Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos \{ a_1, \ldots a_k \} que cumplen que:

a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto \{1, 2, \ldots , n \}, para cualquier n \in \mathbb{N}. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para n=1:

1^3=1^2

Supongamos ahora que es cierto para n, es decir, que

(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3

y demostremos que la igualdad es cierta para n+1. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso n (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=

Tomamos como primer término 1+2+\ldots +n y como segundo término n+1 y desarrollamos el cuadrado de la suma:

=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que 1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2} en la segunda:

=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=

Operando ahora el último sumando obtenemos n(n+1)^2 y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos (n+1)^3, llegando entonces a la igualdad buscada. \Box

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

  1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
  2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
  3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número 20

  1. Los divisores de 20 son 1,2,4,5,10 y 20.
  2. Ahora:
    – El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
    – El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
    – El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
    – El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
    – El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
    – El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
  3. Entonces el conjunto \{1,2,3,2,4,6 \} es un conjunto CuCu:

    1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2

    Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado 324.

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

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