Vamos con el problema de esta semana. Aquí os lo dejo:
En un triángulo
se inscriben tres parábolas de modo que cada parábola es tangente a dos lados del triángulo en sus vértices, como se puede ver en la figura siguiente:
La intersección de estas parábolas determina tres puntos interiores
y
. Hallar la razón entre las áreas del triángulo parabólico
y del triángulo original
A por él.
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Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. Aquí os lo dejo: En un triángulo se inscriben tres parábolas de modo que cada parábola es tangente a dos lados del triángulo en sus vértices, como se puede ver en la figura siguiente:…
En «La cuadratura de la Parábola» de Arquimedes se demuestra que el área de cada uno de los sectores parábolicos, aquí sector es entendido a la manera en que lo entendía Arquimedes, tiene como área del triangulo inscrito que tiene la misma base y altura que dicho sector. En el caso considerado, esto es equivalente a decir que el área del sector parábolico es igual a del área del triángulo que inscribe a las parábolas en el enunciado del problema. Y esta característica se cumple para cada una de las parábolas, independiente del lado que forme la base de su… Lee más »
Es la primera vez que entro en GAUSSIANOS. No conozco LaTeX. En todo lo que sigue llamaré C a la raiz cuadrada de 3. Del enunciado deduzco que la relación buscada es independiente de los ángulos y lados del triángulo de partida. Para resolverlo supongo que es un triángulo equilátero de lado unidad con lo que aprovecho el conocimiento de lados, angulos, alturas y simetrías. He inscrito un triángulo en el triángulo parabólico del problema. Supongo un origen de coordenadas en el vértice inferior izquierdo del triángulo grande que envuelve toda la figura. Voy a calcular las coordenadas del vértice… Lee más »
Pido disculpas. He revisado los cálculos y, aunque el proceso es correcto hay un error de operación. La relación buscada, después de corregirlo, resulta ser de 1/6.
Por las propiedades de las transformaciones afines, basta considerar el caso en que el triángulo es equilátero. Consideramos la parábola . Si , PR y QR son 2 tangentes a la parábola y el triángulo PQR es equilátero. (De lado , altura 3/2 y área ) El segmento parabólico cortado por PQ tiene área La ecuación de la linea QR es y la de la altura que pasa por P es . Esta altura corta a la parábola además de en el punto P, en el punto y la distancia PH = 4/3. El punto de la parábola cuya tangente… Lee más »
Buenas, siento decir que no se usar latex y que esto os va a destrozar los ojos teniendo en cuenta que, probablemente, sea la forma mas larga posible para llegar a la solución (suponiendo que sea correcta). Utilizando los polinomios de Bernstein se pueden escribir las 3 curvas interiores al triangulo de la siguiente forma: c1 = [Ax;Ay]t^2 + [Bx;By](2t(1-t)) + [Cx;Cy](1-t)^2 c2 = [Ax;Ay]u^2 + [Cx;Cy](2u(1-u)) +[Bx;By](1-u)^2 c3 = [Bx;By]v^2 + [Ax;Ay](2v(1-v)) + [Cx;Cy](1-v)^2 donde [Ax,Ay],[Bx,By],[Cx,Cy] son las coordenadas de los puntos del triangulo ABC, y t,u,v son variables reales pertenecientes al dominio (0,1). Resolviendo los sistemas de ecuaciones… Lee más »
Excelente, fede! Ese es el valor pedido.
fede, por casualidad ¿no habrás dado matemáticas en FP Romero Vargas de Jerez? ¿o te estoy confundiendo con otra persona?
gyakoo, solo he pasado por Jerez de turista
Fede, seria posible de subir un grafico de la demostracion, es uqe me pegue una perdida
Esteban, aqui tienes un gráfico:
http://img694.imageshack.us/img694/3454/aapimg1.png
Jum! Con qué está hecho el gráfico de fede?
La figura está hecha con GeoGebra.
Lo curioso del problema es que las relaciones entre las áreas son las mismas para cualquier triángulo, puesto que hay una transformación afín que tranforma ese triángulo en un triángulo equilátero, y las transformaciones afines conservan las relaciones entre áreas, la incidencia y las parábolas.
Por tanto en cualquier triángulo las áreas «B» son iguales entre sí, lo mismo que las áreas «A», y si el área del triángulo es 81, A=5, B=17, C=15.
Con respecto a la figura del enunciado, hay muchas otras propiedades de interés: – cada parábola divide en dos partes iguales a la mediana correspondiente; – cada parábola divide al triángulo en dos partes de igual área; – el segmento que une los puntos medios de los lados es tangente, en su vértice, a la correspondiente parábola tangente; – las parábolas se cortan dos a dos en puntos sobre las respectivas medianas, y el correspondiente punto divide a la mediana en relación 1:8; – las medianas y las parábolas dividen al triángulo en 18 regiones: 12 de ellas delimitadas por… Lee más »
Barbaridad al canto en la segunda propiedad anterior: quise decir que cada parábola divide a al triángulo en dos partes, una con el doble de área que la otra.
