Pues eso: si tuvieras que elegir uno de los cinco poliedros regulares como el más «esférico» (el más «cercano» a una esfera)

(Fuente)

¿cuál elegirías? Mientras lo piensas vamos a contar algunas cosas.

En principio parece una cuestión sencilla…o quizás no tanto. Como al estudiar ciertas situaciones en matemáticas puede ser conveniente irse a casos más simples vamos a hacerlo ahora también, a ver si esto nos ayuda.

Vayámonos a dos dimensiones. ¿Cuál es el polígono regular más «circular»? Aquí la respuesta es sencilla, ¿no? Un polígono regular se va haciendo más «circular» conforme aumenta su número de lados. Es decir, si tomamos dos polígonos regulares con cantidades de lados distintas y dibujamos la circunferencia inscrita y la circunscrita de cada uno de ellos parece claro que el polígono que tenga más lados de los dos rellena más la circunscrita y es más rellenado por la inscrita, convirtiéndose así en el más «circular» de los dos. De hecho en ello se basa un famoso método de aproximación del número pi.

Pero en tres dimensiones la situación no es exactamente igual, ya que mientras que hay infinitos polígonos regulares solamente tenemos cinco poliedros regulares. ¿Cuál será ahora el más «esférico»? ¿El de más aristas? ¿El de más caras? ¿Quizás el de más vértices?

Bien, como creo que ya os he dejado tiempo para pensarlo os digo la respuesta: depende.

¿Depende? Sí, depende. Veamos por qué. Supongamos que consideramos que el poliedro regular más esférico es el que cumple que tiene menor volumen respecto de su esfera inscrita, que supondremos de radio 1 (es decir, el poliedro regular que excede en menor cantidad el volumen de su esfera inscrita). En ese caso el poliedro regular más esférico es el icosaedro. En la siguiente tabla podemos ver varios datos, entre los que se encuentra el volumen de cada uno de los poliedros regulares en esta situación:

Vemos que es el icosaedro el que tiene menor volumen en este caso.

Cambiemos ahora de interpretación. Supongamos ahora que para nosotros el poliedro regular más esférico es el que cumple que tiene mayor volumen respecto de su esfera circunscrita, que supondremos también de radio 1 (esto es, el poliedro regular que rellena mayor cantidad de su esfera circunscrita). Seguro que muchos habéis pensado que también sería el icosaedro en este caso, pero en realidad es el dodecaedro. Los datos los encontramos en la tabla siguiente:

Cuanto menos curioso que el dodecaedro gane en este caso.

De todas formas, al final parece que el icosaedro toma ventaja. Si calculamos los volúmenes de cada uno de los cinco poliedros regulares para superficie fija igual a 1 obtenemos los valores de la siguiente tabla:

En ella podemos ver que el icosaedro es el que tiene mayor volumen en esta situación, por lo que en este sentido podríamos decir que es el más esférico, por lo que se acabaría alzando con la victoria en esta hipotética confrontación con el dodecaedro.

Y por añadir una razón más, el considerado mundialmente como «el esférico», el balón de fútbol, se inspira en un icosaedro truncado, poliedro que se obtiene truncando todos los vértices del icosaedro:

(Fuente)

¿Cuál habíais pensado vosotros en un principio? ¿Se os ocurren más formas de determinar cuál de estos poliedros regulares es el más esférico? Los comentarios son vuestros.


La idea del post y las imágenes con las tablas están sacadas de Which Platonic Solid is Most-Spherical?, de Pat’s Blog.

Print Friendly, PDF & Email