Esta historia es continuación de Qué extraño es el infinito.

En el capítulo anterior dejamos a un viandante descubriendo cosas sobre el infinito. Esta persona tenía un nombre, que revelo ahora: Red Plockenokerol. Puede que su, digamos, rechazo inicial a la idea de infinito matemático provenga de su nombre. La cuestión es que al final claudicó, aunque fuera solamente en su propia mente, no le quedó otro remedio.

Pero por suerte (o por desgracia, quién sabe), la historia no acabó ahí.

Ringggggg

Suena el teléfono en la redacción de la revista Infinity,

Redacción de Infinity, Dígame.

Buenos días. Mi nombre es Red Plockenokerol. Quería hablar con Albert Vidhid.

Lo siento señor Plockenokerol, pero el señor Albert Vidhid se encuentra en el extranjero realizando una serie de reportajes. Si quiere puede comentarme qué es lo que quería por si yo puedo ayudarle.

Pues…verá. Un día me lo encontré por la calle y me hizo algunas preguntas sobre el infinito…a raíz de las cuales me enseñó unos documentos…Bueno, la cosa es que me han surgido algunas dudas después de pensar en ellos y quería saber si él me podía ayudar. Por cierto, ¿cuál es su nombre?

Ah, perdone, no me he presentado. Mi nombre es Roger Toncag. Sobre sus dudas, creo que yo estaré lo suficientemente capacitado para ayudarle (normal, con ese nombre…). Podemos quedar esta misma tarde y hablamos.

De acuerdo. ¿Dónde podemos vernos?

La cafetería Far Away creo que será buen lugar. A las 18:00 nos vemos allí.

Perfecto. Hasta esta tarde.

Ahí terminó la conversación. Pero no nuestra historia. De hecho ésta no había hecho más que comenzar…

El reloj marca las 17:58. Red Plockenokerol ha sido excesivamente puntual, quizás por la ansiedad que le provoca no saber qué va a encontrarse, qué nuevo mundo se abrirá ante sus ojos. A lo lejos ve a un señor con traje que se acerca a la puerta de Far Away. Al llegar a su altura pregunta.

Roger Toncag: ¿El señor Plockenokerol?

Red Plockenokerol: Soy yo. Supongo que usted será el señor Toncag.

R.T.: Exacto. Entremos.

Entraron en la cafetería y se sentaron en una mesa al fondo, al lado de una ventana.

R.T.: Bueno, usted dirá. ¿Cuáles eran esas dudas?

R.P.: Bien, verá. El señor Vidhid me estuvo explicando cosas sobre el infinito y sus curiosas propiedades a través de la historia del hotel de Hilbert. Esta curioso hotel me ha hecho pensar y me ha surgido una duda. ¿Todos los infinitos son iguales? Hace un tiempo habría dicho que sí rotundamente, pero si le digo la verdad ahora no lo tengo tan claro.

R.T.: Creo que ha dado con la persona perfecta para aclararle este tema. Como supogno que mi amigo Albert ya le habló de los conjuntos finitos e infinitos vamos a comenzar poniendo nombre a un cierto tipo de conjuntos. Diremos que un conjunto es infinito numerable (o simplemente numerable) si puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los naturales positivos. A partir de esto la cuestión sobre la que usted duda es ver si todo conjunto infinito es numerable o si, por el contrario, hay conjuntos infinitos que no se pueden numerar.

R.P.: Por lo que veo usted llama numerar un conjunto infinito a poner en correspondencia biunívoca ese conjunto con los naturales positivos, ¿verdad?

R.T.: Exacto, eso es numerar un conjunto infinito. Voy a proponerle un juego. Imagine que yo pienso un número natural positivo y le reto a que lo adivine. Las normas son que cada día usted puede decir un único número natural. El día que lo adivine recibirá un premio. ¿Puede imaginar alguna estrategia para ganar?

R.P.: Hombre, es sencillo. EL primer día digo el 1. El segundo día el 2. El siguiente el 3. Y así sucesivamente. Debe llegar algún día en el que diga el número que ha pensado.

R.T.: Muy bien, perfecto. Ahora, con las mismas reglas que antes, pienso un número entero que no sea cero. ¿Tenemos estrategia?

R.P.: Pues…veamos. El primer día digo el 1. El segundo el -1. El tercero el 2. El cuarto el -2. Y continúo así.

