Los cuadrados mágicos son uno de los objetos lúdico-matemáticos más conocidos. Se han estudiado hasta la saciedad desde la antigüedad, aparecen en obras de arte (como el de Durero) y en monumentos importantes (como el de la Sagrada Familia), y se puede encontrar una ingente cantidad de información sobre ellos tanto en libros como en internet. Pero, a pesar de esto, todavía hay propiedades interesantes y sorprendentes relacionadas con ellos que, aunque se saben ciertas desde hace ya unos años, no son demasiado conocidas. Hoy vamos a ver algunas de ellas que os dejaran, espero, maravillados.

La cosa va de cuadrados mágicos vistos como matrices. Vamos a tomar el (esencialmente) único cuadrado mágico 3×3 que tiene los números del 1 al 9 y vamos a verlo como una matrix 3×3, A:

A= \begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix}

¿Qué pasa si lo multiplicamos por sí mismo como se multiplican habitualmente las matrices? Veámoslo:

A^2=\begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 91 & 67 & 67 \\ 67 & 91 & 67 \\ 67 & 67 & 91 \end{pmatrix}

Si sumamos las filas y las columnas, obtenemos el mismo resultado, 225, pero al sumar los elementos de las diagonales eso no ocurre. Lástima, no nos ha quedado un cuadrado mágico…pero no desistamos. Multipliquemos ahora el resultado de nuevo por A:

A^3=\begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1053 & 1221 & 1101 \\ 1173 & 1125 & 1077 \\ 1149 & 1029 & 1197 \end{pmatrix}

Sumad ahora filas, columnas y diagonales…Éste sí es un cuadrado mágico. Todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales suman 3375. Es decir, para esta matriz mágica A tenemos que A^3 también es una matriz mágica.

Si calculamos A^4 no obtenemos una matriz mágica, pero podéis comprobar que A^5 sí que lo es. En general, toda potencia impar de la matriz mágica A vuelve a ser una matriz mágica. No me digáis que no mola.

Veamos otro ejemplo en el que esto también pasa. Tomemos ahora la siguiente matriz mágica, B, cuya constante mágica (suma de filas, columnas y diagonales) es 39:

B=\begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix}

En este caso pasa lo mismo: las potencias pares no son matrices mágicas, pero las potencias impares sí lo son. Calculemos B^2:

B^2=\begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 467 & 527 & 527 \\ 527 & 467 & 527 \\ 527 & 527 & 467 \end{pmatrix}

Y ahora calculemos B^3 (podéis comprobar que, efectivamente, obtenemos una matriz mágica):

B^3=\begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19533 & 20373 & 19413 \\ 19653 & 19773 & 19893 \\ 20133 & 19173 & 20013 \end{pmatrix}

Chulísimo, ¿verdad? Pues atentos: toda matriz mágica 3×3 cumple que sus potencias impares son también matrices mágicas. Sí, sí, no solamente ocurre con estos dos ejemplos, sino que esta maravillosa propiedad es cierta para toda matriz mágica de orden 3. Sencillamente maravilloso. Os invito a comprobarlo con cualquier cuadrado mágico de orden 3, podéis encontrarlos por internet.

Pero agarraos a la silla, que la cosa no acaba aquí. Esta curiosísima propiedad no se cumple sólo con potencias impares de la misma matriz mágica, sino que se cumple con productos cualesquiera de matrices mágicas. Esto es:

Cualquier producto de un número impar de matrices mágicas 3×3 es a su vez una matriz mágica.

Da igual que sean la misma multiplicada tres veces, que multipliquemos una dos veces y luego hagamos el producto con otra, o que las tres sean distintas: siempre obtendremos una matriz mágica al multiplicar tres matrices mágicas, y además no importa el orden en el que hagamos esos productos (recordad que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que el orden al multiplicar podría influir). Os dejo un ejemplo:

\begin{pmatrix} 2 & 9 & 4 \\ 7 & 5 & 3 \\ 6 & 1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 27 & 20 & 25 \\ 22 & 24 & 26 \\ 23 & 28 & 21 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 & 3 & 19 \\ 15 & 13 & 11 \\ 7 & 23 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13944 & 14280 & 13896 \\ 13992 & 14040 & 14088 \\ 14184 & 13800 & 14136 \end{pmatrix}

Para mí es, posiblemente, la propiedad de los cuadrados mágicos más bella de todas las que conozco, y además no es demasiado complicada de demostrar, ya que utiliza matemáticas relativamente básicas. Aquí no la voy a reproducir entera, pero os voy a dar algunas pinceladas y artículos relacionados para que podáis buscarla por vuestra cuenta.

Todo comienza con una interesante característica que tiene la estructura de un cuadrado mágico 3×3. Martin Gardner la apuntaba en Some New Discoveries About 3×3 Magic Squares, 1995, pero ya se conocía desde unos cuantos años antes. Es la siguiente (la escribo en forma de matriz):

Toda matriz mágica 3×3 tiene la siguiente estructura:

M=\begin{pmatrix} a+b & a-b-c & a+c \\ a-b+c & a & a+b-c \\ a-c & a+b+c & a-b \end{pmatrix}

siendo K=3a la constante mágica y b,c números arbitrarios.

Esto es fácil de demostrar, y se conoce (al menos) desde 1938, cuando Jack Chernick publica su trabajo Solution of the General Magic Square. Allí podéis ver una demostración de este hecho.

A partir de aquí, demostrar que todo producto impar de matrices mágicas es de nuevo una matriz mágica tampoco es demasiado complicado, pero sí algo laborioso. La idea es descomponer la matrix mágica M que acabamos de mostrar en una inteligente combinación de matrices mágicas que tienen una propiedades muy interesante, y después operar con ellas. Como digo, el proceso es algo laborioso pero no demasiado difícil de seguir. Podéis verlo en Singular Matrices Applied to 3×3 Magic Squares, de N. Gauthier.

Después de todo esto, sería lógico pensar en si ocurre algo parecido para matrices de orden superior. Bien, pues se cree que esta mágica propiedad de las matrices mágicas se cumple para cualquier orden impar, pero hasta donde yo sé todavía no está demostrado. Si alguien puede encontrar más información a este respecto puede compartirla con nosotros en los comentarios.

Para terminar, os dejo otro resultado que también demuestra Gauthier en su trabajo:

Si M es una matriz mágica 3×3, entonces su matriz adjunta también lo es.

Comencé a investigar sobre esto después de leer el artículo Magic squares as matrices, del blog de John D. Cook.

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