Vamos con el primer problema del año. Como no podía ser de otra forma éste va dedicado al número 2010 y me lo envió Manuel al correo del blog: gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Ahí va:
Debemos asignar a cada letra de las siguientes un número natural entre 0 y 9 y debemos colocar entre cada dos letras alguna de las operaciones suma, resta, multiplicación y división para que el resultado de la operación conjunta sea 2010. Podemos colocar también los paréntesis que creamos conveniente. La expresión en cuestión es la siguiente:
F E L I Z A Ñ 0 = 2010
Veamos cuántas soluciones podemos encontrar (si es que hay más de una).
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9*8*7*4-6+1+2-3
otra
9*8*7*4-6+5-3-2
otras dos
(9*8*7*4-6)*(3+2)/5
(9*8*7*4-6)*(2+1)/3
¿ se trataba de dar el número exacto de soluciones posibles o de dar cada uno una solución?
8*7*6*4*3/2-1-5
F (=2) E (=5) L (=3) I (=9) Z (=7) A (=4) Ñ (=0) 0 (=0)
Pues aunque la que había hecho me la ha chafado Américo, dejo una operación para 2010 que usa todos los números:
…debemos colocar entre cada dos letras…
La verdad es que yo entendí el enunciado como Omar-P, una operación cada dos letras…
Un saludo.
No es lo mismo «entre cada dos letras una operación» que «una operación entre cada dos letras».
En este caso, el orden de los factores altera el producto.
Yo lo entiendo como «F (op) E (op) …», y no «FE (op) LI (op) …».
E se se admitisse a possibilidade de haver a exponenciação (potenciação) ?
Indique o número primo mais próximo de 2010, não sendo permitido o recurso à calculadora nem a qualquer outro meio electrónico, bem como a utilização de tabelas de números primos.
factorizando sale:
5*6*(6*(5*2+1)+1)
suerte!!
lucas
A sua resposta usa 7 dígitos.
É um record. As restantes recorrem a 8 algarismos, e a de JuanMa 9 (todos diferentes!, Outro record!).
Alguém consegue com menos do que 7 algarismos?
Lo pimero, gracias por la página, está muy bien.
Ahora, para el compañero Américo
aquí tens uma resposta com 5 algarismos:
5*6(9*7+4)
Boa, Miguelonoff!
Haverá com 4 algarismos?
9*8*7*4-(0+1+2+3)
si se permitiera la potencia ((2⋅6)^3+1)+5⋅7⋅8+1
Excelente página, la leo a diario.
Ahí va mi aporte, sólo con digitos primos:
F=2, E=3, L=5, I=2, Z=5, A=7, Ñ=5, O=2
F=4 E=2 L=8 I=3 Z=7 A=6 Ñ=1 O=0
(FE+LI+ZA)xÑO=2010
(42+83+76)x 10 =2010
una facilonga pero va 🙂
Saludos quiero ver otras
Una con los números del 0 al 9.
98 x 20 + (7 + 3) x (5 x (6 – 4 – 1))
Me han sorprendido tantas soluciones!!
Mi propuesta estaba basada en la descomposición factorial
2*3*5*1*(9*7+4)+0=2010
Lo dicho feliz 2*3*5*67 !!!!
Alguien sabe por que todas las respuestas tienen el 67, es que estuve intentando hallar una que no lo incluyera y no pude.
Obviando los casos de +0 *1 -0 que son sumamente injustos.
Otro detalle que note es que se necesita 2 operadores de multiplicación cuando mínimo para resolverlo.
Tampoco pude dar con una solución de 4 números como pidió Americo Tavares, creo que no es posible.
Bueno todo esto con derecho a equivocarme.
ninguna de mis respuestas (las primeras, arriba del todo de la pagina) tiene el 67.
Saben, hay algo que no logré, si queremos dejar todas las cifras de dos digitos, creo que no se puede, Ej:
FE
LI
ZA
ÑO
tiene por lo menos un número de una cifra, y además no hay dos letras iguales en la palabra (felizaño), así que no es posible asignar dos veces el cero o cualquier otro número.
🙁
creo que 4cu4 ya la había hecho, bueno en fin.
