Acertijo del día: un reto diario de lógica para ejercitar el cerebro

Las 100 monedas a ciegas: cuando no hace falta saber cuáles son cuáles

Hay acertijos que parecen imposibles no porque tengan demasiados datos, sino porque nos obligan a renunciar a una información que creemos imprescindible. Este es uno de ellos.

Imaginemos que tenemos 100 monedas sobre una mesa. Sabemos que exactamente 20 están cara arriba y 80 están cruz arriba. Pero hay una dificultad añadida: estamos completamente a oscuras y no podemos distinguir unas de otras por el tacto.

Podemos separar las monedas en dos montones como queramos. También podemos dar la vuelta a las monedas que queramos. La pregunta es: ¿podemos formar dos montones de modo que en ambos haya el mismo número de monedas cara arriba?

A primera vista, parece que no. Si no podemos saber qué monedas están mostrando cara, ¿cómo vamos a controlar cuántas caras hay en cada montón? Y, sin embargo, sí se puede.

Antes de leer la estrategia, merece la pena detenerse un momento en la trampa del enunciado: no podemos identificar ninguna moneda concreta, pero sí conocemos una información global muy potente. Sabemos que hay exactamente 20 monedas cara arriba.

La estrategia es esta: separamos 20 monedas cualesquiera en un montón y dejamos las otras 80 en otro. Después, damos la vuelta a las 20 monedas del primer montón. Eso es todo.

Lo sorprendente es que no importa cuáles hayamos elegido. Pueden ser 20 monedas tomadas completamente al azar. La oscuridad no afecta a la estrategia. Veamos por qué.

Llamemos \( x \) al número de monedas cara arriba que han quedado en el montón de 20 monedas. Como en total hay exactamente 20 monedas cara arriba, el otro montón, el de 80 monedas, tendrá entonces \( 20-x \) monedas cara arriba.

Hasta aquí no hemos hecho nada especial. Simplemente hemos separado 20 monedas y hemos contado, de forma imaginaria, cuántas caras habría en ese primer montón si pudiéramos verlas. Ahora viene el paso clave: damos la vuelta a todas las monedas del montón de 20.

Antes de girarlas, ese montón tenía:

• \( x \) monedas cara arriba;
• \( 20-x \) monedas cruz arriba.

Al girarlas todas, las \( x \) caras pasan a ser cruces y las \( 20-x \) cruces pasan a ser caras. Por tanto, después de girar el montón, ese primer montón queda con exactamente \( 20-x \) monedas cara arriba…

…¡pero el segundo montón ya tenía \( 20-x \) monedas cara arriba! Así que los dos montones terminan con el mismo número de monedas cara arriba.

La gracia del problema está en que no necesitamos identificar las monedas. No hace falta saber cuáles son las 20 caras iniciales. Basta con usar la única información global que sí conocemos: que hay exactamente 20.

El giro de las 20 monedas apartadas convierte la incertidumbre en simetría. Si en el primer montón había muchas caras, entonces había pocas cruces, y al girarlo terminará con pocas caras. Si había pocas caras, entonces había muchas cruces, y al girarlo terminará con muchas caras. En todos los casos, el número final coincide con el del otro montón.

Este tipo de acertijo es especialmente bonito porque la solución no consiste en probar casos ni en adivinar: consiste en cambiar la pregunta. En lugar de intentar localizar las monedas cara arriba, pensamos en qué relación se conserva entre los dos montones.

Es una pequeña jugada maestra: no vemos nada, no distinguimos nada y aun así podemos garantizar el resultado.