En Gaussianos ya hemos visto, que yo recuerde, dos demostraciones de la infinitud de los números primos: la de Euclides y la que utiliza los números de Fermat. En esta entrada vamos a otra demostración de este hecho.
La prueba que vamos a ver es topológica y se debe al matemático israelí Hillel Furstenberg. A mí me parece muy interesante ya que en principio a uno no se le ocurre qué relación puede haber entre la infinitud de los números primos y la topología. Esta demostración, por tanto, servirá como otro ejemplo más de la conexión que existe entre ramas tan distintas de las matemáticas.
La Topología es una de las ramas de las matemáticas más interesantes y a la vez más complicadas de entender. Para la demostración que nos ocupa hacen falta algunos conceptos básicos relacionados con ella que pueden encontrarse en este artículo de la Wikipedia (en español). Aquí simplemente voy a dar la definición de topología sobre un conjunto:
Definición: Sea un conjunto y
el conjunto de sus subconjuntos (es decir, partes de
). Una topología sobre
es un conjunto
que cumple las siguientes propiedades:
- Si
, entonces
- Si
, entonces
Los elementos de una topología se denominan abiertos. El complemento de un conjunto abierto (es decir, el resultado de quitar del conjunto base
el abierto) se denomina cerrado.
Vamos con la demostración:
Teorema: El conjunto de los números primos es infinito.
Demostración:
Definimos sobre el conjunto de los números enteros la siguiente topología
:
Un subconjunto
de
es abierto (es decir, elemento de
) si y sólo si es el conjunto vacío o es unión de progresiones aritméticas
En otras palabras, es abierto si y sólo si cada
admite algún entero distinto de cero
tal que
.
Vamos a comprobar que es una topología sobre
:
- Por definición,
. Por otra parte,
, por lo que también es abierto, es decir,
.
- Si
, sea
y
sus acompañantes en las correspondientes progresiones en
y
respectivamente. Sea
el mínimo común múltiplo de
y
. Entonces, para
,
.
- Si
, al ser todos unión de progresiones, se tiene que al hacer la unión de ellos el resultado también es unión de progresiones, esto es,
.
INCISO: Os dejo un ejemplo de esto último:
Tomamos
. Entonces:
![]()
Ahora,
, y entonces:
![]()
Así creo que se ve claro que los elementos de
también pertenecen a las otras dos, es decir,
y que
La topología así definida cumple dos propiedades que son claves para la demostración. Son éstas:
- Como cada abierto distinto del vacío contiene al menos una progresión se tiene que ningún conjunto finito puede ser abierto. Por tanto el complemento de un conjunto finito no puede ser un conjunto cerrado (ya que sí así fuera el propio conjunto finito sería abierto, cosa que acabamos de comentar que no puede ocurrir).
- Los conjuntos
son a la vez abiertos y cerrados. Son abiertos por ser unión de progresiones (en este caso sólo una, pero nos vale). Y son cerrados porque se pueden poner como el complemento de una unión de abiertos de la siguiente forma:
Vamos a culminar la demostración:
Los únicos enteros que no son múltiplos de un número primo son
y
. Por otra parte el conjunto
, con
primo, es la progresión que contiene todos los múltiplos enteros de
. Si hacemos unión de todos los
variando
en el conjunto de los números primos obtenemos un conjunto que contiene a todos los números enteros excepto el
y el
, es decir:
Por la primera de las dos propiedades citadas anteriormente
no puede ser cerrado (al ser el complemento de un conjunto finito). Por la segunda propiedad
es cerrado.
Supongamos ahora que existe un número finito de números primos. Entonces en la parte derecha de la última igualdad tendríamos una unión finita de cerrados. De la definición de topología se deduce que una unión finita de cerrados es un cerrado, por lo que tendríamos en la parte derecha un cerrado. Tendríamos entonces que un conjunto no cerrado es igual a un conjunto cerrado, hecho que a todas luces es una contradicción que surge de la suposición de que el conjunto de números primos es finito.
Por tanto el conjunto de números primos es infinito.
Por cierto, en este artículo de God Plays Dice también se habla de este tema.
Nota: He utilizado la letra
(Gamma) para designar a una topología en vez de la Tau habitual porque al escribir el código de dicha letra, \Tau, el plugin de
me daba error. ¿Alguien sabe por qué?.
Fuente:
- Furstenberg’s proof of the infinitude of primes de la Wikipedia (en inglés).
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Esto…para el lunes por la mañana temprano…no es un poco jebi?
Dos pequeñas erratas (creo xD):
«1. Por definición,
.» (falta el vacío)
«Los únicos enteros que no son múltiplos de un número primo son 1 y -1.» (nos –> no son)
Muy bueno el post, aunque sea lunes por la mañana 😉
Esta bien eso de que definas los conceptos básicos, ayuda bastante a situarse ^^
LordHash bueno, igual sí, pero seguro que ya estáis acostumbrados :D.
Cierto Darkjoul, las corrijo ahora mismo. Gracias :).
el «\tau» es en minuscula
Pues en la web de la Wikipedia dedicada a
viene tanto en mayúscula como en minúscula.
Probaré a ver qué tal queda.
Gracias 🙂
Parece que el plugin sólo conoce algunas letras griegas, no se han tomado el trabajo de hacer las mayúsculas que coinciden (o casi) con nuestro alfabeto.
Aparentemente se limita a esta lista: http://twiki.org/cgi-bin/view/Plugins/LatexSymbols
oppsss me quede en el cuarto semestre de licenciatura asi que me falta estudiar mas pero todo esto es interesante como puedo aprender mas por mi propia cuenta?
En el capítulo 1 de «El libro de las demostraciones» de Aigner y Ziegler (Nivola, 2005) se dan 6 demostraciones de la infinitud de los primos, y esta versión topológica aparece como quinta prueba. La de Euclides aparece en primer lugar; y la basada en números de Fermat, en segundo. Especialmente escueta es la tercera, que considera números de Mersenne
y el teorema de Lagrange (grupos finitos).
No he tenido la oportunidad de leer otras demostraciones de tal resultado, pero esta me parece, por su caracter elemental, una demostracion muy elegante e interesante por la interaccion que hay con la topologia. Buen aporte.
Te marca error al utilizar el comando \Tau porque dicho comando no existe en LaTeX. Al observar el alfabeto griego, la tau mayúscula es T; luego dicho comando no es necesario. Sin embargo, sí existe el comando \tau que representa la letra tau minúscula.
Buenas, dejo un par de dudas bobas que me surgieron con la prueba, en: Z\[-1,1]= \bigcup S(p,0)[\latex] La parte de la derecha es una unión de cerrados, y también de abiertos. La parte de la derecha es una unión de abiertos, por tanto un abierto, por tanto la parte de la izquierda es un abierto, y el conjunto complementario [-1,1], es necesariamente un cerrado(si lo he entendido bien). No hay contradicción ya que S(a,b) son a la vez abiertos y cerrados, pero no necesariamente son todos los cerrados, y tampoco la hay porque los conjuntos finitos no pueden ser abiertos,… Lee más »
Creo que debes imponer en la definición de S(a,b) que a sea distinto de 0, porque si no, el {1} es una progresión geométrica y el {-1} también, de diferencia 0, pero como no lo excluyes, si que serían abiertos por ser unión de dos abiertos.