Os dejo aquí el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:
Sean
números naturales tales que
y
. Demostrar que si la fracción
es un número natural, entonces debe ser compuesto.
Suerte.
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Uhm… tiene trampa ¿no? Llamemos Por ser naturales, , e son mayores que el 0. e pueden ser iguales, pero ambas variables mayores que . Por ser >, sólo caben dos posibilidades: A. que sea múltiplo de . B. que no sea múltiplo de . Por ser >, sólo daben dos posibilidades: C. que sea múltiplo de . D. que no sea múltiplo de . Como debe ser natural, la opción BD (simultáneas) no es posibles, pues, siendo el denominador común a dos fracciones irreducibles, su producto también será irreducible. Las opciones AD y BC tampoco son posibles, pues el… Lee más »
Hola:
Respecto a josejuan, las opciones AD y BC sí que pueden ser posibles. Por ejemplo:
Sea
, entonces 
, y 6 es compuesto.
Podría ser así:
Como ha dicho josejuan, o bien
es múltiplo de 
o 
es múltiplo de 
(o los dos).
Por lo tanto, supongamos que
es múltiplo de 
. Por lo tanto, existe un número 
tal que 
. De esto podemos sacar que:
Si estoy equivocado díganmelo, por favor.
@Imanol Pérez,
Ciertamente me expliqué fatal, pero el resultado es el mismo.
En los casos AD y BC, el denominador únicamente puede dividir a
O a 
, por tanto, seguimos teniendo el producto de dos números enteros que forman los dos factores.
Efectivamente, no es ésto lo que puse, ¡bua!.
Buenos Dias
No es necesario que
sea divisor de 
o 
. Sean
Entonces podemos escribir
Como
, también se cumple que 
; asimismo, como 
, también se cumple que 
.
Ya está casí demostrada la afirmación.
Sea
y 
.
Además, como
, se debe cumplir que 
(esta afirmación es cierta, si alguién necesita que se desarrolle su demostración que lo diga) y que
por tanto
En todo el razonamiento se ha supuesto que ninguno de los naturales es igual a
.
Muy bueno @Antonio QD,
si ya decía yo que tenía truco…
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Valora en Bitacoras.com: Os dejo aquí el problema de esta semana. Ahí va el enunciado: Sean números naturales tales que y . Demostrar que si la fracción es un número natural, entonces debe ser compuesto. Suerte….
Yo he hecho lo siguiente:
Supongamos que
con p primo. Entonces es claro que p debe dividir a x o a y. Por ejemplo, pongamos que 
. Así, 
y tenemos 
. Pero entonces 
, lo cual es absurdo, así que no puede ser primo.
Me gusta la segunda demostración por reducción al absurdo. Me parece extremadamente elegante.
lucagali, ¿por qué p debe dividir a x o a y?
Truco, como
, p divide a xy. Por tanto, p aparece en la factorización de xy, pero en esta factorización aparecen unicamente los primos de las factorizaciones de 
y de 
. Así que p debía de proceder de una de las dos (o de las dos).
Truco, porque p es primo.
Lo bueno de la demostración de lucagali, aparte de su simplicidad, es que demuestra que basta con que z no sea múltiplo ni de x ni de y, para que el enunciado sea correcto.
¿No se abran equivocado al planter el problema? Esto es el Teorema de Euclides en una funcion mas basica y tal vz no lo era
Puede verse también por descomposición en factores primos. Supongamos que el cociente da un primo: eso implicaría que el denominador
cancela todos los factores primos menos uno del numerador; pero entonces debe cancelar todos los factores primos de 
o de 
. Pero eso no puede ser porque 
y 
.
Si, estoy en la línea de hernan y lucagali, he tratado de demostrarlo por contradicción. Supongamos que el cociente es igual a un p primo, entonces z no puede ser primo por enunciado, luego el producto x.y se podrá expresar de tantas formas como divisores tenga z, pero los divisores de z son menores que z, luego o x, o y, o ambos son menores que z, lo cual está en contradicción con el enunciado, luego el natural debe ser compuesto.
Saludos
@fernan
El enunciado no dice que z no puede ser primo.
Creo que elaborando un poco más la demostración puedes terminarla; pero me parece que sería equivalente a la de lucagalli. Demostraría que x o y deberían ser menor que z lo que por el enunciado del problema es falso.
Un Saludo
Antonio, gracias por el comentario, que z no es primo lo deduzco yo de la propia suposición: si x.y/z= p, entonces z no puede ser primo porque si z fuese primo o x, o y =z lo cual también está en contradicción con el enunciado. Pero deberia haber dicho que los divisores de z son menor o igual que z. (Que para el caso es lo mismo)
Saludos
Cancelado por el autor.
si x = za, y = zb (siendo a,b > 1) entonces xy/z = zab todas la combinaciones que hacen zab un número natural hacen además que el resultado sea compuesto xb ó ya (o bien es múltiplo de x o bien es múltiplo de y). no?
Quizá ya pusieron la respuesta, pero ya han pasado 24 horas… 730 Se van eliminando proposiciones al componerlas con el XOR : Si una es verdadera, entonces su acompañante es falsa. La proposición final es del tipo (A xor B) y (C xor D) y… De ese modo, se encuentran contradicciones que te quitan componentes de las proposiciones XOR. Además, es necesario analizar los cuadrados hasta 100 y los cubos hasta 1000 y te quedas con que el número es ((3^2)^3) + 1 = ((3^3)^2) + 1 cuadrado y cubo perfectos más uno. ¡Es curioso que ningún cuadrado inferior a… Lee más »
Si descomponemos en factores primos los tres números x, y, z. Al ser (x·y)/z natural y {z <x, z< y}, significa que al simplificar esta fracción quedará en el numerador al menos un primo correspondiente a la factorización de x y otro correspondiente a la de y. El producto de estos factores primos que quedan después de la simplificación es el resultado natural de la fracción y, por tanto, es compuesto.