El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la «simpleza» del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.

Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio 2n^2+29 toma 29 valores primos distintos para n de 0 a 28, y 36n^2-810n+2753 da 45 valores primos distintos para n de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí). En este post hablo un poco más sobre este tema.

Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta que titula este artículo: ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? En aquella entrada comentaba lo siguiente:

Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?

Pues aunque en principio uno puede pensar que la demostración es complicada (hay que tener en cuenta que debe ser general, para todos los polinomios de coeficientes enteros), en realidad es bastante sencilla. Vamos a verla.

Demostración:

Tomemos Q(x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots +a_1x+a_0 un polinomio cualquiera de grado n con coeficientes enteros, y supongamos que da valores primos para cualquier x número natural. En particular, Q(1) da como resultado un número primo p. Es decir:

Q(1)=a_n+a_{n-1}+ \ldots +a_1+a_0=p

Calculemos ahora Q(1+kp), con k un número natural cualquiera:

Q(1+kp)=a_n(1+kp)^n+a_{n-1} (1+kp)^{n-1}+ \ldots +a_1(1+kp)+a_0

Si desarrollamos todas estas expresiones (el binomio de Newton será fundamental para ello) obtenemos que todos los términos son múltiplos de p excepto, posiblemente, a_n,a_{n-1}, \ldots ,a_1 y a_0. Pero la suma de todos ellos es exactamente p (esa suma es precisamente Q(1), que hemos supuesto antes igual a p). Por tanto Q(1+kp) es un múltiplo de p, digamos mp, con m un número natural.

Ahora, hemos supuesto al comienzo que Q toma valores primos para todos los números naturales, por lo que mp debe ser un número primo. Evidentemente la única posibilidad es que m sea igual a 1, por lo que Q(1+kp)=p.

Analizando lo que hemos obtenido vemos que Q toma el valor p para todos los valores 1+kp, con k un número natural cualquiera. Es decir, Q toma el valor p para infinitos números naturales. Pero eso es imposible, ya que si eso fuera así entonces el polinomio P(x)=Q(x)-p tomaría el valor 0 en infinitos números naturales. Esto es, tendríamos un polinomio de grado n, P(x), que tiene infinitas raíces. Y eso, como sabemos, no puede suceder (un polinomio de grado n tiene, a lo sumo, n raíces reales).

Por tanto, no existe ningún polinomio (no constante) con coeficientes enteros que tome valores primos para todos los números naturales.

En la entrada que os enlazaba unos párrafos más arriba sobre polinomios generadores de primos comentaba que era una lástima que no existiera un polinomio así. Pero, pensándolo de nuevo, quizás no sea tanta lástima, ya que si existiera alguno la búsqueda de polinomios que generen más y más números primos tendría muy poco interés (si tengo uno que genera infinitos primos, ¿para qué quiero buscar uno que genere 50, ó 100, ó 1000?). Pero seguro que sobre esto hay opiniones de todos los tipos. Espero las vuestras en los comentarios.

Recordé esta demostración leyendo Los números trascendentes, de Javier Fresán y Juanjo Rué. Por cierto, interesante libro que os recomiendo leer.

La imagen la he tomado de aquí.

Segunda aportación de Gaussianos a la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organizan en Que no te aburran las M@tes.

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