Equivocación por partes

Vamos con un problemita para comenzar la semana. Queremos integrar la función tan x, y en vez de hacerlo como generalmente se suele hacer lo haremos usando el método de integración por partes:

Equivocacion por partes

Simplificando la integral de ambos lados obtenemos que 0 = -1. ¿Dónde está el error?

Solución:

Las operaciones que hemos realizado son todas correctas, no hay ningún error en ellas. El fallo está en simplificar la integral. ¿Por qué? Veámoslo:

  • Una primitiva de una función f es otra función F tal que F’ = f. Es decir, una primitiva de una función es cualquier otra que cumple que su derivada es la función de la que partimos.
  • La integral indefinida de una función f es el conjunto de todas sus primitivas.

Por tanto a lo que llegamos con el razonamiento anterior es a que el conjunto de todas las primitivas (es decir, la integral indefinida) es igual al conjunto de todas las primitivas menos 1. ¿Cómo restamos 1 al conjunto de todas las primitivas? Pues restando uno a todas ellas. ¿Qué nos queda si hacemos eso? Nos queda precisamente el propio conjunto de primitivas, es decir, nos vuelve a quedar la propia integral indefinida.

Por tanto no hay ningún error en el razonamiento. Simplemente hay un error provocado por la notación.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

27 Comments

  1. no se si será tan evidente pero (1/(cosx))*((senx)/(cosx)^2)dx no es tgx

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  2. Me parece q el error está en el primer paso, en sustituir la tanx por senx/cosx
    La igualdad es cierta, pero el mótivo por el q aquí no me parece adecuado usarla es pq cosx es igual a cero en el caso de q x=(2n+1)Pi/2 [n número entero], con lo q habría una división por cero y eso siempre da problemas.

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  3. Estoy como snipfer, falta la constante que se come al -1.

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  4. snipfer sí, te has colao :P.

    Nhurya lo mismo le pasa a la propia función tangente y se puede integrar sin problemas. Estamos buscando la integral indefinida.

    Paco exacto, el problema es ese mismo. Pero ahí tampoco está la solución.

    Y ahora al problema: sí, la historia está relacionada con la constante de integración. Pero espero una respuesta algo más elaborada. Si en unos días nadie la da la pongo yo y ya de paso pongo la de 1=-1.

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  5. Lo que yo pienso es que la integral de tagx es igual a una función f(x) + cte. Donde cte es una constante que resulta de la integral indefinida. Ahora bien, sumar un uno no hace nada, porque como la constante es arbitraria, lo mismo da sumar una unidad o multiplicar por 415345 puesto que continúa siendo una constante arbitraria que sigue siendo válida.

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  6. Hola.
    ¿Puede ser que el error sea suponer la igualdad?
    Se esta desarrollando la intengral, no resolviendo una ecuacion.
    Un saludo.

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  7. Una integral definida de variable x, es lo mismo qeu una integral indefinida de variable t con límites 0 y x (¿Leibniz?). Si a esta integral le aplicamos la integración por partes y nos acordamos de valorizar bien el producto uv entre a y b, obtendremos que al ser u*v=-1, (-1) – (-1) =0, la constante esa que antes salía -1, ahora sí sale 0, luego Int(…)=Int(…)

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  8. Coso ha dado la clave. Mañana en cuanto pueda actualizo el post con la solución.

    Saludos 🙂

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  9. Si tenemos que

    v=-cos(x)
    du = sen(x)
    ——
    cos2(x)

    al momendo de hacer v*du .

    no da el valor -sen(x)/cos(X)
    puesto que cos2(x) es igual a (1-sen(x)).

    No se puede realizar la simplificacion de los cosenos .

    Recordar sen2(x)+cos2(x)=1

    Saludos

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  10. tg=sen(x)/cos(x) el numerador es (salvo signo) la derivada del denominador, por lo que la integral es el neperiano. Exactametne -Ln(cos(x))

    Creo que jamás se me hubiera ocurrido hacerla por partes

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  11. Qué alegría, para uno de estos que logro resolver y soy el primero! Oye, la verdad es que mi solución no me convencía mucho y de hecho creo que no lo he explicado demasiado bien, pero cuando he visto el comentario de ^DiAmOnD^ me ha sorprendido y a la vez me he quedado tranquilo porque ya no se me ocurría nada. ¿He ganado algún premio? :P. Saludos gente!

