En Gaussianos ya hemos visto, que yo recuerde, dos demostraciones de la infinitud de los números primos: la de Euclides y la que utiliza los números de Fermat. En esta entrada vamos a otra demostración de este hecho.

La prueba que vamos a ver es topológica y se debe al matemático israelí Hillel Furstenberg. A mí me parece muy interesante ya que en principio a uno no se le ocurre qué relación puede haber entre la infinitud de los números primos y la topología. Esta demostración, por tanto, servirá como otro ejemplo más de la conexión que existe entre ramas tan distintas de las matemáticas.

La Topología es una de las ramas de las matemáticas más interesantes y a la vez más complicadas de entender. Para la demostración que nos ocupa hacen falta algunos conceptos básicos relacionados con ella que pueden encontrarse en este artículo de la Wikipedia (en español). Aquí simplemente voy a dar la definición de topología sobre un conjunto:

Definición: Sea X un conjunto y P(X) el conjunto de sus subconjuntos (es decir, partes de X). Una topología sobre X es un conjunto \Gamma \subseteq P(X) que cumple las siguientes propiedades:

  1. \varnothing, \; X \in \Gamma
  2. Si A,B \in \Gamma, entonces A \cap B \in \Gamma
  3. Si A_i \in \Gamma, entonces \displaystyle{\bigcup_i A_i \in \Gamma}

Los elementos de una topología \Gamma se denominan abiertos. El complemento de un conjunto abierto (es decir, el resultado de quitar del conjunto base X el abierto) se denomina cerrado.

Vamos con la demostración:

Teorema: El conjunto de los números primos es infinito.

Demostración:

Definimos sobre el conjunto \mathbb{Z} de los números enteros la siguiente topología \Gamma:

Un subconjunto U de \mathbb{Z} es abierto (es decir, elemento de \Gamma) si y sólo si es el conjunto vacío o es unión de progresiones aritméticas S(a,b)= \{ a n + b \; | \; n \in \mathbb{Z} \} = a \mathbb{Z} + b

En otras palabras, U es abierto si y sólo si cada x \in U admite algún entero distinto de cero a tal que S(a,x) \subseteq U.

Vamos a comprobar que \Gamma es una topología sobre \mathbb{Z}:

  1. Por definición, \varnothing \in \Gamma. Por otra parte, \mathbb{Z}= S(1,0), por lo que también es abierto, es decir, \mathbb{Z} \in \Gamma.
  2. Si A,B \in \Gamma, sea x \in A \cap B y a_1, \; a_2 sus acompañantes en las correspondientes progresiones en A y B respectivamente. Sea a el mínimo común múltiplo de a_1 y a_2. Entonces, para i=1,2, S(a,x) \subseteq S(a_i,x) \subseteq A \cap B.

    3. INCISO: Os dejo un ejemplo de esto último:

    Tomamos x=2, \; a_1=4, \; a_2=6. Entonces:

    \begin{matrix} S(4,2)= \{ 4n+2 | n\in\mathbb{Z} \}=\{ \ldots ,-10, -6, -2, 2, 6, 10, \ldots \} \\ S(6,2)= \{ 6n+2 | n\in\mathbb{Z} \}=\{ \ldots ,-16, -10, -4, 2, 8, 14, \ldots \} \end{matrix}

    Ahora, a=mcm{4,6}=12, y entonces:

    S(12,2)= \{ 12n+2 | n\in\mathbb{Z} \}=\{ \ldots ,-34, -20, -10, 2, 14, 38, \ldots \}

    Así creo que se ve claro que los elementos de S(12,2) también pertenecen a las otras dos, es decir, S(12,2) \subseteq S(4,2) y que S(12,2) \subseteq S(6,2)

  3. Si A_i \in \Gamma, al ser todos unión de progresiones, se tiene que al hacer la unión de ellos el resultado también es unión de progresiones, esto es, \displaystyle{\bigcup_i A_i \in \Gamma}.

La topología así definida cumple dos propiedades que son claves para la demostración. Son éstas:

  1. Como cada abierto distinto del vacío contiene al menos una progresión se tiene que ningún conjunto finito puede ser abierto. Por tanto el complemento de un conjunto finito no puede ser un conjunto cerrado (ya que sí así fuera el propio conjunto finito sería abierto, cosa que acabamos de comentar que no puede ocurrir).
  2. Los conjuntos S(a,b) son a la vez abiertos y cerrados. Son abiertos por ser unión de progresiones (en este caso sólo una, pero nos vale). Y son cerrados porque se pueden poner como el complemento de una unión de abiertos de la siguiente forma:

    \displaystyle{S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j)}

Vamos a culminar la demostración:

Los únicos enteros que no son múltiplos de un número primo son 1 y -1. Por otra parte el conjunto S(p,0), con p primo, es la progresión que contiene todos los múltiplos enteros de p. Si hacemos unión de todos los S(p,0) variando p en el conjunto de los números primos obtenemos un conjunto que contiene a todos los números enteros excepto el 1 y el -1, es decir:

\displaystyle{\mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, prime}} S(p, 0)}

Por la primera de las dos propiedades citadas anteriormente \mathbf{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} no puede ser cerrado (al ser el complemento de un conjunto finito). Por la segunda propiedad S(p,0) es cerrado.

Supongamos ahora que existe un número finito de números primos. Entonces en la parte derecha de la última igualdad tendríamos una unión finita de cerrados. De la definición de topología se deduce que una unión finita de cerrados es un cerrado, por lo que tendríamos en la parte derecha un cerrado. Tendríamos entonces que un conjunto no cerrado es igual a un conjunto cerrado, hecho que a todas luces es una contradicción que surge de la suposición de que el conjunto de números primos es finito.

Por tanto el conjunto de números primos es infinito.

Por cierto, en este artículo de God Plays Dice también se habla de este tema.

Nota: He utilizado la letra \Gamma (Gamma) para designar a una topología en vez de la Tau habitual porque al escribir el código de dicha letra, \Tau, el plugin de \LaTeX me daba error. ¿Alguien sabe por qué?.

Fuente:

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