Hoy martes os traigo el problema semanal. Éste es el enunciado:
Sea el polinomio
con
número natural. Hallar razonadamente los conjuntos
donde
es la unidad imaginaria y
indica el módulo del número complejo
.
Que se os dé bien.
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Valora en Bitacoras.com: Hoy martes os traigo el problema semanal. Éste es el enunciado: Sea el polinomio con número natural. Hallar razonadamente los conjuntos donde es la unidad imaginaria y indica el módulo del número complejo . Que se os dé ……
Una primera cota para Xn es que x sea menor ó = 0 puesto que sino X(n) >1 e intuyo que la otra cota es x = -2 en la que los valores del polinomio oscilan entre 1 y -1. Si es seguro que x = -2 pertenece al conjunto
Supongamos x menor que – 2, por lo que cada 2 elementos consecutivos suman (independientemente del signo, si n es par o impar)(y^n)/2^(n-1) – (y^(n+1)/2^n) = (2*y^n-y^(n+1)/2^n)= (2*y^n(1-y)/2^n).
Todos son elementos positivos menos (1-y) que es negativo, lo cual quiere decir que las series son, en valor absoluto, monótonas crecientes, luego el rango de posibles valores de x queda restringido (salvo error en la demostración) a x€[-2,0]
Para x€[-2,0] y como antes cambiando y = -x el polinomio p_n(x) me queda en y
P_n(y) = 1 – y + y^2/2 – y^3/4 + …+ (signo) y^n/2^(n-1)
Serie geométrica de razón -y/2
Su suma es P_n(y)= a(1)*((1-r^n)/(1-r)) = (1-(-y/2)^n/(1-(-y/2)) =
(1-(-y/2)^n/(1+y/2)) = 2 (1-(-y/2)^n)/(1+y)
Si n = par P_n(y) = 2 (1-(y/2)^n)/(1+y) menor o = 1
Si n = impar P_n(y) = 2 (1+(y/2)^n)/(1+y) menor o = 1
Efectivamente, para Xn, la solución es la que tú dices. El caso de x positivo es obvio. Para x negativo es una oscilación. En el caso x=-2, todos los términos tienen la misma amplitud, y la función va valiendo 1,-1,1,-1… al ir aumentando n. Para x-2 el valor absoluto va disminuyendo y todos los valores quedan dentro del intervalo. El caso de Yn, se puede ver como la unión de dos. Los términos impares aportan a la parte imaginaria y los pares a la parte real. En este caso, cada término (de cada parte) se va multiplicando por y^2/4. A… Lee más »
Coincido con Juanjo en que Xn=[-2,0] para todo n, con otro razonamiento -y sin usar látex tampoco, lo siento. 1.- Reescribimos las desigualdades de X, que quedarán a) 0 = 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 1 hasta n+1 Rn Resulta que Qn es positivo para todo x > -2, para todo n 1.- Q2=(x+2)*(x^2+4) positivo para x > -2 2.- Q(n+1)(x)=2*Qn(x)+x^(n+1) implica… 3.- Para n par, Q(n+1)(x) >= x^(n+1) para todo x mayor que -2 4.- Q(n+2)(x)=2*Q(n+1)+x^(n+2)>= 0 para todo x mayor que -2… y así sucesivamente por inducción Pues bien, Rn=z*Q(n-1) que tiene una raíz en 0 y ninguna más… Lee más »
Se me ha fastidiado el comentario de arriba, quería decir
a) 0 <= 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 0 hasta n+1 Qn
b) 0 >= 2^(n+1)*suma( (z/2)^k), suma desde 1 hasta n+1 Rn
El otro caso tendré que pensarlo más, a primera vista Y1=Y2={0} pero Y3 incluye al 1 y y4 no lo hace…
Para mi,
tendría tres casos:
Continúo con mi comentario de antes, que por cierto no ha salido bien. No sé qué ha pasado.
Yn está dentro del intervalo (-2,2) y depende de n. Para n=1, se tiene Yn={0}. Para n mayores, el intervalo se va ampliando.
upps! ahora me doy cuenta que
el primer caso no estaba definido
Por otra parte sigo creyendo que por ejemplo
cuando
, ya que haciendo cuentas llego a que en ese caso
y evaluando en 2 da 1.Para los demás casos se pueden obtener expresiones similares
Si llamamos Qn(x) a la parte real, Qn(x)=1-y^2/2+y^4/8+… y la parte imaginaria queda (y/2)*(Qn(x)+1) con lo que se nos pide -1<= (Qn(x))^2+[(y/2)*(Qn(x)+1)]^2 <= 1
Por otro lado Qn(x)+1 = (4-y^2)/2 + y^4*(4-y^2)/32 + y^8*(4-y^2)/(2^9)+…
es decir (4-y^2)*(1/2+y^4/2^5+y^8/2^9…)= ((4-y^2)/2) * suma( ((y/2)^4)^k ) que es la geométrica de razón (y/2)^4 := [1-(y/2)^(4(n+1))]/[1-(y/2)^4]
y hasta aquí puedo leer porque es tarde y no veo como simplificar las ecuaciones
Tratare de demostrar mi primer comentario para
.
Es claro que
así que solo se consideran los demás casos luego se tiene
De aquí dado que
, entonces
luego
, así
y ya que n es par esto es si y solo si
es decir ![y \in [-2,2] y \in [-2,2]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=+++++++y+%5Cin+%5B-2%2C2%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
También estuve pensando en la generalidad de regiones en
tales que
por ejemplo muestro las de
https://docs.google.com/file/d/0B1OTIU5iW6hYX0hrelp1b2h5STA/edit
No creo que se puedan expresar todas de forma analítica ya que incluso algunas parecen tener forma de carita feliz
Determinar analíticamente las regiones complejas tales que
parece más complicado. Ni siquiera tienen porqué ser conexas.
Tienes razón, Karl. Muy bien resuelto. Yo me estaba equivocando al calcular la parte imaginaria. Por eso me salían resultados diferentes.
Aunque ya lo habéis resuelto, incluyo mi solución de la obtención de los conjuntos , ya que es distinta a la que habéis propuesto. En primer lugar, observemos que Sea definida por Esta función es derivable en su dominio, (para todo ) con derivada Si es impar, entonces para todo , por tanto es creciente en . Como y se tiene que . Si es par, consideramos la función auxiliar definida por (numerador de ) Esta función es derivable en su dominio, con derivada para todo y el único punto de donde se anula es en pasando de ser negativa… Lee más »
Se puede responder a ambas cuestiones sin necesidad de derivar. En el caso real, es claro que basta considerar
. Entonces, sumando la progresión geométrica, resulta que
equivale a decir
Tomemos
, con
. Entonces:
1) Para
tenemos (estudiando el signo y acotando cada factor) que
si
es impar, mientras que
si
es par.
2) Para
, tenemos que
si
es impar, mientras que
si
es par.
En definitiva,
si y sólo si
, o lo que es lo mismo
. Luego, efectivamente,
para todo
.
En el caso imaginario puro tenemos
Operando según
(para distinguir las potencias de
), se comprueba en cada uno de los 4 casos que
1) Si
entonces
Luego,
sii
.
2) Si
entonces
Luego,
sii
.
3) Si
entonces
Luego,
sii
.
4) Si
entonces
Luego,
sii
.