Publicada una prometedora demostración de la conjetura de Casas-Alvero

Hace ya unos años (en 2011, concretamente), escribía en el blog sobre la conocida como conjetura de Casas-Alvero, debida al matemático español Eduardo Casas-Alvero. Lo hacía primero proponiéndola como un ejercicio (sin decir que era un problema abierto), Ceros de un polinomio y sus derivadas, y después contando la historia del problema en sí con palabras del propio Eduardo, La conjetura de Casas-Alvero contada por Eduardo Casas-Alvero.

Bien, pues puede ser que la conjetura haya encontrado respuesta afirmativa, pasando entonces a ser un teorema. Y esto es así porque se ha publicado un trabajo relacionado con la misma que parece que demuestra su veracidad.

Vamos por partes. La conjetura de Casas-Alvero dice lo siguiente:

Conjetura de Casas-Alvero
Sea un polinomio de grado con coeficientes complejos que comparte un cero (una solución) con cada una de sus derivadas no triviales (es decir, tal que y tienen una raíz común para ). Entonces,

para ciertos números complejos .

En el artículo, Eduardo nos contaba algunos avances que se habían producido en su resolución desde que él la planteo, pero también nos confirmaba que aún no había demostración completa.

El caso es que, en enero de este año 2025, Soham Ghosh publicó en arXiv el trabajo Proof of Casas-Alvero conjecture que parece que cierra el tema.

Os cuento por qué digo que «parece» que el asunto está cerrado, aunque la cosa pinta bien. He contactado de nuevo con el propio Eduardo Casas-Alvero y me ha contado algunas cosas sobre el tema. Al parecer, Soham Ghosh defendió su tesis hace menos de un año sobre esta misma conjetura, aunque sin demostración. Más adelante, en enero de este año, Ghosh publica el trabajo que os he enlazado antes, que contiene una demostración completa de la conjetura de Casas-Alvero. Eduardo no ha tenido tiempo todavía para analizarlo en profundidad, pero sí que me ha comentado que otras personas lo han dado por bueno.

En concreto, Daniel Schaub y Mark Spivakovsky publicaron en febrero de este año el preprint A note on the Casas-Alvero conjecture, en el que daban una demostración parcial de la conjetura por otros medios, y en él mencionan el trabajo de Ghosh, dando por buena su demostración. Tanto es así que el propio Spivakovsky ya ha impartido al menos un seminario, concretamente en la Universidad de Sevilla, sobre el trabajo de Ghosh.

Por otro lado, sabéis que este tipo de trabajos deben ser analizados por especialistas de manera más profunda y detallada y también que no suelen ser aceptados por la comunidad científica hasta que no son publicados en alguna revista especializada (evidentemente, tras pasar ese proceso de revisión). Eso, que sepamos, no ha ocurrido hasta ahora, y ésta es la razón por la que todavía no podemos dar por confirmada la validez del trabajo de Ghosh. Estaremos pendientes, pero, por si acaso se nos pasa algo, se agradecerá que aviséis en los comentarios si os enteráis de alguna novedad a este respecto.

Sea como sea, una gran noticia que, al final, esta interesante conjetura haya podido encontrar respuesta.

Me enteré porque me avisó @RubenMRoca por Twitter. Muchas gracias, Rubén.