Vamos con un problemita para comenzar la semana. Queremos integrar la función tan x, y en vez de hacerlo como generalmente se suele hacer lo haremos usando el método de integración por partes:

\begin{matrix} \displaystyle{\int tan(x) \, dx=\int \cfrac{sen(x)}{cos(x)} \, dx}= \left [\begin{matrix} u=\frac{1}{cos(x)} \rightarrow du=\frac{sen(x)}{cos^2(x)} \, dx \\ dv=sen(x) \, dx \rightarrow v=-cos(x) \end{matrix} \right ] = \\ \\ =-1+\displaystyle{\int cos(x) \, \cfrac{sen(x)}{cos^2(x)} \, dx=-1 \int \cfrac{sen(x)}{cos(x)} \, dx=-1 +\int tan(x) \, dx} \end{matrix}

Simplificando la integral de ambos lados obtenemos que 0 = -1. ¿Dónde está el error?

Solución:

Las operaciones que hemos realizado son todas correctas, no hay ningún error en ellas. El fallo está en simplificar la integral. ¿Por qué? Veámoslo:

  • Una primitiva de una función f es otra función F tal que F’ = f. Es decir, una primitiva de una función es cualquier otra que cumple que su derivada es la función de la que partimos.
  • La integral indefinida de una función f es el conjunto de todas sus primitivas.

Por tanto a lo que llegamos con el razonamiento anterior es a que el conjunto de todas las primitivas (es decir, la integral indefinida) es igual al conjunto de todas las primitivas menos 1. ¿Cómo restamos 1 al conjunto de todas las primitivas? Pues restando uno a todas ellas. ¿Qué nos queda si hacemos eso? Nos queda precisamente el propio conjunto de primitivas, es decir, nos vuelve a quedar la propia integral indefinida.

Por tanto no hay ningún error en el razonamiento. Simplemente hay un error provocado por la notación.

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