Hace unos días, un lector del blog, Manel Amorós, me hizo llegar un problema que había visto en un comentario de un artículo relacionado con matemáticas que se había publicado en un medio de comunicación. Aunque el comentario no tenía mucho que ver con la temática del artículo en sí, el problema suscitó el interés de varios lectores, Manel incluido. Por ello os lo planteo hoy en Gaussianos.
No os voy a dejar el enunciado literal que se propuso en ese artículo, ni el enlace del mismo (lo pondré más adelante, cuando se haya resuelto aquí). Os agradecería que ninguno de vosotros lo ponga en ningún comentario.
Ahí va el enunciado tal cual me lo envió Manel:
Un destructor y un submarino se encuentran separados una distancia D (suponemos distancias horizontales, dado que el problema se desarrolla en el plano). En un momento dado, ambos empiezan a moverse a velocidades constantes, siendo la velocidad del barco superior a la del submarino. El submarino se mueve obligatoriamente en linea recta, pero el barco desconoce la dirección que ha tomado el submarino. ¿Existe alguna trayectoria del barco que garantice que en algún momento se encontrará sobre la vertical del submarino?
Hala, a pensar, que nunca viene mal. Que se os dé bien.
ACTUALIZADO: Como comentaba en el post, os dejo el enlace al artículo en el que aparecía el problema que me envió Manel. Está en los comentarios de este artículo de El País.
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Valora en Bitacoras.com: Hace unos días, un lector del blog, Manel Amorós, me hizo llegar un problema que había visto en un comentario de un artículo relacionado con matemáticas que se había publicado en un medio de comunicación. Aunque el com…
Efectivamente este problema se vio en cierto medio de comunicación, y he decir que me alegra que lo pongas en Gaussianos porque la solución mostrada entonces no me «convenció » al 100% y estoy seguro que en este foro profundizaremos más. No digo más. ¡Ánimo!
Creo que la respuesta será distinta si se considera un océano plano e infinito que si éste fuera esférico y sin continentes.
Yo creo tener una solución, pero no me basta con los datos dados en el enunciado.
Creo que el barco podría localizar al submarino siguiendo una trayectoria en espiral, pero para que fuese válida la solución el enunciado necesitaría que variase:
– la velocidad del submarino debería ser constante Y CONOCIDA, lo cual a priori no es así
– ambos están separados una distancia D en el instante inicial, pero sin saber hacia qué dirección está el submarino, tampoco he conseguido dar con la solución
Sigo dándole vueltas al asunto…
¿Consideramos el submarino y el barco, como un punto, o basta con quehaya algun punto de uno y otro que coincidan?
Una espiral? Esto es, una trayectoria regular y homogénea basada en un ángulo muy agudo, pero que sea constante para avanzar e ir alejándose del centro y/o posición inicial. El problema sería el tiempo en que le llevaría la intercepción…
Este problema yo lo conocía con animales :D.
A ver si Gaussianos despega de nuevo. Ejercicios como este sin duda ayudan.
Pero faltan datos. Aqui van: los del destructor, para poder implementar la trayectoria, conocen:
– no solo la distancia inicial D, sino tambien la direccion de esa distancia (lease vector de posicion del submarino respecto al destructor);
– el ratio entre las velocidades del submarino y el destructor
En efecto, debe ser conocida tanto la distancia D que separa ambas naves como el cociente entre las velocidades de ambas. Estos dos parámetros son suficientes para determinar la trayectoria del barco, pero si además conocemos cada velocidad, la del barco y la del submarino, conoceremos el tiempo en que se produciría el encuentro entre barco y submarino en función de la trayectoria elegida por el submarino. Resumiendo: tres datos iniciales, D distancia entre las naves, V velocidad del submarino, W velocidad del barco.
