En Zientzia Cultura: El juego de Penney: tirando monedas con curioso resultado

Ayer viernes se publicó una colaboración mía en Cuaderno de Cultura Científica, el blog de la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, a cuyos responsables agradezco que me hayan propuesto colaborar con ellos con este artículo. Os dejo los primeros párrafos y un enlace para que lo continuéis leyendo.


¿Os gustan los juegos? A quién no le gustan los juegos, ¿verdad? Juegos de niños, juegos de cartas, juegos de preguntas… Cada uno de nosotros tiene su tipo favorito de juegos, y su juego preferido.

Y a todos nos gusta ganar. Sí, eso de “lo importante es participar” está muy bien, pero todos queremos ganar, a todos nos llena más si conseguimos batir a nuestro contrincante. Pero no siempre se puede, unas veces se gana y otras se pierde, aunque lo que sí podemos hacer es intentar buscar la manera de tener mayor probabilidad de ganar que el contrario.

De todos los juegos que podamos recordar, el “Pares o Nones” es el típico juego que se suele utilizar para establecer un orden generalmente relacionado con otro juego: quién empieza a jugar, quién elige primero, quién hace la primera pregunta… La razón es que “Pares o Nones” es un juego justo, ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar (partiendo de que la elección de los dedos a sacar es puramente aleatoria, como así se puede suponer). Como cuando tiramos una moneda al aire y miramos si salió cara o cruz.

Monedas… Usadas desde siempre como ejemplo de equiprobabilidad. Si tiramos una moneda al aire, la probabilidad de que salga cara (C) es 0.5 y la de que salga cruz (X) también; si la tiramos dos veces, las probabilidades de CC, CX, XC y CC son todas igual a 0,25; si la tiramos tres veces, es igual de probable, 0,125, que salga cualquiera de los siguientes resultado: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX; XCX, XXC y XXX; y así sucesivamente.

Vamos a conocer y analizar el siguiente juego con monedas:

El juego enfrenta a dos jugadores y consiste en lo siguiente: cada uno de ellos elegirá uno de los ocho posibles resultados que se pueden presentar al tirar tres monedas (los que hemos escrito antes: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX; XCX, XXC y XXX), y después se realizan tiradas sucesivas de una moneda. Gana el jugador cuya elección salga primero.

Vamos a ver un ejemplo. Imaginemos que el jugador A elige CCX y el jugador B elige CXC, y que en las sucesivas tiradas sale CXXCCCX. Entonces ganaría el jugador A, ya que ha salido su jugada (CCX) y la de B todavía no ha aparecido.

Sigue leyendo El juego de Penney: tirando monedas con curioso resultado en Cuaderno de Cultura Científica.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. Muy interesante, pero me ha quedado una duda: ¿Por qué AB vale 0 y BA vale 1 al final, en AA-AB=5-0=5 y BB-BA=4-1=3?

    Voy a pensarlo un poco.

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  2. Vale, ya está. Se hace lo mismo que con AA y BB, solo que no lo has desarrollado.

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  3. Limitándonos al caso finito, todo conjunto E tiene su conjunto de partes o subconjuntos P(E) y en éste cada subconjunto A que contenga E y sea estable para la unión numerable y el paso al complementario, constituye por definición una sigma-álgebra (tribu de partes del conjunto E para los franceses). Se dice del par (E, A) que es un espacio probabilisable y los elementos de A son los eventos. Sobre (E, A) se puede definir entonces una ley de probabilidad que es una función positiva m tal que m(E)= 1 y que a toda unión de eventos disjuntos X, Z asigna la suma m(X) + m(Z), la imagen por m de cada evento X siendo llamado la probabilidad de X. A donde quiero llegar es que para E fijado, ni el espacio probabilisable ni la función de probabilidad tienen por qué ser únicos la desconsideración de lo cual suele dar paso a ciertas “paradojas” clásicas y modernas.

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  4. Una tontería, pero el juego de pares y nones, suponiendo que el 0 vale (se saca el puño) tiene más probabilidades quien juega pares, no?, otra cosa es que el 0 no valga, aunque imagino que no existirán reglas oficiales de este juego no? Jejeje

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  5. Pedro,

    en el juego de pares o nones ambos jugadores sacan la mano con un número de dedos…
    (si no fuese así uno de los jugadores sacaría el número de dedos que le haga ganar, así que ambos tienen que sacar dedos)
    y pensé que siendo así la probabilidad de que la suma de dedos sea par o impar sería la misma, aún en el caso de permitir sacar el puño cerrado. Pero no. Tienes razón.

