Hallar los conjuntos

Publicado por ^DiAmOnD^ | 18 diciembre, 2012 | Juegos | 17 |

Hoy martes os traigo el problema semanal. Éste es el enunciado:

Sea el polinomio

$p_n(z)=1+z+\cfrac{z^2}{2}+\cfrac{z^3}{4}+\cfrac{z^4}{8}+\ldots+\cfrac{z^n}{2^{n-1}}$

con $n \geq 1$ número natural. Hallar razonadamente los conjuntos

$X_n=\{x\in\mathbb{R}/\;|p_n(x)|\leq 1\} \quad {\rm e}\quad Y_n=\{y\in\mathbb{R}/\;|p_n(iy)|\leq 1\}$

donde $i$ es la unidad imaginaria y $|z|$ indica el módulo del número complejo $z$ .

Que se os dé bien.

Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Invitado

Juanjo Escribano

Una primera cota para Xn es que x sea menor ó = 0 puesto que sino X(n) >1 e intuyo que la otra cota es x = -2 en la que los valores del polinomio oscilan entre 1 y -1. Si es seguro que x = -2 pertenece al conjunto

Invitado

Juanjo Escribano

Supongamos x menor que – 2, por lo que cada 2 elementos consecutivos suman (independientemente del signo, si n es par o impar)(y^n)/2^(n-1) – (y^(n+1)/2^n) = (2*y^n-y^(n+1)/2^n)= (2*y^n(1-y)/2^n).

Todos son elementos positivos menos (1-y) que es negativo, lo cual quiere decir que las series son, en valor absoluto, monótonas crecientes, luego el rango de posibles valores de x queda restringido (salvo error en la demostración) a x€[-2,0]

Invitado

Juanjo Escribano

Para x€[-2,0] y como antes cambiando y = -x el polinomio p_n(x) me queda en y
P_n(y) = 1 – y + y^2/2 – y^3/4 + …+ (signo) y^n/2^(n-1)

Serie geométrica de razón -y/2

Su suma es P_n(y)= a(1)*((1-r^n)/(1-r)) = (1-(-y/2)^n/(1-(-y/2)) =
(1-(-y/2)^n/(1+y/2)) = 2 (1-(-y/2)^n)/(1+y)

Si n = par P_n(y) = 2 (1-(y/2)^n)/(1+y) menor o = 1

Si n = impar P_n(y) = 2 (1+(y/2)^n)/(1+y) menor o = 1

Invitado

golvano

Efectivamente, para Xn, la solución es la que tú dices. El caso de x positivo es obvio. Para x negativo es una oscilación. En el caso x=-2, todos los términos tienen la misma amplitud, y la función va valiendo 1,-1,1,-1… al ir aumentando n. Para x-2 el valor absoluto va disminuyendo y todos los valores quedan dentro del intervalo. El caso de Yn, se puede ver como la unión de dos. Los términos impares aportan a la parte imaginaria y los pares a la parte real. En este caso, cada término (de cada parte) se va multiplicando por y^2/4. A… Lee más »

Invitado

Francesc

Coincido con Juanjo en que Xn=[-2,0] para todo n, con otro razonamiento -y sin usar látex tampoco, lo siento.
1.- Reescribimos las desigualdades de X, que quedarán
a) 0 = 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 1 hasta n+1 Rn

Resulta que Qn es positivo para todo x > -2, para todo n
1.- Q2=(x+2)*(x^2+4) positivo para x > -2
2.- Q(n+1)(x)=2*Qn(x)+x^(n+1) implica…
3.- Para n par, Q(n+1)(x) >= x^(n+1) para todo x mayor que -2
4.- Q(n+2)(x)=2*Q(n+1)+x^(n+2)>= 0 para todo x mayor que -2… y así sucesivamente por inducción

Pues bien, Rn=z*Q(n-1) que tiene una raíz en 0 y ninguna más en ]-2,0[

Invitado

Francesc

Se me ha fastidiado el comentario de arriba, quería decir

a) 0 <= 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 0 hasta n+1 Qn

b) 0 >= 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 1 hasta n+1 Rn

Invitado

Francesc

El otro caso tendré que pensarlo más, a primera vista Y1=Y2={0} pero Y3 incluye al 1 y y4 no lo hace…

Invitado

Karl

Para mi, $Y_{n}$ tendría tres casos:

$\bullet \,\,\, n=0$ , se tiene $Y_{n}=\mathbb{R}$ .

$\bullet \,\,\, n=4k+1 \,\,\, o \,\,\, 4k+2$ , se tiene $Y_{n}=\{ 0 \}$ .

$\bullet \,\,\, n=4k+3 \,\,\, o \,\,\, 4k+4$ , se tiene $Y_{n}=[-2,2]$ .

Invitado

golvano

Continúo con mi comentario de antes, que por cierto no ha salido bien. No sé qué ha pasado.

Yn está dentro del intervalo (-2,2) y depende de n. Para n=1, se tiene Yn={0}. Para n mayores, el intervalo se va ampliando.

