Qué curioso, nuestro comentarista Agus ha pensado en lo mismo que yo…
El otro día, después de una clase donde aparecieron los números naturales, la cuestión sobre si el 0 es un número natural volvió a rondar mi cabeza. Ahora mismo no tengo demasiado claro haberme planteado seriamente esta cuestión antes de comenzar mis estudios universitarios, pero lo que sí recuerdo es cómo transcurrió el asunto en esos años de matemáticas universitarias.
Recuerdo claramente que en los primeros cursos (sobre todo en el primero), los profesores excluyeron al 0 del conjunto de los números naturales. Por tanto, el conjunto 
Pero no es mi opinión la que quiero que quede en esta entrada, quiero la vuestra. Por eso os dejo aquí una encuesta en la que podéis dejar patente vuestra creencia. Dicha encuesta estará operativa hasta el domingo 26 de diciembre. Más adelante comentaremos los resultados:
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¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Supongo que te convencieron la formulación axiomática de Peano y/o la construcción de los naturales a partir de cierto tipo de conjuntos. Bueno.
Por otra parte, si entendemos que los números naturales sirven para contar cosas, el cero trae un problema curioso: el relato de lo que hay en, por ejemplo, una habitación se hace interminable porque hay una infinidad de clases de objetos que tienen asignado el cero. La palabra «nada» o la frase «no hay» no alude de ninguna manera a números.
No tengo claro el asunto, la verdad.
¿No hay otras opciones que sí o no? Porque a mí me da igual, es una cuestión únicamente de convenio (no se me ocurre como podría no serlo) y cláramente los conjuntos Pepito = { 0, 1, 2, … } Menganito = { 1, 2, … } son diferentes. Otra cosa es que la pregunta fuera «¿Cómo crees que deberían definirse los naturales: A) incluyendo al cero. B) sin incluir al cero.?» (o formulaciones similares). En tal caso, mi opinión sería de no incluirlo y utilizar una notación para incluirlo explícitamente, algo como N (sin cero) N^0 (con cero) o… Lee más »
Soy un estudiantes de matematicas, y me han explicado la construción de los naturales con los axiomas de Peano, pero según el profesor que sea, considera al 0 o al 1 como primer elemento. ¿Cómo es posible que algo tan importante, ya que a partir de los naturales podemos construir todas las matemáticas, no sea una verdad universal, es decir, por qué no todos consideramos el 0 o el 1 como primer elemento? Y me parece que algo tan relevante sea asumido por convenio.
Actualmente no se construyen los números naturales con los axiomas de Peano, sino llamando 0 al conjunto vacío y llamando 1 = {0}, 2= {0,1} … n={0,1, 2 … n-1}. Así que sí, el 0 es el primer natural. Impepinable. Por supuesto, N = {0, 1, 2 …} satisface los axiomas de Peano, pero un conjunto con diferente número inicial o diferente operación «calcular el siguiente» también los satisface. Por ejemplo, tomando el número -3 como primer elemento y la operación (n+2) para calcular el elemento siguiente de uno dado. (por eso se suele usar esta forma constructiva que te… Lee más »
Lo que comentas me crea muchas suspicacias. ¿Dónde se asume o se establece que los postulados de Peano son obsoletos? Porque la primera respuesta en esta discusión https://math.stackexchange.com/questions/2887901/whats-the-relationship-between-zfc-and-peano-axioms-are-they-overlapping-comp no indica que los postulados de Peano ya no se usen o sean incorrectos. Además, la definición recursiva de suma y multiplicación en sigue siendo a partir de los postulados de Peano. No puedes asumir que algo es obsoleto cuando es válido y se usa en alguna rama de la Matemática. Es como decir que el Teorema de Pitágoras es obsoleto y ya no se usa, solo porque existe la definición de… Lee más »
Me parece que ya se ha comentado alguna vez en el blog que es más recomendable la terminología «enteros positivos» y «enteros no negativos».