R.T.: ¡Correcto! Y además fíjese lo que acaba de hacer: ha puesto en correspondencia biunívoca el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros distintos de cero. El segundo conjunto parece tener más elementos, pero en cuestión de infinito es igual que el primero, ya que puede ponerse en correspondencia biunívoca con él. En consecuencia podríamos decir que hay tantos elementos en \mathbb{Z} como en \mathbb{N}.

R.P.: Vaya, qué curioso. Esto me suena al hotel de Hilbert.

R.T.: Lógico, ya que este problema es en esencia igual que el segundo problema que se plantea en la historia del hotel. Vamos con otro problema del mismo tipo pero algo más complicado. ¿Qué estrategia podríamos usar si en vez de pensar en un número pienso en dos números naturales positivos (podría ser el mismo número repetido)?

R.P.: Eso ya parece algo más complicado. Me da que no va a poder hacerse…

R.T.: Pues sí se puede. Fíjese que para cada n sólo hay n parejas (es decir, un número finito de parejas) en las que el número mayor es n. Por ejemplo, para el 4 tenemos las siguientes parejas de ese tipo: (1,4),(2,4),(3,4),(4,4). Por tanto, para el 1 sólo hay un par donde el 1 es el mayor: (1,1). Para el 2 hay dos parejas: (1,2),(2,2). Y así sucesivamente. Por tanto colocándolas en el orden (1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4), \ldots llegaríamos a acertar el par de números.

R.P.: Vaya, no lo había pensado.

R.T.: De hecho hay más. Podríamos hacer algo parecido si además se pidiera que adivinara el orden en que están escritos los dos números simplemente nombrando cada pareja de números distintos en sus dos órdenes posibles. Algo así: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(1,4),(4,1), \ldots. Con esto conseguimos algo que en principio puede parecer sorprendente: asociando cada pareja (r,s) con la fracción \textstyle{\frac{r}{s}} tenemos que en el primer caso hemos puesto todas las fracciones positivas cuyo numerador es menor o igual que su denominador en correspondencia biunívoca con los números naturales positivos y en el segundo caso hemos puesto en correspondencia uno a uno todas las fracciones positivas en correspondencia uno a uno con el mismo conjunto, con los naturales positivos.

R.P.: De hecho ahí hay más fracciones, porque habría fracciones repetidas, por ejemplo \textstyle{\frac{2}{4}} y \textstyle{\frac{3}{6}} son la misma fracción.

R.T.: ¡Muy bien! Veo que lo entiende. Por tanto hemos hecho algo que en principio atenta totalmente con cualquier tipo de razonamiento: extendiendo un poco el razonamiento (colocando los signos – cuando fuera necesario) hemos demostrado que en el conjunto de las fracciones, \mathbb{Q}, y el conjunto de los naturales, \mathbb{N}, hay el mismo número de elementos.

R.P.: Impresionante, nunca lo habría pensado. Pero ahora que lo veo en realidad tiene sentido.

R.T.: Claro que lo tiene. Hasta podríamos hacer más. Podríamos poner en correspondencia uno a uno todos los subconjuntos finitos de los naturales positivos con el propio conjunto de los naturales positivos. La forma de hacerlo se la dejo a usted, no voy a hacer yo todo el trabajo (Nota: esto os toca a vosotros en los comentarios).

R.P.: Muy bien, creo que ya me veo preparado para pensarlo. Pero antes de eso una pregunta: supongo que entonces también se podrá hacer lo mismo con todos los subconjuntos, ya sean finitos o infinitos, de \mathbb{N} y el propio \mathbb{N}, ¿no?

R.T.: ¡Ese es el punto más interesante! ¡No se puede! ¡Ese fue el gran descubrimiento del matemático Georg Cantor! Aquí tiene este texto que le he preparado justo para este momento. Léalo mientras pido otro café.

Nuestro amigo Plockenokerol comenzó a leer:

Georg Cantor fue un matemático alemán nacido a mediados del siglo XIX y que murió en la primera mitad del siglo XX. Principalmente es conocido por sus estudios en teoría de conjuntos, concretamente en los avances que realizó en relación con los conjuntos infinitos.