    Veamos el ejemplo para la modalidad simplificada donde se sacan un máximo de 2 dedos:

    0+0 PAR
    0+1 IMPAR
    0+2 PAR

    1+0 IMPAR
    1+1 PAR
    1+2 IMPAR

    2+0 PAR
    2+1 IMPAR
    2+2 PAR

    Así que PAR es 5 de 9 mientras que IMPAR es 4 de 9.

    Por tanto, para jugar con un poco de ventaja hay que decir: elijo pares y se permite no sacar ningún dedo jajajaja

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  6. Me queda una duda, es real la probabilidad de que caiga la moneda ya sea cara o aguila respectivamente tengan 50% de probabilidad, no depende de la cara con la que se avienta, puesto que la moneda estara boca arriba una ves mas que la cara que estaba arriba desde el principio?

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  7. Siempre hay que decir PARES. Dependiendo del máximo de dedos y de si se puede sacar cero, PARES será mejor o igual que NONES, pero nunca peor.

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  8. Antonio,

    Creo que existen monedas trucadas, con mayor peso en una de las caras para las cuales la probabilidad de las caras no es igual. Aunque el caso de los dados trucados es quizá más evidente y más efectivo el trucado que el caso de las monedas, ya que al rodar el dado se hace más patente su asimetría de masas… pero creo que en las monedas también ocurre.
    Teniendo en cuenta eso y que ninguna moneda no trucada es perfecta se puede concluir que las probabilidades no son iguales, sino casi iguales. A lo mejor la probabilidad de un lado es 50.1% y la del otro es 49.8999% siendo el resto la probabilidad de caer de canto jajaja. Si no recuerdo mal, una vez jugando con una moneda me ocurrió que cayó de canto!!
    Ahora bien, demostrar experimentalmente dicha asimetría de probabilidades requiere de muchas tiradas de la moneda, seguramente millones, para asegurar la imperfección mayor que 0.1% con un margen de confianza suficiente (¿es suficiente 99,5%?) … no tengo muy fresco ahora mismo cómo se hace ese cálculo, seguramente alguien por aquí nos podría ayudar.

    En cuanto a lo que sugieres de que puede depender de la cara con la que se lanza… yo creo que eso podría influir si el impulso con el que se lanza es siempre el mismo y el momento rotacional de la mano es el mismo y la altura la misma, etc. Es decir, creo un brazo robótico preciso probablemente lograría hacer caer la moneda por un lado muchas más veces que por el otro (y quizá una persona bien entrenada podría lograrlo también).

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  9. En realidad sí que hay una mejor terna, y es cualquiera que no repita las dos primeras monedas, por ejemplo CXC, o XCC. Con esas ternas sólo te ganarán un 2/3 de las veces, si te toca jugar primero. EN cuanto al juego, se trata del concepto de la dominación, consiste en “matar” la mano rival, una vez la conoces, este concepto también aparece en el poker, el dominó o el ajedrez.

    Ya lo dije en un anterior comentario (borrado). La entrada me ha parecido muy interesante, siempre leo vuestro blog, seguid así.

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  10. ¿Decís en serio lo de pares o nones? Evidentemente, da igual.

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  11. Golvano, si el número de dedos posibles es par (por ejemplo, n=6 en {0,1,2,3,4,5}) sale pares n²/2 veces y nones n²/2 veces: en ese caso da igual.

    Pero si el número de dedos posibles es impar (por ejemplo, si no vale sacar cero dedos, n=5 en {1,2,3,4,5}) sale pares (n²+1)/2 veces y nones (n²-1)/2 veces: es mejor elegir pares.

    Por eso, a priori, sin conocer las reglas, es mejor elegir pares.

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  12. ¿Pero estamos suponiendo que los dedos se sacan al azar? En ese caso sí. Pero en la realidad, cada jugador saca los dedos que quiere. Aunque un jugador tenga una sola opción para sacar un número par de dedos y mil opciones para sacar un número impar de dedos, la mejor estrategia es sacar par con probabilidad 1/2 e impar con probabilidad 1/2. Y por tanto da igual apostar par o impar.

    En el ejemplo que pones, si tú eliges par y sacas de uno a cinco dedos con igual probabilidad yo sacaría 2 y ganaría con probabilidad 3/5.