Suponiendo que en el barco conocen exactamente el punto donde estaba el submarino: 1) Avanza en linea recta hacia dicho punto, hasta el punto intermedio de encuentro en el que se cruzaria con el submarino (se calcularia con el tipico ejemplo de los trenes que salen de Madrid/Barcelona) 2) Desde ese punto, una ruta en espiral con el ‘centro’ en el punto donde estaba el submarino, y mas o menos abierta en función del ratio de velocidades barco/submarino Los puntos de la espiral estarian asi sobre la supuesta vertical del submarino en cada una de las direcciones a partir del… Lee más »
No se si me he columpiado poniendo mi respuesta, u os referiais a no poner respuestas en el articulo ‘original’, el caso es que no habia leido esa parte y ya no puedo editar el comentario.
Perdon 🙁
Me refería a no poner aquí el enlace al artículo donde apareció el problema. No por nada (lo pondré yo en los próximos días), sino para que la gente piense el problema sin mirar lo que se comentó allí :-).
¿El barco conoce la posición inicial del submarino o solo la distancia a la que se encontraba? ¿Y la velocidad del submarino? ¿O ninguna de las dos?
El enunciado no dice nada sobre si el barco conoce esos datos, por lo que en principio creo que deberíamos considerar que NO conoce ni la posición inicial del submarino ni la velocidad a la que viaja.
Según creo, deberían conocerse ambas velocidades. Obviamente parece un poco extraño que el barco conozca la velocidad del submarino, pero no lo es menos que sepa que viaja en linea recta. Es lo que pasa con los enunciados de problemas matemáticos, que por querer ser «realistas» se cometen estas incongruencias. Lo que entiendo es que el problema «físico» encierra un problema de orden geométrico, un problema de puro análisis matemático.
Este es de esos problemas que uno dice es imposible y lo puedo demostrar… pero, claro sabemos que en Gaussianos estas cosas no ocurren. Creo que es facil demostrar que existen infinitas trayectorias en las que el barco se acerca una distancia tan pequenya como queramos al submarino. Estas trayectorias serian (sx,sy) en funcion del tiempo: alpha(t)=2*pi*Qa*t theta(t)=2*pi*Qz*t v(t)=-V*cos(2*pi*t*Qv)+1 sx(t)=D*cos(theta(t))+t*v(t)*cos(alpha(t)) sy(t)=D*sin(theta(t))+t*v(t)*sin(alpha(t)) Donde t es el tiempo entre 0 y infinito. t=0 corresponde cuando el barco ha recorrido una distancia D en x. V es la velocidad del barco. Qa, Qz y Qv son numeros irracionales diferentes para asegurarnos que cos(t*Q*2*pi)… Lee más »
error, v(t) deberia ser:
v(t)=-V*(cos(2*pi*t*Qv)+1)/2
Es imposible porque para que el destructor tenga velocidad constante necesita que su trayectoria sea recta y nunca puedes asegurar (dado que no conoces la dirección del submarino) que el submarino y el destructor no se estén alejando inicialmente, en cuyo caso nunca pasarán por la vertical. Habría que cambiar en el enunciado y poner una ligadura, por ejemplo una línea horizontal de costa y que la velocidad del destructor es solo constante en módulo.
El problema parece más difícil de lo que luego realmente es. Comenzamos simplificándolo: ya que solo se pregunta por un encuentro de ambas naves en la vertical, resulta irrelevante la posición horizontal. Así pues, para nuestro problema, podemos proyectar todo al eje y trabajar en una recta en vez de sobre un plano. Traigamos nuestro problema a nuestra recta real y coloquemos, sin perder generalidad, al submarino en el origen. Teníamos, como datos, las velocidades del submarino y del destructor (en módulo) y la distancia $d$ entre ambas embarcaciones. Como solo tenemos estos datos, desconocemos la componente vertical de ,… Lee más »
Sam, con tu sistema solo alcanzas al submarino si éste se mueve en dirección horizontal o vertical, puesto que tu trayectoria solo te lleva por los ejes.
