La conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach a Leonhard Euler en 1742 dice lo siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos (se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Por ejemplo:

  • 4 = 2 + 2
  • 6 = 3 + 3
  • 8 = 3 + 5
  • 10 = 3 + 7
  • 12 = 5 + 7

Todavía no se tiene una prueba completa de este hecho (o un contraejemplo que demuestre su falsedad), pero sí es cierto que sobre todo en los últimos años se ha avanzado bastante en el tema en el sentido de que se han encontrado equivalencias de esta conjetura con otros problemas sin resolver, por ejemplo con la hipótesis de Riemann. Además parece ser que la conjetura ha sido verificada hasta para todos los números pares hasta 1014.

Teniendo en cuenta estos datos cualquiera podría pensar que la conjetura es cierta. Vamos, que si se ha comprobado hasta 1014 no va a ser falsa para algún número superior. De hecho podemos decir que la comunidad matemática esta casi segura de que la conjetura es cierta…pero con esto no tenemos suficiente. Necesitamos una prueba rigurosa del hecho. Que algo se cumpla en muchos casos no significa que se cumpla siempre. Y para muestra un botón:

Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2·3 es un número de tipo par. Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2·3·3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par).

Sea n cualquier número natural. Consideremos los siguientes números:

  • P(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo par
  • I(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo impar

Por ejemplo consideremos n = 7. En este caso I(7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P(7) = 3 (el 1, el 4 y el 6). Entonces I(7) >P(7).

Para n = 6: I(6) = 3 y P(6) = 3. Por tanto I(6) = P(6).

En 1919 George Polya propuso el siguiente resultado, conocido desde entonces como conjetura de Polya:

Para todo n > 2 se tiene que I(n) es mayor o igual que P(n)

Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que era cierto para todo n hasta 1.000.000, razón por la cual se pensaba que la conjetura era cierta…Craso error.

En 1962, Lehman encontró un contraejemplo: para n = 906180359 se tiene que I(n) = P(n) – 1, y por tanto:

I(906180359) < P(906180359)

El contraejemplo más pequeño que se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en 1980.

Por tanto la conjetura de Polya es falsa.

¿Que nos enseña esto?. Pues muy sencillo: por desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos de la intuición ni de lo que ocurre para un número finito de casos, por muy grande que sea ese número. Hasta que un resultado no está comprobado en el caso general no tenemos completa seguridad de que sea cierto.

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