Según vi en la carrera de C.C. Matemáticas, no es un número natural
En principio es una cuestión de convenio. En las mayoría de las definiciones axiomáticas (los axiomas de Peano), asignan al 1 el papel de primer número natural. Quizá la pregunta correcta sería ¿Existe alguna razón para asignar al 1 el papel de primer número natural?. Esto lleva a la definición intuitiva del concepto, previa a su axiomatización. Y aquí podemos encontrar algunas teorias: 1. Usados para contar (medir cantidades discretas) 2. Utilizados para asignar un orden. En el primer caso, el cero sería admisible, como la forma de señalar una cantidad no existente, pero a los antiguos le costaba asimilar… Lee más »
A ver, todo esto depende un poco… por ejemplo, los de análisis matemático suelen excluirlo, cosa que no suele suceder entre algebristas o lógicos (esa es la impresión que me da). Eso sí, si interpretamos el conjunto de los naturales como el conjunto de los x tales que x es cardinal de un conjunto finito… pues no nos queda otra que meter ahí al 0.
Además, nos viene bastante bien para poder darle, incluso en N, un elemento neutro a la suma.
Según la definición que me dieron a mí hace unas semanas:
.
Se llaman números naturales a los cardinales de los conjuntos finitos no vacíos. El conjunto de todos los números naturales se denota por
Por lo que en esta definición el cero no entraría. Pero yo también creo que es más por convenio, o quizá haya una razón importante.
Claro que el cero es un numero natural, si no lo fuera ¿Cómo ibamos a construir el 10 ó el 100…je je?.
Ya lo sé, es un chiste muy malo. Bromas a parte, considero número cualquier expresión referida a cantidad, que permita realizar operaciones matemáticas (aritméticas …), independientemente de su significado, y el ceró presenta otras funcionalidades básicas por ejemplo la de actuar como elemento neutro de la suma, equivalente a la función del 1 en la multiplicación.
Buenos días me parece curioso respetando a ustedes unos mátematicos consumados, que hablan de cosas que yo desconosco con gran solvencia, ya que dominan una ciencia tan fascinate, porque yo esperaba una respuesta si o no que fuera unanime, perdonen mi ignorancia, pero a pesar de esto yo deseo aprender mas de estos temas, y felicitaciones por su gran habilidad y su conocimiento e inteligencia
@Juan Carlos, no es tan broma como parece (aunque a mi me ha hecho esbozar una sonrisa), nuestro más común sistema de numeración (con el que has hecho el chiste) que proviene de la india, la cronología es (resumiendo) Dígitos 1, 2, 5 y 6 datando del siglo III a.C. Dígitos 1, 2, 4, 6, 7 y 9 datando del siglo II a.C. Los 9 dígitos (1 al 9) ya se usaron ininterrumpidamente desde el siglo I d.C. Pero no fué hasta el siglo VII d.C que se empezó a representar la posición «sin sumar» con un «cero». Es decir,… Lee más »
Para mí que el 0 entraría en los naturales. Con los números naturales podemos contar cosas (es obvio, pero bueno) 1 manzana, 2 manzanas, 3 manzanas, etcétera.
Pero si nos piden contar cuántas manzanas hay en una caja con peras, podemos decir que hay 0 manzanas, jamás podemos decir que hay -1, o -2 manzanas.
a mi parecer no pertenece ya que al decir que no hay nada en algo no se toma el cero en base de decirlo por ejemplo nunca decimos hay cero arboles ni cero agua solo decimos no hay eso quiere decir que básicamente se sobre entiende que el cero no debemos representarlo ya que comprendemos el termino vació que es el que usamos para expresarnos en lógica matemática
¡Cómo que no puedes contar -2 o -200 o menos lo que sea! Eso díselo a los del banco cuando me enseñan el extracto de la cuenta corriente después de las compras navideñas.
@Pablo: ¿Eres de la UAM?
El cero es natural en cuanto forma parte de las decenas, centenas, etc., es decir, en cuanto artificio necesario para contar.
Por sí solo es irrelevante si forma o no parte, ya que por definición no vale nada.
Eso sí, discutirlo puede ser entretenido, como aquello de si el siglo 21 empezaba en 2000 o 2001, jeje. (empezaba en 2001, claro).
Yo creo que la cuestión en si misma es muy importante ya que independientemente de las convenciones humanas las realidades matemáticas son completas por si solas es decir no se requiere que un humano diga que el 7 es un número primo por que 7 es primo de forma excluyente a lo que diga la mente humana.
