¿Existen figuras no «rupertizables»?

La cuestión sobre si una figura tridimensional es «rupertizable» tiene que ver con la posibilidad de hacer pasar dicha figura a través de un agujero hecho en una copia exactamente igual de la misma. Sí, suena extraño, pero la verdad es que es un tema que ha interesado a matemáticos desde siglos atrás y, como ha habido novedades recientemente, me he animado a contároslas.

Antes de continuar, es importante aclara que, en este caso, con «figura» nos referimos a poliedro (tridimensional) convexo, esto es, una figura tridimensional limitada por polígonos que, además, cumple que todo segmento que una puntos de su interior queda completamente contenido en dicho interior (intuitivamente, que el poliedro no tiene salientes ni hendiduras muy pronunciadas). Son ejemplos de ello, por ejemplo, todos los sólidos plátonicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) y muchos otros.

Que un poliedro convexo sea rupertizable (este término lo he acuñado yo, en inglés he visto que se dice que tiene la «Rupert property» o, simplemente, que es o no es «Rupert») tiene que ver, como hemos comentado en el primer párrafo, con tener la propiedad de poder pasar por un agujero realizado en él en una figura igual que la inicial.

Sí, habéis leído bien: se toman dos poliedros convexos exactamente iguales y se analiza si hay alguna forma de hacer un agujero en uno de ellos (se entiende, sin cargárselo completamente) por el cual podamos introducir el otro hasta sacarlo por el otro lado. Si se puede, dicho poliedro es «rupertizable»; si no se puede, no lo es.

En primera instancia, mucha gente diría que eso es imposible, que no hay manera de hacer tal agujero. Pero la realidad es muy distinta, y aquí en Gaussianos lo mostramos hace años. En la entrada El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo, vimos que un cubo (efectivamente, un simple cubo) tiene la «propiedad de Ruperto»: se puede hacer un agujero en un cubo de forma que, por dicho agujero, puede pasar otro cubo exactamente igual al anterior (de hecho, podría pasar uno incluso un pelín más grande).

El «truco» está en que el agujero no se hace de cualquier manera. En dicha entrada, os explicaba cómo debía realizarse dicho agujero y, además, os dejaba el vídeo que tenéis a continuación, en el que puede verse una animación sobre esta paradoja del cubo de Ruperto:

Un par de años después, os lo mostraba en imágenes reales en la entrada Demostración visual de la paradoja del cubo de Ruperto, en la que también os dejaba este enlace a una plantilla con la que vosotros mismos podíais construir las dos figuras y comprobarlo de primera mano. En su momento, yo la utilicé para hacer las figuras en cartulina y, efectivamente, comprobar que el cubo pasaba por el agujero. Puede servir para que los incrédulos (si todavía queda alguno) puedan realizar la comprobación ellos mismos (por si no queréis poneros con manualidades, aquí tenéis otro vídeo en el que lo hacen con cubos reales y, además, bastante grandes).

¿Y de dónde viene el nombre de «Ruperto»? Pues eso tiene que ver con la historia del asunto. Según parece, el príncipe Ruperto del Rin, militar y almirante inglés del siglo XVII, aceptó una apuesta de alguien no identificado sobre este tema. El príncipe Ruperto afirmaba que era posible pasar un cubo a través de un agujero hecho en otro cubo igual, pero el otro apostante decía que no. Evidentemente, Ruperto ganó la apuesta.

No se sabe si el propio príncipe fue capaz de demostrar este resultado, pero el que sí lo hizo fue el matemático inglés John Wallis a finales de dicho siglo XVII (que, de hecho, era quien contaba la historia de la apuesta del príncipe). Tema zanjado…

…pues no, nada de eso. ¿Cómo iban los matemáticos a quedarse ahí? Las preguntas surgen de manera totalmente natural: si con un cubo se puede, ¿se podrá con cualquier figura? ¿Debe ser dicha figura convexa, no convexa, o eso no importa? ¿Habrá alguna con la que no se pueda?

Dada la inmensa variedad de figuras poliédricas que se pueden presentar, casi instintivamente la investigación se dirigió a estudiar la posible «rupertización» de poliedros convexos. De ellos, hay muchos que son claramente rupertizables (por ejemplo, los que son mucho más anchos en una direcciones que en otras) y muchos otros de los que, de entrada, no se sabe si lo pueden ser (los más simétricos).