Convido os leitores de Gaussianos a verem este problema, no meu blog:
Seja
um polinómio real de grau 
. Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de 
é igual a 
. Prove que 
, em que 
são as raízes de 
.
Parece bastante inmediato, no? Si
es mónico, será el coeficiente de 
en 
igual a 
. Por tanto podemos escribirlo de esta forma:
nos da:
Luego derivando término a término obtenemos
de donde al dividir por
como queríamos demostrar.
Dani
Parece-me estar certo, e é directa.
Tinha outra demonstração preparada. Como aceito soluções até 10 Fevereiro 2010, vou esperar por outras que receba.
Se quiser pode colocar a sua resolução no meu post.
Obrigado.
Digo:
certa
em vez de
certo
«alvaro», hay un montón de soluciones (millones), aunque sí parece que la densidad de ellas que contienen el 6 y/o 7 son muchas, de hecho, un rastreo (un poco «sucio») sobre todas las que empiezan por 5 muestran que: – 49%, con 6 y 7 – 29%, con 6 – 13%, con 7 – 9%, sin 6 ni 7 Si sólo usamos dos dígitos diferentes, entonces, sólo unas pocas parejas tienen soluciones y la pareja que más soluciones tiene son el 6 y 7. Realmente no sería complicado repasar todas las soluciones, pero requiere un cierto esfuerzo (para acotar las… Lee más »
Volume do dodecaedro
Se tiver tempo tenciono justificar que o volume do dodecaedro regular de aresta
é 
. Alguém arranja tempo e paciência para tal?
Américo Tavares, otra posibilidad es: si
, entonces 
(para 
). Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces): 
. Tu caso se particulariza con 
.
M
Era nesta derivação logaritmica que tinha pensado.
Otra forma, si las raíces de p(x) son simples, entonces
Dos polinomios de grado n-1 con n raíces deben ser idénticos:
.
Para el caso de raíces múltiples, imagino que hay que liarse y usar varias veces la regla de L’Hôpital.
Meu comentário de 22:37:
Correcção: «diferenciação logaritmica» em vez de «derivação logaritmica»
M
Quantas mais demonstrações haverá? Só você já apresentou duas!
E a do volume do dodecaedro? É muito trabalhosa, não é?
«Josejuan», lo que yo respondía es a «Febles Brayan» que decía que no conocía ninguna solución que no contuviera el 67 como factor, no el 6 o el 7. Yo interpreto que él lo decía porque 67 es primo y divisor de 2010. Y lo que yo decía es que puedes dar muchas soluciónes que no se basen en la descomposición en factores primos de 2010 y que por tanto no necesiten el 67 como factor. Lo que tu dices depende también de como interpretes el enunciado. Yo interpreto que cada letra se corresponde con un digito y dos letras… Lee más »
No, no había exigido biyección, pero así visto, es verdad, si F=1 entonces A1 (si establecemos que FA).
Lo que no entiendo es el razonamiento de porqué debe haber más expresiones que usen 6 y 7 que otras, será evidente, pero yo no lo veo…
¿?
Las letras son distintas, por lo tanto los dígitos también deben ser distintos.
muy buena, M. muy elegantes los logaritmos 🙂
con respecto al dodecaedro, la dificultad está en derivar la longitud del centro del dodecaedro a al centro de una de las caras. El resto es sumar el area de 12 pirámides de base pentagonal, cuyo volumen es fácil de calcular. A ver si se me ocurre algo limpio y no muy engorroso (además la dificultad de expresar ideas geométricas en un blog lo complica todo más)
Dani, Sobre o dodecaedro some o volume (por lapso escreveu «sumar el area» ) de 12 pirâmides pentagonais regulares iguais, cuja base são as faces do dodecaedro e o vértice é o seu centro. Em http://problemasteoremas.wordpress.com/2008/03/12/dodecaedro/ represento duas figuras (o dodecaedro na primeira e um seu corte na segunda), que aqui não posso mostrar URL: http://problemasteoremas.files.wordpress.com/2008/03/dodecaedro32d.jpg?w=828&h=1740 e sobre elas escrevi: « Nesta entrada escrevi: Determine o lado de cada um dos doze pentágonos regulares deste sólido platónico, sabendo que dois vértices simétricos em relação ao centro do dodecaedro, distam entre si metros. Imaginemos que seccionamos o dodecaedro por um plano… Lee más »
sí, quise decir «volumen» en vez de «area», evidentemente. La idea de los cortes puede funcionar, sí, pero se ve que como dijiste no va a ser nada trivial. A ver si sale la cosa 🙂
Ahí va problemita divertido:
Demostrar que para cada natural
existen 
números consecutivos tales que ninguno es primo.