Por ello creo que el 0 debe estar bien definido como un natural o no, en lo particular creo que no lo es.
También sería muchisimo muy interesante discutir sobre si el 1 es un número primo o no
José Juan, hablando de libros, hay uno que busqué hace tiempo «Cero. Biografía de una idea peligrosa» de Charles Seife. Publicado en Ellago Ediciones, una editorial casi desconocida. Había perdido la esperanza de encontrarlo, cuando lo vi, meses después en la feria del libro. No lo he leído aun, lo tengo entre los libros pendientes, pero creo que el título esta bien elegido. Lo que ahora nos parece algo natural, el CERO, en su momento fue eso, una idea peligrosa, que despertó pasiones y las sigue despertando, porque sino no estaríamos aquí comiéndonos el tarro. Si queréis más información del… Lee más »
Ramiro, la discusión si UNO es numero primo o no, es más fácil. Cierto que la definición puramente numérica de número primo (divisible solo por el mismo y la unidad) deja dudas. Pero en álgebrá, el concepto de «Ideal Primo» ayuda a entender porque se excluye al UNO como número primo. En anillos unitarios conmutativos, como el caso de los enteros, un ideal es primo si y solo si el anillo cociente es dominio de integridad. Esto excluye el caso que el Ideal coincida con el anillo. De hecho en todos los textos suelen incluir explicitamente el anillo completo de… Lee más »
No sé si el 0 en positivo o negativo, pero creo que es una cuestión de convenio, tal y como se ha estado exponiendo en todos los comentarios. De todas formas yo he votado que no es natural. Porque en topología, al menos hasta el nivel al que yo he llegado (que no es casi nada, creedme) a los números naturales se los define a partir del 1, y siempre se excluye el 0. Que por supuesto esto puede cambiarse, simplemente habría que revisar los axiomas de Peano. Por otro lado hay que decir que las opiniones están muy repartidas.… Lee más »
Números naturales:
No es natural decir: «tengo cero manzanas»
Es natural decir: «No tengo manzanas»
Hola, estoy con Samuel. Yo, como algebrista entiendo el conjunto de los naturales como el conjunto de números que son cardinales de algún conjunto. Según esto, el cero es cardinal del vacío. Claro, que esto también trae un problema, la definición de cardinal. Según esto, para evitar la circularidad, se puede definir N como clases de equivalencia de conjuntos finitos equipotentes (en biyección). En cualquier caso, según esta definición, el cero se puede entender como la clase de equipotencia del vacío y también merecería ser incluído en N. Y sí, doy fe de que los analistas no suelen incluírlo. A… Lee más »
El 1 no es primo porque los números primos son los números naturales que tienen exactamente dos divisores.
En verdad cuatro divisores. Divisores de p (primo) = {-p,-1,1,p}.
Yo entiendo a
como la intersección de todos los conjuntos inductivos, por lo cual, 
.
A mi en Primero de Carrera, allá en Granada, cuando el mundo era joven y a mi profe de Álgebra I (José Luis Bueso) le dejaban fumar en clase, me explicaron que lo de que el cero fuera natural o no era cuestión de convenio. A los de Análisis, que trabajan mucho con la sucesión {1/n} si n es natural les estorbaba el cero, porque entonces la sucesión tendría que ser {1/(n+1)}, así que suelen quitarlo. Mientras que a los algebristas les viene bien que el ¿semigrupo, era? de los naturales tenga elemento neutro, así que lo incluyen. No sé… Lee más »
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and Jose Augusto Vidal. Jose Augusto Vidal said: jejejejejeje NERDO RT @linuxuario Buena discusión en http://bit.ly/gkjY5F [gaussianos] acerca de que si el cero es o no es un número natural […]
Información Bitacoras.com…
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Permíteme la broma, pero está a huevo: ¿El resultado de la encuesta influirá en la celebración de las fiestas?
Bueno yo opino que cero NO es un número natural, para mí cero es la definición del conjunto vacío es decir que no está incluido dentro del mismo y no puede ser que cero esté y no esté al mismo tiempo en el conjunto de los números naturales, pero si quieres le preguntamos a Gödel y ni para tí ni para mí.