El caso es que estuvimos varios siglos con el único conocimiento de la rupertización del cubo hasta que, en 1968, Christoph Scriba demostraba en Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz (no lo he podido encontrar para consulta o descarga) que el tetraedro y el octaedro también son rupertizables (parece que ahí es donde se empezó a llamar a esto «tener la propiedad de Ruperto»). Tras esto, ya en el siglo XXI;

• Richard P. Jerrard, John E. Wetzel y Liping Yuan demostraban en 2017 que el dodecaedro y el icosaedro (los dos sólidos platónicos que faltaban) también eran rupertizables. Aquí tenéis la referencia de su trabajo: Platonic Passages.
• Ying Chai, Liping Yuan y Tudor Zamfirescu demostraban, al año siguiente, que ocho de los trece sólidos arquimedianos también tienen la propiedad de ruperto, entre ellos el icosaedro truncado, que es el que da forma al balón de fútbol de toda la vida, también es rupertizable. Os dejo la referencia de su paper: Rupert Property of Archimedean Solids.
• En 2019, B. Hoffman en Rupert Properties of Polyhedra and the Generalised Nieuwland Constant y G. Lavau en The Truncated Tetrahedron Is Rupert demostraban que el tetraedro truncado (también sólido arquimediano) era rupertizable, elevando la cifra de éstos a nueve.

El hecho de ser rupertizable parecía algo tan extendido que se conjeturó que todo poliedro convexo tenía la propiedad de Ruperto (dicha conjetura aparece explícitamente en el trabajo citado antes sobre los sólidos arquimedianos). Por otro lado, se había intentado dar respuesta a si los otros sólidos arquimedianos eran rupertizables y, en concreto, si lo era el rombicosidodecaedro, sin llegar a una respuesta. Tanto se ha intentado encontrar «el agujero del rombicosidodecaedro» sin llegar a ello que se conjetura que no lo es.

Pero, como ya sabemos, que no encontremos la forma de hacer algo no significa que no se pueda, al menos en matemáticas. Al parecer, seguimos sin saber nada del rombicosidodecaedro, pero…¡¡se ha encontrado un poliedro no rupertizable!!. En agosto de este año 2025, Jakob Steininger y Sergey Yurkevich han publicado un paper en el que demuestran que existe un poliedro convexo que no tiene la propiedad de Ruperto. En su trabajo A convex polyhedron without Rupert’s property, estos dos matemáticos describen el Noperthedron (entiendo que, españolizado, sería Nopertedro) y demuestran que dicho poliedro no tiene la propiedad de Ruperto.

El nombre «Nopertedro» proviene de unir «Nope» con «Rupert», acabando en el «-edro» habitual de los poliedros, y es un poliedro convexo con 90 vértices, 240 aristas y 152 caras, de las cuales 150 son triángulos y las dos restantes son pentadecágonos regulares (polígonos reculares de 15 lados). En concreto, corresponde con la siguiente figura (que, por cierto, ya aparecía en la imagen principal de esta entrada):

Por tanto, lo que Steininger y Yurevich han demostrado es que en este poliedro es imposible hacer un agujero por el que pueda pasar una copia exacta al original.

En consecuencia, la conjetura de que todo poliedro convexo es rupertizable es falsa, pero queda todavía mucho por hacer. Por ejemplo, saber si el rombicosidodecaedro es rupertizable, y lo mismo para otros poliedros que, por ahora, siguen sin respuesta. Hasta hace no mucho, el hecho de no encontrar forma de hacer tal agujero en ellos sugería que, simplemente, era cuestión de tiempo (o capacidad de cálculo de ordenadores) encontrarlo, ya que no se conocía ninguno con el que no se pudiera hacer. Ahora, tras la aparición del Nopertedro, podría darse el caso de que, en realidad, no hubiera forma de encontrar dicho agujero o, lo que es lo mismo, que esos poliedros no fueran rupertizables. Esperemos que en un futuro próximo tengamos respuesta a todas estas preguntas.

Por cierto, seguro que más de uno ha pensado hacerse una figura real del Nopertedro, ¿verdad? Pues siento deciros que no sois los primeros. Bueno, en realidad me alegro de que alguien lo haya pensado antes y también de que haya publicado los archivos necesarios para construirlo con impresora 3D. Concretamente, he encontrado esta publicación en Bluesky

I am printing a noperthedron pencil holder 🙂

#mtbos #mathart #noperthedron

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— Sophia (she/her) (@fractalkitty.com) 29 de agosto de 2025, 22:28

en la que, si vamos un poco más abajo, encontramos un enlace a la web de Tinkercad con dichos archivos. Con ellos, nos podemos hacer un bote de lápices con forma de Nopertedro: Noperthedron pencil holder. Espero las imágenes de vuestra creaciones, yo intentaré conseguirme uno y enseñároslo cuando lo tenga.

Me enteré de esto por el artículo First Shape Found That Can’t Pass Through Itself de la gran Quanta Magazine. Allí, podréis encontrar algo más de información sobre todo esto y sobre el trabajo de Steininger y Yurevich. También se ha hablado de ello en This New Shape Breaks an ‘Unbreakable’ 3D Geometry Rule, en Scientific American.