¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?

El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la “simpleza” del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.

Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio 2n^2+29 toma 29 valores primos distintos para n de 0 a 28, y 36n^2-810n+2753 da 45 valores primos distintos para n de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí). En este post hablo un poco más sobre este tema.

Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta que titula este artículo: ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? En aquella entrada comentaba lo siguiente:

Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?

Pues aunque en principio uno puede pensar que la demostración es complicada (hay que tener en cuenta que debe ser general, para todos los polinomios de coeficientes enteros), en realidad es bastante sencilla. Vamos a verla.

Demostración:

Tomemos Q(x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots +a_1x+a_0 un polinomio cualquiera de grado n con coeficientes enteros, y supongamos que da valores primos para cualquier x número natural. En particular, Q(1) da como resultado un número primo p. Es decir:

Q(1)=a_n+a_{n-1}+ \ldots +a_1+a_0=p

Calculemos ahora Q(1+kp), con k un número natural cualquiera:

Q(1+kp)=a_n(1+kp)^n+a_{n-1} (1+kp)^{n-1}+ \ldots +a_1(1+kp)+a_0

Si desarrollamos todas estas expresiones (el binomio de Newton será fundamental para ello) obtenemos que todos los términos son múltiplos de p excepto, posiblemente, a_n,a_{n-1}, \ldots ,a_1 y a_0. Pero la suma de todos ellos es exactamente p (esa suma es precisamente Q(1), que hemos supuesto antes igual a p). Por tanto Q(1+kp) es un múltiplo de p, digamos mp, con m un número natural.

Ahora, hemos supuesto al comienzo que Q toma valores primos para todos los números naturales, por lo que mp debe ser un número primo. Evidentemente la única posibilidad es que m sea igual a 1, por lo que Q(1+kp)=p.

Analizando lo que hemos obtenido vemos que Q toma el valor p para todos los valores 1+kp, con k un número natural cualquiera. Es decir, Q toma el valor p para infinitos números naturales. Pero eso es imposible, ya que si eso fuera así entonces el polinomio P(x)=Q(x)-p tomaría el valor 0 en infinitos números naturales. Esto es, tendríamos un polinomio de grado n, P(x), que tiene infinitas raíces. Y eso, como sabemos, no puede suceder (un polinomio de grado n tiene, a lo sumo, n raíces reales).

Por tanto, no existe ningún polinomio (no constante) con coeficientes enteros que tome valores primos para todos los números naturales.


En la entrada que os enlazaba unos párrafos más arriba sobre polinomios generadores de primos comentaba que era una lástima que no existiera un polinomio así. Pero, pensándolo de nuevo, quizás no sea tanta lástima, ya que si existiera alguno la búsqueda de polinomios que generen más y más números primos tendría muy poco interés (si tengo uno que genera infinitos primos, ¿para qué quiero buscar uno que genere 50, ó 100, ó 1000?). Pero seguro que sobre esto hay opiniones de todos los tipos. Espero las vuestras en los comentarios.


Recordé esta demostración leyendo Los números trascendentes, de Javier Fresán y Juanjo Rué. Por cierto, interesante libro que os recomiendo leer.

La imagen la he tomado de aquí.


Segunda aportación de Gaussianos a la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organizan en Que no te aburran las M@tes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Holas…

    Bien por tu publicacion; pero si no se comprende la organizacion de los numeros primos, por mas formulas y algoritmos que realicen, no habra un polinomio que genere directamente primos.

    ○ Segun el analisis que realice, es posible crear un algoritmo que genere directo todos los numeros primos pertenecientes a su “Primo Origen”.

    ○ Los Primos Origen, son unos cuantos numeros primos (menos que 10) de los cuales se originan todos los numeros primos, por eso los denomine como primos origen, una explicacion mas amplia pueden verlo en:
    https://gaussianos.com/forogauss/topic/los-numeros-primos-origen/#post-12721

    Como comprenderan, de unos cuantos numeros primos se originan todos los primos que existiran, donde la organizacion esta dada por unas “Secuencias” definidas, por lo que afirmar que se presentan al azar es totalmente erroneo.