Invitado

Karl

upps! ahora me doy cuenta que $n>1$ el primer caso no estaba definido

Por otra parte sigo creyendo que por ejemplo $2 \in Y_{n}$ cuando $n=4k$ , ya que haciendo cuentas llego a que en ese caso

$|p_{n}(iy)|=\dfrac{1}{2^{n}}\sqrt{\dfrac{4^{n+1}+y^{2}(2^{n}-2y^{n})^{2}}{4+y^{2}}}$

y evaluando en 2 da 1.Para los demás casos se pueden obtener expresiones similares

Invitado

Francesc

Si llamamos Qn(x) a la parte real, Qn(x)=1-y^2/2+y^4/8+… y la parte imaginaria queda (y/2)*(Qn(x)+1) con lo que se nos pide -1<= (Qn(x))^2+[(y/2)*(Qn(x)+1)]^2 <= 1
Por otro lado Qn(x)+1 = (4-y^2)/2 + y^4*(4-y^2)/32 + y^8*(4-y^2)/(2^9)+…
es decir (4-y^2)*(1/2+y^4/2^5+y^8/2^9…)= ((4-y^2)/2) * suma( ((y/2)^4)^k ) que es la geométrica de razón (y/2)^4 := [1-(y/2)^(4(n+1))]/[1-(y/2)^4]
y hasta aquí puedo leer porque es tarde y no veo como simplificar las ecuaciones

Invitado

Karl

Tratare de demostrar mi primer comentario para . Es claro que así que solo se consideran los demás casos luego se tiene simplificando De aquí dado que , entonces luego , así y ya que n es par esto es si y solo si es decir También estuve pensando en la generalidad de regiones en tales que por ejemplo muestro las de https://docs.google.com/file/d/0B1OTIU5iW6hYX0hrelp1b2h5STA/edit No creo que se puedan expresar todas de forma analítica ya que incluso algunas parecen tener forma de carita feliz

Invitado

Determinar analíticamente las regiones complejas tales que $|p_n(z)|\leq 1$ parece más complicado. Ni siquiera tienen porqué ser conexas.

Invitado

golvano

Tienes razón, Karl. Muy bien resuelto. Yo me estaba equivocando al calcular la parte imaginaria. Por eso me salían resultados diferentes.

Invitado

Aunque ya lo habéis resuelto, incluyo mi solución de la obtención de los conjuntos , ya que es distinta a la que habéis propuesto. En primer lugar, observemos que Sea definida por Esta función es derivable en su dominio, (para todo ) con derivada Si es impar, entonces para todo , por tanto es creciente en . Como y se tiene que . Si es par, consideramos la función auxiliar definida por (numerador de ) Esta función es derivable en su dominio, con derivada para todo y el único punto de donde se anula es en pasando de ser negativa… Lee más »

Invitado

Se puede responder a ambas cuestiones sin necesidad de derivar. En el caso real, es claro que basta considerar $x\leq 0$ . Entonces, sumando la progresión geométrica, resulta que $-1\leq p_n(x)\leq 1$ equivale a decir

$-1\leq \left(\frac{x}{2}\right)\dfrac{\left(\frac{x}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{x}{2}\right)-1}\leq 0$ .

Tomemos $f(v)=v\dfrac{v^n-1}{v-1}$ , con $v:=\dfrac{x}{2}\leq 0$ . Entonces:

1) Para $v\prec -1$ tenemos (estudiando el signo y acotando cada factor) que $f(v)\prec -1$ si $n$ es impar, mientras que $f(v)\succ 0$ si $n$ es par.

2) Para $v\in [-1,0]$ , tenemos que $f(v)\in [-1,0]$ si $n$ es impar, mientras que $f(v)\in [-\frac{1}{2},0]$ si $n$ es par.

En definitiva, $-1\leq f(v)\leq 0$ si y sólo si $v\in[-1,0]$ , o lo que es lo mismo $x\in[-2,0]$ . Luego, efectivamente, $X_n=[-2,0]$ para todo $n\geq 1$ .

Invitado

En el caso imaginario puro tenemos

$|p_n(iy)|^2=1+4 Re \left[ \left(\frac{iy}{2}\right)\dfrac{\left(\frac{iy}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{iy}{2}\right)-1}\right]+4\left(\frac{y}{2}\right)^2\left|\dfrac{\left(\frac{iy}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{iy}{2}\right)-1}\right|^2$ .

Operando según $n=1,2,3,4 \;(\textrm{mod}\;4)$ (para distinguir las potencias de $i$ ), se comprueba en cada uno de los 4 casos que

1) Si $n\equiv 1\;(4)$ entonces

$|p_n(iy)|^2-1=\dfrac{y^2}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}\left(\frac{y}{2}\right)^{n-1}\left(1+\left(\frac{y}{2}\right)^{n+1}\right).$

Luego, $|p_n(iy)|^2-1\leq 0$ sii $y=0$ .

2) Si $n\equiv 2\;(4)$ entonces

$|p_n(iy)|^2-1=\dfrac{y^2}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}\left(\frac{y}{2}\right)^{n}\left(1+\left(\frac{y}{2}\right)^{n}\right).$

Luego, $|p_n(iy)|^2-1\leq 0$ sii $y=0$ .

3) Si $n\equiv 3\;(4)$ entonces

$|p_n(iy)|^2-1=\dfrac{y^2}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}\left(\frac{y}{2}\right)^{n-1}\left(-1+\left(\frac{y}{2}\right)^{n+1}\right).$

Luego, $|p_n(iy)|^2-1\leq 0$ sii $y\in [-2,2]$ .

4) Si $n\equiv 4\;(4)$ entonces

$|p_n(iy)|^2-1=\dfrac{y^2}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}\left(\frac{y}{2}\right)^{n}\left(-1+\left(\frac{y}{2}\right)^{n}\right).$

Luego, $|p_n(iy)|^2-1\leq 0$ sii $y\in [-2,2]$ .

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