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  13. He supuesto que los dedos se sacan al azar, porque si no es así se complica mucho:

    Yo digo pares para tener más posibilidades;
    Tú sacas pares porque si yo saco dedos al azar tu probabilidad de ganar es 3/5;
    Yo saco pares porque pienso que tú vas a sacar pares porque eres buen matemático;
    Tú te lo replanteas porque piensas que voy a pensar eso y sacas nones para sorprenderme;
    Y así hasta el infinito…

    (Parezco Vizzini, el siciliano de La Princesa Prometida… 🙂 )

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  14. Hombre, yo no creo que sea muy complicado. Es teoría de juegos totalmente elemental. El equilibrio se da cuando los dos jugadores sacan pares con probabilidad 1/2. De esa forma, la probabilidad de ganar de cada uno es 1/2 y da igual elegir pares que nones. Si un jugador se aparta de esa estrategia, da al otro la posibilidad de obtener mejores resultados, como se ve en el ejemplo anterior.

    Esto me ha hecho pensar que igual hay gente que saca de uno a cinco con igual probabilidad, y por tanto juega mal. Nunca pensé que se pudiese jugar mal a pares o nones.

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  15. Por eso hay que elegir pares: si los dos juegan bien, la probabilidad de ganar es un medio; pero si el otro juega al azar, la probabilidad puede ser mayor que un medio. Elegir pares nunca te perjudica y te puede llegar a beneficiar.

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  16. jejeje, Golvano tiene razón.

    Mmonchi, dices que si no suponemos que los jugadores sacan dedos al azar (eligiendo con igual probabilidad una de sus multiples opciones) se complica mucho pensar la mejor estrategia para ganar… pero realmente no se complica mucho.
    Basta modelarlo con lo que en Teoría de Juegos se llaman Estrategias Mixtas… que modela la selección aleatoria entre estrategias puras.

    Veamos el caso de poder elegir de 1 a 5 dedos.
    El jugador A elige pares y el B nones.
    Si el jugador B usa una estrategia pura de sacar siempre 2 (estrategia mixta 2 el 100% de las veces, 1 el 0%, 3 el 0%, 4 el 0%, 5 el 0%)
    ganará más veces si el otro jugador usa una estrategia mixta equiprobable (“al azar” entre las 5 opciones).
    Ahora bien, si el jugador A usa una estrategia que da igual probabilidad a sus pares y sus nones (por ejemplo, 50% al 1 y 50% al 2… o también 16.6% al 1, 3 y 5 y 25% al 2 y 4) el jugador B no tendrá ventaja con su estrategia. Es más, si el jugador A elige dicha estrategia el jugador B NUNCA puede tener ventaja sea cual sea la estrategia que elija!!
    Igualmente si B elije una estrategia que de igual probabilidad a sus pares y a sus nones el jugador A tampoco puede tener ventaja, sea cual sea la estrategia que elija.

    La conclusión es lo que dice Golvano: aunque haya un número impar de opciones el que elije PARES no puede tener ventaja si el otro jugador elije una buena estrategia mixta: sacar dedos pares y dedos nones con igual probabilidad.

    Como “corolario”: si un jugador intenta tener ventaja el otro jugador puede anular esa posible ventaja o incluso si conoce la estrategia del otro puede explotar ese intento de ganar ventaja, a su favor de forma que la ventaja la tiene él y no el que pretende tener ventaja.

    Supongamos que el juego se repitiese muchas veces y el jugador B (el cual usa una estrategia que anula las ventajas) observa que el A elije nones con mayor probabilidad (porque elige del 1 al 5 de forma equiprobable o peor aún, que descaradamente elije casi siempre impares), entonces dicho jugador B puede aprovechar esa debilidad del jugador A en futuros enfrentamientos.
    Es decir, que si vas por lana puedes salir trasquilado… pero si buscas un juego justo nunca nadie puede sacar ventaja de tu estrategia. ¿VERDAD QUE ES HERMOSO?

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  17. Mmonchi, dices que elegir pares nunca te perjudica, pero como expliqué te puede perjudicar a la larga en caso de que intentes que te beneficie. Así que sí te puede perjudicar también.
    Y en caso de que no te pueda perjudicar tampoco te da ventaja elegir pares, así que realmente da igual.

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  18. Asumir que el otro jugador va a jugar mal, sacando de 1 a 5 con igual probabilidad, es lo mismo que asumir que va a sacar 2 porque es su número de la suerte. Te puedes aprovechar de eso y salirte bien, pero para eso tienes que tomar tú el riesgo y te pueden pillar, como dice Acido.

    De todas formas, incluso en ese caso, no es mejor elegir pares. Puedes aprovecharte de eso para ganar con nones igual que con pares. Lo de que es mejor escoger pares sólo es en el caso de que tú también lo hagas así.

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  19. De acuerdo con los dos. Solo tienes ventaja si SABES que el otro jugador juega al azar, y la aprovechas jugando nones. Pero esa estrategia es perdedora si el jugador B la identifica y juega más veces pares que nones.

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