El polinomio es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de
desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la «simpleza» del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.
Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio toma 29 valores primos distintos para
de 0 a 28, y
da 45 valores primos distintos para
de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí). En este post hablo un poco más sobre este tema.
Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta que titula este artículo: ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? En aquella entrada comentaba lo siguiente:
Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.
O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?
Pues aunque en principio uno puede pensar que la demostración es complicada (hay que tener en cuenta que debe ser general, para todos los polinomios de coeficientes enteros), en realidad es bastante sencilla. Vamos a verla.
Demostración:
Tomemos un polinomio cualquiera de grado
con coeficientes enteros, y supongamos que da valores primos para cualquier
número natural. En particular,
da como resultado un número primo
. Es decir:
Calculemos ahora , con
un número natural cualquiera:
Si desarrollamos todas estas expresiones (el binomio de Newton será fundamental para ello) obtenemos que todos los términos son múltiplos de excepto, posiblemente,
y
. Pero la suma de todos ellos es exactamente
(esa suma es precisamente
, que hemos supuesto antes igual a
). Por tanto
es un múltiplo de
, digamos
, con
un número natural.
Ahora, hemos supuesto al comienzo que toma valores primos para todos los números naturales, por lo que
debe ser un número primo. Evidentemente la única posibilidad es que
sea igual a 1, por lo que
.
Analizando lo que hemos obtenido vemos que toma el valor
para todos los valores
, con
un número natural cualquiera. Es decir,
toma el valor
para infinitos números naturales. Pero eso es imposible, ya que si eso fuera así entonces el polinomio
tomaría el valor 0 en infinitos números naturales. Esto es, tendríamos un polinomio de grado
,
, que tiene infinitas raíces. Y eso, como sabemos, no puede suceder (un polinomio de grado
tiene, a lo sumo,
raíces reales).
Por tanto, no existe ningún polinomio (no constante) con coeficientes enteros que tome valores primos para todos los números naturales.
En la entrada que os enlazaba unos párrafos más arriba sobre polinomios generadores de primos comentaba que era una lástima que no existiera un polinomio así. Pero, pensándolo de nuevo, quizás no sea tanta lástima, ya que si existiera alguno la búsqueda de polinomios que generen más y más números primos tendría muy poco interés (si tengo uno que genera infinitos primos, ¿para qué quiero buscar uno que genere 50, ó 100, ó 1000?). Pero seguro que sobre esto hay opiniones de todos los tipos. Espero las vuestras en los comentarios.
Recordé esta demostración leyendo Los números trascendentes, de Javier Fresán y Juanjo Rué. Por cierto, interesante libro que os recomiendo leer.
La imagen la he tomado de aquí.
Segunda aportación de Gaussianos a la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organizan en Que no te aburran las M@tes.
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Holas… Bien por tu publicacion; pero si no se comprende la organizacion de los numeros primos, por mas formulas y algoritmos que realicen, no habra un polinomio que genere directamente primos. ○ Segun el analisis que realice, es posible crear un algoritmo que genere directo todos los numeros primos pertenecientes a su «Primo Origen». ○ Los Primos Origen, son unos cuantos numeros primos (menos que 10) de los cuales se originan todos los numeros primos, por eso los denomine como primos origen, una explicacion mas amplia pueden verlo en: https://gaussianos.com/forogauss/topic/los-numeros-primos-origen/#post-12721 Como comprenderan, de unos cuantos numeros primos se originan todos… Lee más »
pero eso es verdad ? podriamos usar el ‘POlynomio infinito ‘
donde el producto es sobre todos los primos 😀 poisbles
Otra demostración, creo yo que más sencilla, es asumir que el polinomio es no constante:
es primo por hipótesis. Ahora,
y por tanto (sabiendo que Q no tiene raíces naturales ya que 0 no es primo) llegamos a una contradicción, ya que
no es primo.
Disculpad, creo que debo explicar mejor mi comentario anterior:
es primo por hipótesis. Entonces,
.
, y esto ocurre con todas las potencias naturales positivas de
, es decir, 
tiene infinitas raíces (naturales), cosa que es imposible ya que asumimos previamente que Q no era constante.
Asumiendo que Q es no constante
La única manera de no contradecir las hipótesis es que
En consecuencia tendríamos:
Mi respuesta es no. El contrario si existe: ecuaciones que den todos los compuestos.
Yo he encontrado un método para saber si un numero es primo o no:
Dadas 4 ecuaciones diofánticas del tipo axy+bx+cy-d=0 (la d surge diferente en cada número dado).
Resolución: 1.-aparece alguna de las 4 ecuciones con solución número natural= es un número compuesto
2.-ninguna tiene solución número natural= estamos ante un número primo.
Lo estan analizando en la universidad y aparentemente funciona, lo que no se sabe aún es si puede ser un método más rápido que el actual .
[…] […]
¿Alguien ha revisado esto antes?
http://es.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalidad_AKS
[…] ¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?: Segunda aportación de Gaussianos: […]
[…] El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números … […]
[…] más caro del mundo ¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista? ¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural? Lotería de Navidad: probabilidad no es igual a […]
Victor Luis que tal!!
Algún correo por el que te pueda contactar, me parece muy interesante tu estudio. Lo leí por encimita pero me gustaría platicar contigo ciertos aspectos del tema. A mi también me interesan los números primos pero mi análisis no ha llegado tan profundamente.
Saludos
Para Victo Luis: Revise un poco su investigación, aunque usted no la presenta con total transparencia, creo que he entendido de que se trata. Amigo, es bueno que te interese un tema tan profundo y que tantos dolores de cabeza ha causado entre los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Pero, siempre es aconsejable tener un buen marco de referencia en la investigación que realizas. Me parece que su algoritmo es una forma avanzada de la criba de eratóstenes, un método rápido, pero que lamentablemente es muy muy inferior a los algoritmos probabilísticos actuales. El meollo del asunto es… Lee más »
Si alguien le interesa de verdad como van los matemáticos con el tema de la hipotesis de Riemann:
http://terrytao.wordpress.com/2013/07/19/the-riemann-hypothesis-in-various-settings/
He estado trabajando durante 3 años sobre una función recurrente en la cual se encuentran todos los números primos, además de otros compuestos, pero si todos los números primos para un n.
Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos emparejados en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos. Curiosa! échenle un vistazo!
un saludo
http://arithmoswaki.blogspot.com.es/
Esta función es peculiar, porque tiene una propiedad especial, ya que todos los elementos son primos entre si, la existencia de números primos hermanos en la distancia y de la cual deduzco la descomposición polinómica de los números primos, etc…
Por ejemplo
29173=2310*12 + 210*6 + 30*6 + 6*2 * 2*0 + 1
Un saludo
Nota: Las proposiciones y demostraciones las tengo en mi blog. http://arithmoswaki.blogspot.com.es/
Para todos a los que les interese los números primos. Todo número primo se encuentra en el intervalo ( Serie Dirichlet): entre (30a + 11) y (42a + 43) ; a = (1;2;3;4;5;……………) ( irrefutable) La hipotesis de Riemann ha sido demostrada: existen ceros no solo para sino que tambien para . los únicos valores de (n) que no se encuentran a lo largo de las series convergentes es indico dos de las series convergentes para 1/2 y 1/3. U. Journal of Applied Mathematic (2013) 3º Existe un polinomio que solo genera primos ( pero no todos los primos) con… Lee más »
Respondiendo a Ángel Pérez:
3. Eso no es un polinomio, y 213 no es primo.
Dado un polinomio de la forma: a x^2 + b x + c.
¿Hay algún método para saber si puede dar algún primo en función de a, b y c?