos multiplicar dos trenzas, pegando la parte de abajo de la primera con la parte de arriba de la segunda (como puede verse en la siguiente figura). El conjunto de trenzas con n cuerdas junto con esta multiplicación tiene estructura de grupo. Es decir, siempre se tiene asociatividad, un elemento neutro y existencia de inverso para cada elemento. Los grupos de trenzas con n cuerdas se denotan con B_n y fueron descubiertos por Emil Artin en 1947.

Figura 3: Multiplicación de trenzas

Los grupos de trenzas son finitamente generados. Esto quiere decir que siempre podemos expresar una trenza como el producto de un número finito de «minitrenzas» o generadores. Estas minitrenzas son los cruces de cuerdas consecutivas. Al cruce en el que la cuerda en la posición i pasa por encima de la siguiente cuerda lo llamamos \sigma_i, y si pasa por debajo lo llamamos \sigma_i^{-1}, porque es el inverso (\sigma_i^{-1} deshace \sigma_i):

Figura 4: Cruces y cruces inversos

Para un trenza con n cuerdas necesitaremos n-1 generadores y sus inversos. Pero atención, una trenza puede estar representada por más de una expresión, ya que consideramos que dos trenzas son iguales salvo deformación. Por ejemplo, en la Figura 2 podemos ver que la trenza \sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_2\sigma_4 es igual a \sigma_4\sigma_3\sigma_2\sigma_3\sigma_1. Más concretamente, \sigma_1\sigma_4 es equivalente a \sigma_4\sigma_1 y \sigma_2\sigma_3\sigma_2 es equivalente a \sigma_3\sigma_2\sigma_3. Necesitamos entonces reglas o relaciones de equivalencia que nos digan cuándo podemos cambiar un trocito de la expresión por otro. Si el número de reglas que necesitamos es finito, entonces decimos que el grupo es finitamente presentado. En el caso de las trenzas, tenemos básicamente dos tipos de reglas que son las que acabamos de ver en el ejemplo de la Figura 2:

  • 1) Si \sigma_i y \sigma_j son adyacentes (representan cruces consecutivos) entonces tenemos la relación \sigma_i\sigma_j\sigma_i = \sigma_j\sigma_i\sigma_j
  • 2) Si i y j no son adyacentes, entonces da igual qué cruce hagamos antes. Esto quiere decir que los generadores conmutan: \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i.

Toda esta información se resume en la presentación del grupo de trenzas, donde a un lado quedan los generadores positivos y a otro las relaciones de equivalencia:

B_n=\left\langle \sigma_1,\dots, \sigma_{n-1}\, \begin{array}{|lr}                                                \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i, & |i-j|>1 \\                                                  \sigma_i\sigma_{j}\sigma_i= \sigma_{j}\sigma_{i}\sigma_{j} , & |i-j|=1                                               \end{array}   \right\rangle .

Así, a veces una palabra puede representar en realidad la trenza trivial, que no tiene ningún cruce. Por ejemplo, \sigma_1\sigma_2\sigma_1\sigma_2^{-1}\sigma_1^{-1}\sigma_2^{-1}=\sigma_2\sigma_1\sigma_2\sigma_2^{-1}\sigma_1^{-1}\sigma_2^{-1}=\sigma_2\sigma_1\sigma_1^{-1}\sigma_2^{-1}=\sigma_2\sigma_2^{-1}=1.

Los grupos de Artin-Tits

Los grupos de Artin (o de Artin-Tits) son grupos finitamente presentados que generalizan los grupos de trenzas. En realidad, y esto ocurre con más frecuencia de la que se pueda pensar, Artin no definió los grupos de Artin. Fue el matemático franco-belga Jacques Tits el que los definió en 1966, aunque la referencia clásica sea el libro de 1968 del grupo de matemáticos franceses Bourbaki.