Pues para mi si lo es, en teoría de conjuntos se define el cero como conjunto vacío y a partir de ahí se construyen los demás números naturales aplicando sucesivamente partes de un conjunto al 0.
» cero es un número natural, de hecho es el primer número natural.»
Nótese la sutil contradicción. Si el cero fuera el *cof*número natural inicial*cof* entonces sería el «ceroésimo» número natural.
Decir que es el «primero» para decir que es el inicial, sutilmente está aceptando al uno como la base.
Naturalmente que no (?)
drini, ¿decir que está en primer lugar es lo mismo que decir que es el 1? Yo creo que no. Con «primero», o «primer lugar», quiero decir que es el comienzo, el más pequeño de todos.
No me deja votar y es 24 🙁 Bueno en los albores de las civilizaciones no tenían ningún símbolo para denotar el cero, o lo que ellos era lo mismo, denotar el no tener nada o la nada. Pero el que no tuviesen el símbolo no implica que no supiesen de su existencia, ya que si a uno/a le quitaban la total cantidad de cierto ente se quedaba sin nada (cero) y os aseguro que si le quitaban las siete manzanas que tenía era muy consciente de que se las habían birlao 😉 Otro aspecto a tener en cuenta es… Lee más »
Aviso, hay que comentar para poder votar jejejeje
Y ahora voy a dar argumentos un poco más en contra. Por ejemplo, qué pasa cuando operamos con a/0 siendo a no nulo. ¡Vaya!, la cosa pinta fea, ¿verdad? Pero si pensamos en que dividir es repartir la cosa ya no es tan traumática. Y es que a cualquier neófito/a de las matracas que le preguntemos que queremos repartir 7 cosas con 0 personas nos va a decir de «forma natural» que es absurdo. Pero y si pensamos con la indeterminación 0/0, uy ¡chunga está la cosa! Y sin embargo, mediante transformaciones algebraicas o con derivaciones llegamos a un resultado.… Lee más »
hola, en mi opinión desde un punto de vista de conjuntos, da igual si el cero se considera natural o no, ya que serían 2 conjuntos distintos y según la definición de cada uno, el cero se incluiría o no. Pero desde un punto de vista de lógica, creo que se debería incluir, ya que para construir el conjunto de los números de los números naturales se debe empezar por el cero e ir definiendo sus sucesores.
De todas formas, no soy ningún experto y es sólo mi opinión.
un saludo y feliz navidad,
javier
absoltaamente cierto que el cero es un numero, es el inicio de la numeracion, es como negar que 0.5 que esta precisamente enmedio del cero y del uno sea un numero, no es cosa de consultar a nadie, es cosa de razonar, pregunta ;que diferencia un uno con un cero a la derecha, de un uno con un uno a la derecha?
Pepelo, nadie discute que el cero sea un número real o racional. Incluso me atrevería a conjeturar que estaremos todos de acuerdo en que es un número entero. El debate aquí es si es un número natural (cosa que el 0.5, por ejemplo, digo yo que estará claro que no es, ¿no?)
El 0 no pertenece a los números naturales por definición desde los Axiomas de Peano.
Segun estudie en la facultad el 0 no es un numero natural, pero esto basicamente era por convenio. Por otra parte, utilizabamos mucho Nº que representan a los numeros naturales y el 0.
Por otra parte siempre discuti con los profesores que el 0 era un numero par, a lo que siempre me dijeron que no. Al plantearles que tenia las propiedades de un numero par me dijeron que tenia las caracteristicas de un numero par pero no lo era. Seria otro tema interesante para discutir.