Que buena, fede! (y muy cuco el dibujo jajajaj)
Otras propiedades de la figura del enunciado: Si desde un vértice trazamos las 3 rectas que pasan por los puntos de intersección de dos parábolas, una de las rectas es la mediana y las otras dividen al lado opuesto en la razón 1:4 y 4:1 Si desde un vértice trazamos las 3 rectas que pasan por los puntos de tangencia de las parábolas con los segmentos entre los puntos medios del triángulo, una de las rectas es la mediana y las otras dividen al lado opuesto en la razón 1:2 y 2:1 El eje de una parábola que sea tangente… Lee más »
Otra propiedad:
Las tangentes a las parábolas en los puntos de intersección de las parábolas en el interior del triángulo son paralelas a las medianas y cortan a los lados del triángulo en la razón 1:2.
Sobre las tangentes a las parábolas en los puntos de intersección que menciono en el último comentario sucede además que el segmento de la tangente situado en el interior del triángulo es 2/3 de la longitud de la mediana paralela, y es cortado en razón 1:2 por el punto de tangencia con la parábola.
Genial, fede! ¿Quién iba a pensar de antemano en tantas y tan interesantes propiedades? ¡Mira que han dado juego las medianas!
Fede ha dicho: «Por las propiedades de las transformaciones afines, basta considerar el caso en que el triángulo es equilátero…»
y 
Por favor, ¿Cómo se demuestra eso?
Creo que hasta que esto se aclare, el problema no estará resuelto. 🙂
Por cierto, nosotros lo habíamos hecho también así, pero con el triángulo
Pastrana, podemos convertir un triángulo cualquiera en un triángulo equilátero mediante una transvección seguida de una dilatación en una dirección. La transvección conserva las áreas y la dilatación multiplica las áreas por un mismo factor. Por tanto al aplicar las dos transformaciones se conserva la razón entre las áreas. Por otro lado esas transformaciones convierten las parábolas en parábolas, porque son lineales y no alteran el grado de las curvas algebraicas (por tanto transforman cónicas en cónicas) y transforman los puntos (proyectivos) del infinito en puntos del infinito y por tanto una cónica que pase por un solo punto del… Lee más »
A mí inicialmente me pasó lo mismo que a Pastrana, si bien no en cuanto a las relaciones entre superfícies, sí en cuanto a la conservación de las propiedades de la curva (pues no olvidemos que transformamos el triángulo no las curvas, éstas las sacamos después del triángulo). Lo que en cierta medida me convenció fué la propiedad de linealidad que relaciona el área de un arco de parábola con uno de sus triángulo incritos (en el arco de parábola) y el hecho de que la transformación convierte parábolas en parábolas (pero por la construcción de la curva). Ahora Fede,… Lee más »
Problema (do meu blog, 27.02.10): dois polígonos regulares semelhantes com n lados, um circunscrito e o outro inscrito num círculo de raio r, têm perímetros iguais a, respectivamente, P e p.
1. Determine p em função de P, n e r.
2. Prove que, quando n tende para infinito, p/P –> 1.
Sugestão: observe a seguinte figura:
http://problemasteoremas.files.wordpress.com/2010/02/inscircunscrito.jpg
Por otra parte, de la relación
Dani, obrigado! Este problemazito foi publicado hoje, no meu blogue «problemas | teoremas», com o título «Polígonos regulares com n lados inscritos e circunscritos num círculo: relação de perímetros» (URL: http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/02/27/poligonos-regulares-com-n-lados-inscritos-e-circunscritos-em-um-circulo-relacao-de-perimetros/ ). E é de nível básico (9.º ano) ou, quando muito, secundário (12.º ano), o que não é o caso dos problemas propostos e resolvidos aqui, em Gaussianos. A fonte de inspiração foi a 3.ª edição do seguinte livro francês, de F. G.-M., 1917 (com 735 páginas e 3.ª edição de Maison Alfred Mame et Fils, Tours e J. de Gigord, Paris): Cours de Gómetrie Élémentaire, par F. G.-M.… Lee más »
Nota: a resolução do livro indicado é meramente geométrica!
Dani, indiquei em
http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/02/23/problema-do-mes-problem-of-the-month-3-polinomio-real-real-polynomial-resolucao-solution/
que (Dani) tinha aqui apresentado uma solução do meu Problema do mês #3
http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/01/06/problema-do-mes-problem-of-the-month-3/ .
Si me dices cómo se usa el LaTeX en tu blog estaré encantado de escribir la respuesta. 🙂
Dani, como em qualquer blogue standard do WordPress, basta escrever latex a seguir ao primeiro $ .
Explicação 🙂
Por exemplo, para escrever
em vez de escrever só $\dfrac{p}{q}$, escrevo
latex \dfrac{p}{q} [aqui faltam os dois $ $, o inicial e o final].
Nota importante: nos comentários, não aceita o alinhamento (justificação ou justify) ao centro ou à direita; assim sendo, os parágrafos vão aparecerer sempre alinhados à esquerda.
Dani,
Esqueci-me de dizer que o meu blogue não permite «Vista Previa», por ser do tipo normal (standard) como os gratuitos (grátis) do WordPress.
Mas se houver problemas no LaTeX, eu edito, e corrijo.
Obrigado pelo interesse.
PS. Malandro! 🙂 Vi agora aqui $ latex código-latex-que-quieras-insertar $ (sem os dois espaços).
Américo
perfecto 😉
Dani | 27 de Febrero de 2010 | 22:36
Everything went well.
Thanks!
Otra solución, utilizando la afinidad, pero sin emplear coordenadas: http://goo.gl/B01H0W