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  12. Aunque en matemática formalmente la integral indefinida no tiene ningún sentido, pero haciendo a un lado eso y únicamente considerando que la integral indefinida indica una funcion que al derivarla nos da la función a integrar, entonces no se ha demostrado que 0=-1 sólo se ha demostrado que la constante de integración es 1, ya que al derivar la integral del principio con la expresión del final nos queda que tan(x) = tan(x) y por lo tanto la integral del principio con la última expresión difieren por una constante, entonces nos queda que 0=-1+c (ó c+0=-1, según convenga).

    En palabras simples el error está en no haber sumado la constante de integración.

    Si les interesa este tipo de cosas, quizá podrían visitar mi blog, que va empezando:

    http://blog.amarelloartis.com/category/matematicas/

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  13. Lo que estamos haciéndo es buscar una primitiva de la tangente, y al sumarle cualquier cte sigue siendo una primitiva

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  14. elessar sí que tiene sentido calcular primitivas, ¿cómo vas a resolver una ecuación difernencia, de las facilitas, si no es resolviendo primitivas?, y la constante en general puede ser cualquier valor ya que depende de para qué se necesite.

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  15. Cabe destacar mi querido “abcdefghi” que cuando dije que “la integral indefinida no tiene ningún sentido” es porque no está “definida formalmente” en matemática, es un abuso de notación para indicar una función que al derivarla nos da la función “a integrar”. La integral formalmente (en funciones de R en R) se define como un número real, no hay más, y también cabe destacar que la C (contante de integración) es constante, no varía, no puedes tomar la que te plazca, fue un error de dedo en mi comentario anterior. Una cosa muy diferente es que encontrar esas integrales indefinidas provean facilidades para resolver ciertos problemas (cosa que yo no cuestiono), pero eso no tiene sustentación formal (así que por eso no se puede demostrar nada con integrales indefinidas).

    Mira, para que lo entiendas mejor, lee el artículo “Teorema fundamental del cálculo integral” que está en la wiki, yo transcribí la demostración, ahi podrás notar que la C sale de un teorema de cálculo diferencial. Así se hacen algunas demostraciones con integrales.

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  16. Creo que algunos estáis confundiendo primitiva con integral indefinida.

    Una primitiva de una función es otra función que cumple que al derivarla me da la primera. La integral indefinida de una función es el conjunto de todas las primitivas.

    A ver si esta tarde me da tiempo a actualizar el post con la solución y aclaramos completamente el tema.

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  17. ^DiAmOnD^, gracias, has dicho justamente lo que quería decir.

    elessar: soy matemático y lo que pretendía decirte es justamente lo que ha dicho ^DiAmOnD^. Hay montones de objetos matemáticos que están definidos salvo una constante. Por ejemplo los “lift” de las aplicaciones del círculo en sí mismo se diferencian por una constante entera y son muy útiles, de hecho gracias a ellos se pueden definir otros objetos.

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  18. quién me podria ayudar a resolver unos problemas con integrales indefinidas??

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  19. prinvessa mándalos a gaussianos (arroga) gmail (punto) com y les echamos un ojo. Saludos 🙂

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  20. Que mal escrito lo de The Big Boss, no por él, sino por la pobres opciones para los posts.

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  21. la integral no se puede resolver

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  22. Eso es equivalente a esto?

    \int tan(x)dx=F(x)=\left\{f(x)+c/ f primitiva de F y c\in \mathbb{R}\right\}=\left\{f(x)+c-1/ f primitiva de F c\in \mathbb{R}\right\}=\left\{f(x)+K/f primitiva de F, K\in\mathbb{R}\right\} luego esto explica que no hay contradiccion, si no que es solo un error de notacion cierto?

    Saludos.

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  23. El error es claramente en utilizar la integración por partes en una división de funciones algo claramente incorrecto pues la integración por partes sale de du*dv=du*v+dv*u=>Sdu*dv=Sdu*v+Sdv*u=>Su*dv=u*v-Sdu*v ahora bien esto no es cierto, en la división propuesta pues, du/dv=du*v-dv*u/v^2 como se puede observar bastante distante

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