Es fácil diseñar trayectorias para el destructor que obligatoriamente pasen por encima de un punto de la trayectoria del submarino. Sin considerar tiempo infinito es imposible poder asegurar la coincidencia en tiempo del paso de ambos.
Aun así parece intuitivamente imposible. La solución depende de si hay tantos puntos en una recta (submarino) como en un plano (destructor)
Trataré de probar que la tarea es imposible (siempre y cuando el submarino y el destructor sólo tengan una recta como vertical y su movimiento sea continuo), no soy matemático así que espero me perdonen y corrijan cualquier error conceptual o lógico. Hechos: La posición inicial del submarino (pis) es desconocida, pero debe ser uno de los infinitos puntos de la circunferencia de radio d que tiene como centro la posición inicial del destructor (pid). La dirección angular del submarino, (das), es desconocida, pero debe ser uno de los infinitos valores en el intervalo 0<= das < 2*pi. La velocidad… Lee más »
Debe ser conocida tanto la distancia D que separa ambas naves como el cociente entre las velocidades de ambas. Estos dos parámetros son suficientes para determinar la trayectoria del barco, pero si además conocemos cada velocidad, la del barco y la del submarino, conoceremos el tiempo en que se produciría el encuentro entre barco y submarino en función de la trayectoria elegida por el submarino. Resumiendo: tres datos iniciales, D distancia entre las naves, V velocidad del submarino, W velocidad del barco.
creo que solo demuestras que la trayectoria que propones solo te sirve el 50% de las veces, vamos si vas en la buena direccion. Ya que te vas a una direccion te doy una solucion en la linea recta: -Vas hacia la derecha una distancia 2D (Si vas al doble de velocidad en la buena direccion o mas lo pillas) -Si no, vas hacia la derecha una distancia 10D (si vas al doble de velocidad o mas ya lo has pillado para las 2 direcciones) -Si no es que va mas rapido. Prueba un factor 2/3. La distancia maxima que… Lee más »
La trayectoria que yo me imagino es la siguiente: primero pensemos en coordenadas polares. Entonces si tomamos como origen la posición inicial del destructor haré que el destructor tome como velocidad radial una velocidad ligeramente superior a la del submarino y como velocidad angular lo que le sobre sin afectar la susodicha velocidad radial. Esto hasta que que haya recorrido una distancia radial igual a V_s*t + D. De algo puedo estar seguro cuando haya ocurrido esto: el submarino va a estar dentro de la circunferencia de radio V_s*t + D tomando como centro el origen. Ahora lo que hago… Lee más »
Por supuesto el proceso que digo se repite(de quitar D a la distancia radial y de sumar D a la misma) las veces que sea necesario hasta que lo pille. La idea es que con esa velocidad radial variada, se recorren todas las posibles variaciones del lado que nos interesa del triángulo que forman la posición inicial del destructor, la posición inicial del submarino y la posición actual del submarino. O sea del lado posición inicial del destructor, posición actual del submarino(más exactamente la variación que ocasiona D y el ángulo de salida del submarino). Bueno, no puedo demostrarlo completamente… Lee más »
Si conozco la distancia a la que está el submarino y su dirección, pero no su velocidad, basta con ir a ese punto y esperar a que dé la vuelta al mundo 😀
bueno, depende del mundo. El mundo del famoso juego Asteroids es un toroide. Aqui hay orbitas ‘rectas’ no periodicas:
http://math.stackexchange.com/questions/199049/walking-on-a-torus
Eso si, acaban siendo densas con t tendiendo a infinito, asi que quedandote quieto en el punto de partida de acercarias tanto como quisieras.
