Motivación: pregunta

Comenzamos este artículo con una pregunta:

¿Dónde está el punto A, en el interior o en el exterior de la curva?

¿Punto interior o exterior?

Posiblemente no os sea demasiado difícil acertar con un simple vistazo al dibujo. Pero imaginad ahora que la curva cubre la extensión de un campo de fútbol. ¿Sería la cosa tan sencilla? Creo que no. Entonces:

¿Qué procedimiento general utilizarías para determinar la situación del punto?

Seguro que muchos ya sabéis la respuesta. Para quien no la sepa responderemos a lo largo de este texto.

Notas históricas

El teorema de la curva de Jordan fue enunciado por Camille Jordan, matemático frances, a finales del siglo XIX en una serie de libros denomiada Cours d’Analyse. El mismo Jordan publicó en dicha serie una demostración del resultado que más tarde resultó ser incorrecta. La primera demostración correcta del resultado apareció en 1905 y se debe a Oswald Veblen.

Más adelante Brouwer propuso una generalización n-dimensional que fue probada por Alexander en 1992 y que se conoce en la actualidad como teorema de separación de Jordan-Brouwer.

Definiciones previas

Curva en \mathbb{R}^2: Una curva (diferenciable) en \mathbb{R}^2 es una aplicación \alpha : \left[ a,b \right ] \rightarrow \mathbb{R}^2 de clase C^{\infty} (es decir, sus dos componentes son infinitas veces derivables) tal que a cada t\in \left [ a,b \right ] le asigna el valor \alpha (t) \in \mathbb{R}^2. Vamos, lo que entendemos intuitivamente como curva (como curiosidad para los no iniciados, una recta es una curva, es decir, cumple esta definición de curva).

Curva cerrada: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es cerrada si \alpha (a)=\alpha (b), es decir, si el origen y el extremo de la curva coinciden.

Curva simple: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es simple si no tiene autointersecciones, esto es, si no se corta a si misma.

Curva de Jordan: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es una curva de Jordan si puede deformarse (sin romperse) hasta convertirla en una circunferencia (es decir, si es cerrada y simple). Por ejemplo ésta:

Curva de Jordan

Una última definición:

Corte transversal: Se dice que una recta corta transversalmente a una curva en un punto cuando la recta no es tangente a la curva en dicho punto de corte.

El teorema de la curva de Jordan

El teorema de la curva de Jordan es un resultado la mar de curioso, ya que aúna sencillez en su enunciado y complicada demostración contando además con una enorme aceptación mediante intuición por parte de cualquiera que lo lea. Hay resultado con un enunciado simple pero con complicada demostración (posiblemente el último teorema de Fermat sea el más claro ejemplo visto en Gaussianos), pero generalmente ello no va acompañado del último punto, es decir, generalmente no somos capaces de visualizar tan bien el resultado por muy sencilla que sea su formulación.

Para aclarar todo esto vamos a presentar el enunciado del problema, ya que ya estamos preparados para ello:

Teorema: (de la curva de Jordan)

Toda curva cerrada y simple C de \mathbb{R}^2 divide al propio \mathbb{R}^2 en dos conjuntos disjuntos \Omega y \Omega ^\prime cuya frontera común es la curva C. Además \Omega es acotada (se denomina interior de C) y \Omega ^\prime es no acotada (se llama exterior de C).

Demostración:

Sobre la prueba de este resultado sólo voy a comentar el desarrollo de la demostración que me hicieron a mí en clase, ya que es demasiado compleja para incluirla aquí.

Se definen los dos conjuntos \Omega y \Omega ^\prime de la siguiente forma:

\Omega={puntos del plano que cumplen que toda semirrecta trazada desde él corta transversalmente a la curva en un número impar de puntos}

\Omega ^\prime={puntos del plano que cumplen que toda semirrecta trazada desde él corta transversalmente a la curva en un número par de puntos}

Después se demuestra que no tienen puntos comunes (es decir, que son disjuntos), que existen puntos de los dos tipos, que son abiertos de \mathbb{R}^2 y que su unión es \mathbb{R}^2-C. Con ello concluye la demostración.

Al final del artículo os dejo también un artículo en el que se incluye una demostración reciente más sencilla que la comentada anteriormente.

Motivación: respuesta

Vamos a responder a las preguntas iniciales. Evidentemente, el punto A está fuera de la curva, en el exterior de la misma. Lo vemos fácilmente coloreando el interior de la curva:

Curva con interior coloreado

Pero además de esto pedíamos un procedimiento para determinar si el punto está dentro o fuera de la curva para cualquier curva. El procedimiento lo da la propia demostración:

Trazamos una semirrecta desde nuestro punto hasta que estemos seguros de que ya estamos en el exterior de la curva. Esta semirrecta cortará a la curva en varios puntos. Contamos el número de puntos donde la semirrecta corta transversalmente a la curta (los puntos de corte donde la semirrecta sea tangente a la curva no se cuenta). Entonces:

  • Si ese número de puntos de corte es par, el punto está en el exterior de la curva.
  • Si ese número de puntos de corte es impar; el punto está en el interior de la curva.

Da igual qué semirrecta dibujemos. Lo vemos con la imagen del comienzo del artículo:

Curva con semirrectas con número par de puntos de corte

Como se puede ver no importa la semirrecta, siempre hay un número par de puntos de corte transversales (los marcados con cuadros negros son los cortes tangentes, los que hemos dicho que no se cuentan).

Para finalizar os dejo este vídeo sobre el tema (ACTUALIZACIÓN DE AGOSTO DE 2023: El vídeo ya no está disponible).

Fuentes:

  • Libro Curvas y Superficies, de Sebastián Montiel (profesor mío durante la carrera) y Antonio Ros.
  • Mis propios apuntes de la carrera.
  • El teorema de la curva de Jordan: Artículo de Francisco García Arenas y María Luz Puertas, de la Universidad de Almería, sobre el teorema de la curva de Jordan donde nos muestran una reciente demostración en la que sólo se utilizan los conocimientos de un primer curso de Topología.
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