Pues por combinatoria. Tenemos que seleccionar 8 dígitos de entre los 10 posibles ( al ser 8 letras y establecer una aplicación inyectiva entre letras y números). Por tanto no importa el orden y no se puede elegir mas de una vez un mismo digito (no hay repetición). Pero es más fácil pensar en los 2 que no elegimos que en los 8 que elegimos. Con lo cual sería 10×9/2 = 45. Que serían las combinaciones de 10 elementos tomados de 8 en 8. Y serían el número de aplicaciones diferentes que podemos establecer. Y de entre esas 45 solo… Lee más »
Visto en http://www.thesamet.com/2010.txt Basic expressions =================== 2010 = 1+2-(3-4-5)*6*7*8-9 2010 = 1-(2+(3-4-5)*6*7)*8+9 2010 = 1+2+(3+4*(5+6*7+8))*9 2010 = 1+2*(3*4*(5+6)-7)*8+9 2010 = 1*2*3*(4*(5*6+7*8)-9) 2010 = 1+2+(3+4*(5-6+7*8))*9 2010 = (1-2-3+4*(5/6+7*8))*9 2010 = (1+2+3*4)*(5-6+(7+8)*9) 2010 = 1+2+((3*(4+5)+6)*7-8)*9 2010 = (1+2+3)*(4*(5*6+7*8)-9) 2010 = 1+2+3*(4*(5+6)*(7+8)+9) 2010 = (1*2/3)*((4+5)*6*7*8-9) 2010 = (1-2-3)*((4+5)/6-7*8*9) 2010 = (1*2+(3-4*(5/6-7))*8)*9 2010 = 1*(2+(3-4*(5/6-7))*8)*9 2010 = (1+2*(3+4))*(5-6+(7+8)*9) Allowing multidigit numbers ============================= 2010 = 12*34*5-6-7-8-9 2010 = 12*34*5+6*7-8*9 2010 = 1+2345*6/7+8-9 2010 = 12-3*(4+5-678)-9 2010 = 123*4*5-(6*7+8)*9 2010 = 1+2-3*(4*5*6-789) 2010 = 123*4*5+(6-7*8)*9 2010 = 12*34+(5+6+7)*89 2010 = 12*3*45+6*(7*8+9) 2010 = 12+3*(4-5+67+8)*9 2010 = (12-3)*4*56-7-8+9 2010 = 12-(3-4*56+7-8)*9 2010 = (1*2+34)*56-7-8+9 2010 = 1*(2+34)*56-7-8+9… Lee más »
Dani | 7 de Enero de 2010 | 13:25 « ‘Problemita divertido’ Demostrar que para cada natural existen números consecutivos tales que ninguno es primo.» `A primeira vista parece que entra em contradição com um teorema da teoria dos números sobre as sequências de números primos de comprimento arbitrário. Devo estar a ver mal! Eis o Teorema, em: «The dichotomy between structure and randomness, arithmetic progressions, and the primes, Terry Tao, http://uk.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0512/0512114v2.pdf : (…) Theorem 1.2 (Szemerédi’s theorem in the primes). [27] Let A be a subset of the primes P of positive relative upper density, thus limsupN→∞ |A∩[−N,N]| |P∩[−N,N]|… Lee más »
Dani, se quiser podemos tentar resolver em conjunto o problema sobre o volume do dodecaedro.
Concordando, pode contactar-me para o meu endereço de email.
Dani
… O meu endereço de email está na página ‘Sobre’ do meu blog problemas | teoremas , basta clicar aqui em Américo Tavares.
Américo: (n+1)!+2, (n+1)!+3,…, (n+1)!+(n+1) son todos compuestos (y consecutivos).