Puedes encontrar el submarino recorriendo todos los ángulos . Obviamente, cuando estés en , tienes que estar a distancia del origen (supuesto en el punto del que arranca el submarino). Por lo tanto, basta con seguir la curva . Pero hay una restricción más: la velocidad del barco es constante, . El cuadrado del módulo de la velocidad de la trayectoria anterior es , que tiene que ser constante e igual a . Despejando, tenemos la ecuación diferencial , que tiene solución . Operando, queda una curva del tipo . Omito la identificación de las condiciones iniciales, la identificación de… Lee más »
Bueno, asumes que el barco y el destructor salen ambos del origen, asi que ya esta resuelto en t=0 y no hace falta la curva, no?
En ningún momento he dicho que t comience en 0. El barco avanza hacia el origen hasta una distancia trivial de calcular y ahí comienza a seguir la ruta sugerida. Los detalles, reitero, están omitidos.
Ahora no veo claro cual es el plano y que es horizontal y vertical.
Es el plano (x,y) con x horizontal e y vertical?
Es suficiente que la coordenada x del submarino coincida con la coordenada x del destructor?
Yo entendi que tanto x como y tenian que coincidir, vertical fuera debajo del mar….
D = x del submarino menos x del destructor?
He leído los comentarios anteriores y creo que solamente Carlos J Gil se ha aproximado correctamente a la respuesta. El problema tiene solución partiendo de unas premisas básicas. Los detalles los dejo a continuación, para el lector interesado. Para comprender mejor este problema tenemos que plantearlo en los términos correctos. Supongamos un submarino, que se encuentra en el origen de nuestro sistema de referencia cartesiano, y un destructor que lo avista entre la niebla, situado en el punto $(+D,0)$ (por tanto a una distancia inicial $D > 0 $). \par Denotemos por $v$ y $V$ las velocidades del submarino y… Lee más »
Todo correcto. Yo lo resolví considerando que el cociente de los arcos descritos por ambas naves debería ser constante. De hecho, en la fórmula de la espiral aparece dicho coeficiente, que coincide con el cociente de las velocidades, sin aparecer ambas velocidades por separado. Ahora bien, si queremos calcular el Tiempo de encuentro, entonces ya es necesario contar con los datos de las dos velocidades.
Esta misma solución también se puede ver en la siguiente página donde además se incluye una imagen de la trayectoria:
https://books.google.es/books?id=3baLgRPhJD8C&pg=PA75&lpg=PA75&dq=El+problema+del+destructor+y+el+submarino&source=bl&ots=A1Vj3HTWuD&sig=EBWcg5W3L4ukwULBalAWy1Dy23s&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjskaPT-vjNAhWCrxoKHSU_B-IQ6AEIKTAC#v=onepage&q=El%20problema%20del%20destructor%20y%20el%20submarino&f=false
Lo encontré hace días y no parece que sea la solución al problema que de hecho se nos plantea aquí, puesto que en nuestro caso no se da por conocida la posición ni la velocidad del submarino.
Por otro lado, el dibujo en el enlace es bastante pobre.
En fin, le pido al autor que ponga el enlace al foro aquel en donde se estudia la respuesta.
maestrillo, acabo de actualizar el post añadiendo el enlace del artículo en el que aparecía el problema :).
Está claro que la solución existe cuando se conoce la posición inicial del submarino y su velocidad (relativa). Lo que no termino de ver, y no he encontrado la demostración, es qué pasa si no se conoce alguno de estos datos, o los dos, tal y como afirma ^Diamond^ en un comentario anterior. En esas circunstancias: ¿sigue existiendo solución? ¿Puede demostrarse que no existe? Creo que alguna de estas dos opciones es la única respuesta válida, ¡especialmente tratándose de un espacio de matemáticas! La intuición a mí me dice que no puede existir solución: el submarino puede estar en un… Lee más »
Meu cabelo no presente está comprido (na cintura), e também como anda qualquer
vez mas difícil penteá-los, acabei fazendo há 6 dias atrás uma selagem térmica. http://www26.tok2.com/home/foreverlove2000/cgi-bin/bbs3/fantasy.cgi?ectrans=1&&comment=000256