Pues va a ser que no… Según me explicaron en la universidad, la demostración es muy sencilla. Los números naturales, como todos sabemos, se construyen gracias a los axiomas de Peano, sin embargo, la definición de dichos axiomas puede llegar a ser un tanto cuanto inexacta, ya que se pueden construir con el cero o sin él. Todo depende del primer axioma, es decir si se asigna el 1 o el 0 como primer elemento de los números naturales. De cualquier manera, con cualquiera de los dos, todos los axiomas son perfectamente válidos. Entonces llegamos al principio, el o puede… Lee más »
No me había fijado que habiáis colocado una encuesta. Además, resulta que va 219-229…
He votado incluir el cero y aun no sé muy bien por qué. Esto daría para algo bastante más extenso que un comentario. Dejo a los Gaussianos el papel de ilustrarnos 😉
Cuando se dice «número natural» sin especificar más, yo asumo en principio que no se incluye el cero. Hubo un tiempo en que la duda era si el 1 es un número. (No se había inventado todavía la expresión «número natural»): «Por eso, lógicamente, el uno no es un número, ya que tampoco la medida es medidas, sino que la medida y el uno son principio». (Aristoteles – Metafisica – 1088a6 ) «La unidad, entonces, ocupando el lugar y carácter de un punto será el comienzo de los intervalos y de los números, pero no es ella misma intervalo o… Lee más »
Pues veamos ¿en estos «naturales» sin el cero la cantidad 7-7 esta definida? Mi opinión es que números naturales donde la cantidad 7-7(o 8-8, 9-9, los dos designadores iguales que querais con el «funtor resta») no esté definida no son muy «naturales» para mi a ojos del conocimiento actual. A estas alturas, usando el funtor resta no podemos decir que 7-7 no nos da nada dentro de los «naturales» o que no tiene significado alguno. Ni a un niño de 10 años(o menor) le enseñaremos que tal cosa no tiene significado o que no representa ningún numero natural o que… Lee más »
Es curioso, Libro Volumen I de las Oposiciones de Matemáticas de la Editorial MAD, Tema 1 Página 14 reza así: A1) El 0 es un número natural (Primer Ax. de Peano) Y aclara que en ppio. Peano eligió el 1 En la página 32 del mismo libro cita una forma recurrente para construir el conjunto de los naturales, tomando como conjunto modelo el vacío e identificándolo con el 0, pasando por las clases de equivalencia. Así que podemos tomar perfectamente el 0 como primer elemento de los naturales. Luego entra el campo de porqué no tomarlo, y eso se debe… Lee más »
La encuesta es interesante e irrelevante.
Lo escribí antes pero no sé por qué no se publicó. En inglés existe la distinción entre «Natural numbers» para la secuencia que empieza en 1, y «Whole numbers», para la que empieza en 0. Personalmente siempre incluyo al cero en los naturales. Me da pena quitarle el elemento neutro de la suma. Aunque suscribo lo que dice Omar-P.
Desde que empecé con la carrera universitaria tengo entendido lo siguiente:
En análisis se tiende a definir
simplemente por convenio o por tradición. Pero es importante saber que los naturales en realidad comienzan desde el cero. Cualquiera que tome un curso de Conjuntos, puede darse cuenta que por construcción de dicho conjunto, el cero debe ser elemento del conjunto pues es la base. De hecho se entiende al cero como el conjunto vacío.
dacscaro, no puedes hablar de la operación 7-7 en los naturales, dado en los naturales no podemos hablar de inversos aditivos. Cuando a un niño le dices que 7-7=0 implícitamente hablas de una suma 7+(-7)=0 la cual es una operación en los enteros.
Tanius yo puedo perfectamente definir utilizando descriptores la operación a-b en los naturales diciendo simplemente que el numero a-b es el c tal que b+c=a. Aquí solo necesito de los naturales y no veo de donde pueda necesitar a los enteros(de hecho a-b se convierte en un nombre para un número, por ejemplo para el 2 tenemos 3-1, 4-2, 7-5 que son nombres para el mismo número utilizando las clases de equivalencia)… No estoy hablando implicitamente de una suma ni nada por el estilo(pero la resta queda perfectamente definida de ese modo)…. Yo en esta época lo veo claro….. Si… Lee más »
Sí, llevas razón en eso (:
Y por qué no hacemos con los naturales y los enteros lo que hacemos con los años?:
No incluimos el cero.
Os lanzo una pregunta: ¿Habría algun problema formal en hacerlo?.
Piensese que lo que hacemos implicitamente al quitar el cero es nominar intervalos (periodos en el caso de los años) en vez de puntos. Cuando representemos la recta infinita, sería una la recta racional pero no una recta real. Nos veríamos un poco limitados por no poner el cero, ¿No lo creeis así?.