Igual que las trenzas se podían expresar como palabras formadas por letras de la forma \sigma_i o \sigma_i^{-1}, los elementos de un grupo de Artin se expresarán como productos de letras s o s^{-1} de un conjunto S (finito) de nuestra elección. Por ejemplo, si S=\{a,b,c\}, un elemento de nuestro grupo será acb^{-1}ac^{-1}. Pero, de la misma manera que antes, también necesitamos relaciones de equivalencia. En el caso de un grupo de Artin, para cada par de generadores s,t en S, elegimos un número m_{s,t} entre 2 e infinito (sí, aquí infinito también vale como número). Y para cada par (s,t) tendremos la relación en forma de producto alternado stst\dots = tsts\dots donde a cada lado de la igualdad hay m_{s,t} letras. Si hemos elegido infinito, entonces sencillamente no hay relación entre esos generadores. Una vez hayamos elegido un conjunto finito S y los números m_{s,t}, la presentación de nuestro grupo de Artin será:

A_S=\langle S\,|\, \underbrace{stst\dots}_{m_{s,t} \text{ elementos}}=\underbrace{tsts\dots}_{m_{s,t} \text{ elementos}}\rangle.

Tomemos un conjunto S de n generadores y ordenémoslos. Si elegimos m_{s,t}=3 cuando s y t son consecutivos y m_{s,t}=2 en caso contrario, lo que obtenemos es el grupo de trenzas con n+1 cuerdas. Pero existen una infinidad de elecciones sobre los números m_{s,t} que producen grupos de Artin que no son grupos de trenzas.

Los grupos de Artin son todavía muy misteriosos y hay muchas cuestiones básicas que son todavía desconocidas para todos los grupos de Artin. Para ir salvando distancias, los especialistas en esta materia nos dedicamos a estudiar familias concretas de grupos de Artin, en lugar de todos los grupos de Artin de una vez. Una familia con buenas propiedades es la de los grupos de Artin esféricos (o de tipo finito). Para saber qué son y por qué se llaman así, necesitamos ir a uno de los orígenes de los grupos de Artin: los grupos de Coxeter.

El grupo de Coxeter W_S asociado al grupo de Artin A_S es el que se obtiene al añadir a las relaciones la regla s^2=1 para todos los generadores s en S. Es decir, en el grupo de Coxeter, cada vez que veas una letra que está al cuadrado, la puedes borrar. Aunque hemos definido este grupo de Coxeter usando grupos de Artin, los grupos de Coxeter tienen una definición anterior que procede de la geometría, ya que muchos de ellos pueden ser interpretados como grupos de reflexiones de superficies y espacios teselados. En particular, si W_S es finito, entonces es el grupo de reflexiones de una esfera teselada. Por eso, cuando W_S es finito, decimos que A_S es esférico.

Los grupos de trenzas son esféricos, porque su grupo de Coxeter es un grupo de permutaciones: a cada trenza le podemos asociar una permutación, dependiendo de cómo estén unidos los puntos de arriba de la trenza con los de abajo. Por ejemplo, el generador \sigma_1 intercambia el primer y el segundo punto, así que su permutación asociada es (1\, 2).

Generalizar propiedades de las trenzas a grupos de Artin… ¡no es trivial!

Se tiene mucha más información sobre los grupos de trenzas que sobre los grupos de Artin. La razón es que, como hemos podido ver en su definición, las trenzas son mucho más geométricas y más «manipulables». De hecho, hay una definición equivalente de los grupos de trenzas que viene del mundo de la topología. Si proyectamos los caminos (las cuerdas) de una trenza en el disco inferior del cilindro, estos caminos definirán un movimiento de los n puntos en el interior del disco:

Figura 5: Proyección sobre el disco inferior

Por ejemplo, la trenza \sigma_1 equivale a intercambiar el primer y el segundo punto. Este movimiento se llama automorfismo, y el conjunto de movimientos de este tipo es lo que se conoce como grupo modular (o mapping class group) del disco. Así que las trenzas son grupos modulares de discos con n puntos distinguidos (o con n agujeros, si consideramos los puntos como agujeros), pero en general, existen definiciones de mapping class groups asociadas a superficies que no son el disco.

Muchos de los resultados que se han probado para trenzas se extienden a grupos de Artin esféricos. Sin embargo, algunos de estos resultados dependen de la definición geométrica que tienen las trenzas en calidad de grupos modulares. Por lo tanto, estas pruebas no se extienden inmediatamente a grupos de Artin. Abordaremos esta cuestión en la siguiente entrada.


Esta entrada participa en la Edición 11.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión aloja Mayte J. Romera en su blog Qué vamos a hacer hoy.

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