Hoy miércoles os traigo el problema de esta semana. Ahí va:
Encuentra el valor mínimo de la expresión
sabiendo que
son números reales no negativos que además cumplen que
.
Es sencillo, así que a pensar. Que se os dé bien.
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¿3/7 quizá?
se me ocurre que el mínimo puede ser 1/3. Con los valores 1/3, 0, 0, 1/3, 0, 0, 1/3
Sí, el mínimo es ése, pero hay que demostrarlo.
No creo que el mínimo sea ese. Consideremos (a,b,c,d,e,f,g)=(2/7,1/14,0,2/7,0,1/14,2/7) dicho mínimo es 5/14 y verifica la ecuación. Y creo que puede haber cotas mejores. Corregidme si me he equivocado en algo.
No creo que te hayas equivocado en nada, salvo que 5/14 es mayor que 1/3.
Demostración:
Supongamos que existe una combinación en el que el máximo sea menor que 1/3.
Entonces todas las sumas son menores que 1/3 extrictamente.
Entonces,
a+b+c < 1/3; d+e+f < 1/3; e+f+g < 1/3
Luego, sumando los tres:
a+b+c+d+2e+2f+g < 1
Restando la suma que es igual a 1:
e+f < 0 (imposible)
Demostrado
Perdón, por un momento se me ha ido la olla y estaba pensando en la solución de 3 séptimos. Mea culpa. En cuanto a lo de tres séptimos, sí que es solución, pero de otro problema muy similar. El mínimo de 3/7 resultaría si formulas el problema bajo las mismas restricciones con el conjunto: {a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f, e+f+g, f+g+a, g+a+b} (Simplemente es sumar todos los elementos, ves que la suma vale siempre 3 y de ahí se sigue que al menos un elemento vale 3/7 o más (pero en nuestro caso los dos últimos elementos del conjunto no están).… Lee más »
Vamos a demostrarlo, supongamos que
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la primera terna es la que marca el máximo, luego:
Como:
Se tiene que:
Es decir, ya que la primera terna era la mayor entre todas, llegamos a que:
En otras palabras:
Y aquí tenemos la contradicción, pues en ese caso, la última terna
es mayor que 
y eso es mayor que la primera terna, que habíamos supuesto el máximo de ese conjunto.
es un valor posible, es el mínimo valor que puede tomar, con la elección como dijo @andmujika
Por tanto, como
andmujika, muy bien.
Miguel, creo que tu demostración no es correcta. Sí se pierde generalidad. Si la terna maxima fuera {c,d,e} no podrías hacer lo mismo, ya que no habría otra terna con ningún elemento común, como en el caso {a,b,c}.
Tienes razón @golvano, no había caído en ese caso, entonces mi demostración es falsa.
Afortunadamente, @andmujika dio una demostración correcta.
Gracias por fijarte en el error. Un saludo
¿Y si hacemos H= a+b+c, I=e+f+g?
Obviamente:
b+c+d >= d
c+d+e >= d
d+e+f >= d
Por lo tanto se reduciría a
el mínimo del máx{H,d,I}
tal que
H+d+I=1 ——> (1/3)
¿NO?
Otro problema interesante: intercambiar máximo y mínimo.
Hola, tengo para desarrollar una teoría de la relación del número π con la cadena de ADN.
Estoy buscando una entidad para desarrollar este proyecto.
Gracias