Un problema sobre matrices y determinantes

Vuelve el problema semanal al blog. En este caso, la cosa va de matrices y determinantes. Ahí va:

Sea A una matriz con 3 filas y 4 columnas:

A=\begin{pmatrix} | & | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_3 & C_4 \\ | & | & | & | \end{pmatrix}

Supongamos que los determinantes de las matrices formadas por las tres primeras columnas y por las tres últimas columnas son cero. Es decir:

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_3 \\ | & | & | \end{vmatrix}=0

y

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_2 & C_3 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}=0

Demuestra que tanto

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}

como

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_3 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}

también valen cero, o da un ejemplo de matrix 3×4 en lo que esto no ocurra.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Es muy fácil encontrar un contraejemplo ¿no?

    1 1 1 0
    0 1 1 0
    0 1 1 1

    Creo que no he entendido el problema.

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  2. Creo que lo que pasa es que en el enunciado falta aclarar que C2 y C3 son linealmente independientes.

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    • Contraejemplo: C2 puede ser igual a C3 ó C2 un múltliplo/submúltiplo de C3 y C1,C2 y C4======> L.I

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      • Como he recomendado este problema a mis alumnos de Segundo de Bachillerato, voy a dar la solución detallada.
        Si C2 y C3 son proporcionales, es posible encontrar C1 y C4 tales que los determinantes
        det(C1, C2, c4) y det(C1, C3, C4) sean no nulos. Hay ejemplos de ello en las respuestas anteriores.

        Si C2 y C3 no son proporcionales, entonces el conjunto {C2, C3} es linealmente independiente.
        Como det(C1, C2,C3)=0, resulta que el conjunto {C1, C2, C3 } es linealmente dependiente. Hay un sencillo teorema que dice que si a un conjunto de vectores linealmente independiente le añadimos un vector que hace el conjunto linealmente independiente, entonces, este vector es combinación lineal de los anteriores. Por tanto, C1 es combinación lineal de C2 y C3. Análogamente, C4 es combinación lineal de C2 y C3. Por tanto, el conjunto {C1, C2, C3, C4 } tiene rango dos (ya que el rango de un conjunto de vectores no aumenta cuando añadimos vectores combinación lineal de los anteriores) y todos los menores de orden tres de la matriz (C1, C2, C3, C4) son nulos. En particular, det(C1, C2, C3) =0 y det (C2, C3, C4)=0

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        • 1.- Si C_2 no es proporcional a C_3 -> es un plano al que tambien pertenecen C_1 y C_4 según los 2 primeros determinantes -> los 2 determinantes pedidos son de 3 vectores en un mismo plano, por tanto NULOS.

          2.- Si C_2 es proporcional a C_3 -> es una recta -> podemos encontrar cualquiera 2 vectores independientes de su plano normal y todos ellos cumpliran que los dos determinantes pedidos NO NULOS.

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          • cuando hablo de plano y recta hablo del subespacio generado por C_2 y C_3 (los signos usuales “” los ha tomado como un tag el editor…

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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