Cantor estaba convencido de que todos los conjuntos infinitos tenían la misma cantidad de elementos, es decir, todos se podían poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales positivos. Por ello dedicó gran parte de su vida a demostrar ese hecho. Tomó conjunto relativamente grandes, de los que pensaba que no cumplirían su idea, e intentó buscar formas de ponerlos en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Fue consiguiéndolo con todos…hasta que llegó a P(\mathbb{N}), partes de \mathbb{N}, conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos, finitos e infinitos, de \mathbb{N}. Con éste no pudo. Ni él mismo salía de su asombro al darse cuenta de su propio descubrimiento. De hecho es famosa esta frase suya referida a dicho descubrimiento:

¡Lo veo, pero no lo creo!

Llamando cardinal a la cantidad de elementos de un conjunto, se sabe por teoría de conjunto que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto de n elementos es 2^n. Cantor llamó \aleph_0 al cardinal de \mathbb{N}.Infinito-Alephs
Como P(\mathbb{N}) tiene más elementos, cómo hemos visto antes, su cardinal necesitaba otro nombre. Este fue \aleph_1.Por tanto, según Cantor, 2^{\aleph_0}=\aleph_1. Y así podríamos continuar, construyendo entonces una serie de cardinales de conjuntos, llamados números transfinitos: \aleph_0, 2^{\aleph_0}=\aleph_1,2^{\aleph_1}=\aleph_2, \ldots. De hecho también demostró que el cardinal de P(\mathbb{N}) es igual que el cardinal de \mathbb{R}. Por tanto, el conjunto de partes de \mathbb{N} tiene la misma cantidad de elemento que \mathbb{R}, por lo que \mathbb{R} no es numerable.

Este fue el gran descubrimiento de Cantor. Aunque al principio este gran avance no fue aceptado por sus colegas (como suele pasar con temas que rompen tan radicalmente con el pensamiento de la época en cuestión), ni siquiera por su maestro Leopold Kronecker, al final fue aceptado por toda la comunidad de matemáticos (al menos de los serios, ya que siempre hay alguien que intenta demostrar lo contrario).

R.P.: ¡Vaya, sorprendente! Por un lado es una lástima dedicar tanto tiempo de tu vida a demostrar algo que resulta ser falso, pero por otro lado es emocionante haber abierto la puerta del mundo de los cardinales transfinitos al resto de la comunidad científica. Qué grande este Georg Cantor.

R.T.: Pues sí, la verdad es que sí. Por cierto, ¿no ha notado algo extraño en el texto que acaba de leer? ¿No ve raro que pusiera \aleph_1 como nombre del cardinal de \mathbb{R}?

R.P.: SI le digo la verdad no había caído.

R.T.: ¡Pues ese fue (y sigue siendo) uno de los problemas más interesantes de las matemáticas desde ese momento! Se denomina hipótesis del continuo (a \mathbb{R} se le denomina «el continuo»). Cantor conjeturó que no hay conjuntos cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1.

R.P.: ¿Y qué ocurrió con este tema? ¿Se sabe cuál es la realidad?

R.T.: Pues la realidad es que…es válida tanto la conjetura de Cantor como su negación. Kurt Gödel demostró que podemos crear una teoría de conjuntos consistente tomando la HC como cierta (no hay ningún conjunto cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1) y Paul Cohen demostró que se puede hacer lo mismo tomándola como falsa (hay infinitos números transfinitos entre cada dos escalones). Por ello la conjetura es indecidible en el seno de la teoría de conjuntos que se suele utilizar en la actualidad.

R.P.: ¿Y qué hacemos entonces?

R.T.: Pues en este caso suele tomarse como cierta, es decir, suele asumirse que entre \aleph_0 y \aleph_1 no hay ningún número transfinito. Bueno, creo que ya es suficiente por hoy, ¿no?

R.P.: Sí, la verdad es que creo que la tarde ha sido suficientemente productiva. Mejor lo dejamos por hoy. Espero que volvamos a vernos en alguna ocasión para seguir charlando sobre este tema.

R.T.: Quién sabe, amigo Plockenokerol, quién sabe.

Nuestros amigos Roger Toncag y Red Plockenokerol salieron de la cafetería Far Away después de unas cuantas horas bastante fructíferas en lo que transmisión y adquisición de conocimientos se refiere. ¿Se volverán a encontrar algún día? El tiempo lo dirá.

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