    ○ Yendo al tema… obtener directamente los primos de un primo origen es simple; pero en estos se prensentan “no primos” por la coincidencia de ser multiplos de primos generados de otro primo origen. Como nada es al azar, en mi ultimo analisis, encontre un patron o “secuencia de multiplos comunes” con lo que se podria descartar los no primos generados de un primo origen y asi obtener numeros primos directamente.

    ◘ Aun no he completado este analisis para ver si esta secuencia es general o especifica para cada primo origen; pues como indico en la publicacion que indique, hay secuencias que se aplican a todos y otras que se toman segun la posicion que ocupa el primo origen dentro del grupo de primos origen, cuando lo termine, publicare como se realiza esto.

    ◘ No soy matematico formado; pero descubri como se organiza el mundo de los numeros primos, por lo cual me atrevo a realizar estas afirmaciones, de que es posible generar directamente numeros primos pertenecientes a cada primo origen. Creo que despues, algun matematico, podra fusione los metodos y crear un algoritmo que genere todos los numeros primos directamente.

    Saludos a todos…

    Publica una respuesta
  2. pero eso es verdad ? podriamos usar el ‘POlynomio infinito ‘

     P(x) = \prod_{p}(x-p)

    donde el producto es sobre todos los primos 😀 poisbles

    Publica una respuesta
  3. Otra demostración, creo yo que más sencilla, es asumir que el polinomio es no constante:
    a_{0} = Q(0) es primo por hipótesis. Ahora, a_{0} | Q(|a_{0}|) y por tanto (sabiendo que Q no tiene raíces naturales ya que 0 no es primo) llegamos a una contradicción, ya que Q(|a_{0}|) no es primo.

    Publica una respuesta
  4. Disculpad, creo que debo explicar mejor mi comentario anterior:
    Asumiendo que Q es no constante a_{0} = Q(0) es primo por hipótesis. Entonces, a_{0} | Q(|a_{0}|).
    La única manera de no contradecir las hipótesis es que Q(|a_{0}|) = a_{0}, y esto ocurre con todas las potencias naturales positivas de a_{0}, es decir, a_{0} | Q(|a_{0}|), Q(a_{0}^{2}), Q(|a_{0}^{3}|), …
    En consecuencia tendríamos: \forall m \in \mathbb{N}^{+}, \, Q(|a_{0}^{m}|) = a_{0} \Rightarrow Q(x) - a_{0} tiene infinitas raíces (naturales), cosa que es imposible ya que asumimos previamente que Q no era constante.

    Publica una respuesta
  5. Mi respuesta es no. El contrario si existe: ecuaciones que den todos los compuestos.
    Yo he encontrado un método para saber si un numero es primo o no:
    Dadas 4 ecuaciones diofánticas del tipo axy+bx+cy-d=0 (la d surge diferente en cada número dado).
    Resolución: 1.-aparece alguna de las 4 ecuciones con solución número natural= es un número compuesto
    2.-ninguna tiene solución número natural= estamos ante un número primo.
    Lo estan analizando en la universidad y aparentemente funciona, lo que no se sabe aún es si puede ser un método más rápido que el actual .

    Publica una respuesta
  6. Victor Luis que tal!!

    Algún correo por el que te pueda contactar, me parece muy interesante tu estudio. Lo leí por encimita pero me gustaría platicar contigo ciertos aspectos del tema. A mi también me interesan los números primos pero mi análisis no ha llegado tan profundamente.

