Seguimos con los problemas de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO, según sus siglas en inglés). Hoy toca el segundo de los seis problemas que se han propuesto en la de este año 2019, celebrada en Bath (Reino Unido).
Ahí va:
En el triángulo
, el punto
está en el lado
y el punto
está en el lado
. Sean
y
puntos en los segmentos
y
, respectivamente, tales que
es paralelo a
. Sea
un punto en la recta
, distinto de
. Análogamente, sea
un punto de la recta
, distinto de
.
Demostrar que los puntos
y
A por él.
Recuerdo que la idea de publicar estos problemas es que los intentemos resolver nosotros, no que alguien busque la solución en internet y la copie aquí. Confío en vuestro buen criterio en este sentido.
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Veo que los Comentarios están “atascados”, igualmente, yo estoy atascado con un punto. Sea “D” un punto del lado “AB” que pertenece a la recta que contiene los puntos “P”, “B1” y “P1”. Necesariamente “P1” esta sobre la circunferencia que pasa por los puntos “A”, “C” y “D” De la misma forma, sea “E” un punto del lado “AB” que pertenece a la recta que contiene los puntos “Q”, “A1” y “Q1”. Necesariamente “Q1” esta sobre la circunferencia que pasa por los puntos “B”, “C” y “E” Si “F” es el punto de intersección de las rectas “PP1” y “QQ1”,… Lee más »
Dado que no hay exceso de nuevas aportaciones, para cerrar mi anterior Comentario, añado: Si por el punto “P” tramos una paralela al lado “b” y por “Q” otra a “a”, junto con la recta por “PQ” se forma un triángulo “PQR”, homotético al “ABC”, de centro la intersección de las rectas por “AA1” y “BB1”. Con este triángulo, analíticamente podemos deducir las rectas “PP1” y “QQ1” por consiguiente su intersección “F”. Si también deducimos analíticamente las ecuaciones de las circunferencias por “ACD” y “BCE” comprobaremos que el punto “F” tiene la misma potencia respecto a las dos circunferencias. Considero… Lee más »