    Saludos

    Publica una respuesta
  7. Para Victo Luis:
    Revise un poco su investigación, aunque usted no la presenta con total transparencia, creo que he entendido de que se trata.
    Amigo, es bueno que te interese un tema tan profundo y que tantos dolores de cabeza ha causado entre los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Pero, siempre es aconsejable tener un buen marco de referencia en la investigación que realizas. Me parece que su algoritmo es una forma avanzada de la criba de eratóstenes, un método rápido, pero que lamentablemente es muy muy inferior a los algoritmos probabilísticos actuales. El meollo del asunto es que los matemáticos asumen (Aun no está probado) que los números primos están lo mejor ordenados posible (Asumen que la “Hipotesis generalizada de riemann” es verdadera). Con estos algoritmos han llegado fácilmente a contar todos los números primos que hay hasta 10^25(176,846,309,399,143,769,411,680 números primos). Y han encontrado números primos enormes( El más grande tiene 17.425.170 DÍGITOS!!) Si su método es eficiente con números de millones de dígitos, usted tiene oro en sus manos, pero lo mas probable es que su método este terriblemente limitado por la memoria de su computadora(me parece que usted utiliza todos los datos anteriores para seguir avanzando). Algo que hace muy ineficiente su algoritmo. Cualquier matemático serio sabe que los números primos no están al azar. Lo que pasa es que nadie ha encontrado el agujero del conejo. Hay miles y miles de trabajos matemáticos que asumen que la hipótesis generalizada de riemann es verdadera, por eso es tan importante que alguien pruebe que dicha hipótesis es verdadera, ya que todos estos trabajos quedarían totalmente validados. Si la hipótesis de riemann resultara falsa, los matemáticos habrían perdido más de 100 años en trabajos que tocaría votar a la basura. Pero hasta ahora no hay indicios de que sea falsa. 

    Publica una respuesta
  8. He estado trabajando durante 3 años sobre una función recurrente en la cual se encuentran todos los números primos, además de otros compuestos, pero si todos los números primos para un n.
    Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos emparejados en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos. Curiosa! échenle un vistazo!
    un saludo

    http://arithmoswaki.blogspot.com.es/

    Publica una respuesta
  9. Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos hermanos en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos, etc…
    Por ejemplo

    29173=2310*12 + 210*6 + 30*6 + 6*2 * 2*0 + 1
    Un saludo

    Nota: Las proposiciones y demostraciones las tengo en mi blog. http://arithmoswaki.blogspot.com.es/

    Publica una respuesta
  10. Para todos a los que les interese los números primos.

    Todo número primo se encuentra en el intervalo ( Serie Dirichlet):

    entre (30a + 11) y (42a + 43) ; a = (1;2;3;4;5;……………)

    ( irrefutable)

    La hipotesis de Riemann ha sido demostrada: existen ceros no solo para (a = \frac{1}{2}) sino que tambien para (\frac{1}{3}; \frac{1}{5}; ………….). los únicos valores de (n) que no se encuentran a lo largo de las series convergentes es (n = p^{x})

    indico dos de las series convergentes para 1/2 y 1/3.

    \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{84} + \frac{1}{972} + \frac{1}{2921} + \frac{1}{5832}

    \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{24} + \frac{1}{84} + \frac{1}{972} + \frac{1}{2921} + \cdot \cdot \cdot + \cdot \cdot \cdot

    \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{162} + \frac{1}{486} + \frac{1}{1458} + \frac{1}{2187} + \frac{1}{4374}

    \frac   {1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + \frac{1}{162} + \frac{1}{486} + \frac{1}{1458} + \frac{1}{2187} + \cdot \cdot \cdot + \cdot \cdot \cdot

    U. Journal of Applied Mathematic (2013)

    3º Existe un polinomio que solo genera primos ( pero no todos los primos)

    P_ {(E)}: 3.4^{x} + 4^{x-1} + 4^{x-2} + \cdot \cdot + 4^{x-x} = p

    con x = (1;2;3;4;5………..)

    p = (13;53; 213; 853; 3413; 13653; ………………)

    Publica una respuesta
  11. Respondiendo a Ángel Pérez:

    3. Eso no es un polinomio, y 213 no es primo.

    Publica una respuesta
  12. Dado un polinomio de la forma: a x^2 + b x + c.
    ¿Hay algún método para saber si puede dar algún primo en función de a, b y c?

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. ¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? - […] ¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? […]
  2. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com Valora en Bitacoras.com: El polinomio es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado…
  3. ¿Existen polinomios que den valores prim... - […]   […]
  4. Resumen Edición 4.123105625 Carnaval Matemáticas (Dic-2013) | Que no te aburran las M@TES - […] ¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?: Segunda aportación de Gaussianos: […]
  5. Existen polinomios que den valores primos para ... - […] El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos…
  6. (Lo que yo considero) Lo mejor de 2013 en Gaussianos | Matemáticas Secundaria - […] más caro del mundo ¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *