Las esferas besuconas, o el gran salto a la tercera dimensión

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Introducción

La tercera dimensión, , o como lo queramos llamar, es un lugar complicado de manejar. Es donde hacemos nuestra vida diaria (al menos a nuestra escala) pero matemáticamente es un espacio que con cierta frecuencia produce auténticos quebraderos de cabeza. El salto de dos a tres dimensiones es sencillo en algunas ocasiones y tremendamente difícil en otras. No son pocos los problemas cuya respuesta es relativamente fácil de encontrar en dos dimensiones, pero que entrañan una suprema dificultad cuando aumentamos en uno la dimensión de la situación.

El problema que nos ocupa es uno de ellos. Es muy sencillo encontrar la solución del mismo para dimensión uno y dimensión dos. Hasta para ciertas dimensiones mayores el problema es fácil de resolver. Pero en dimensión tres no es ni mucho menos trivial. De hecho es ciertamente complicado. Veremos en el transcurso de este artículo por qué es razonable dudar sobre la solución de este problema y cómo la dificultad que posee el mismo motivó una disputa entre dos grandes matemáticos.

El problema del número de besos

La cuestión que nos ocupa tiene que ver con esferas que besan (en el sentido de tocar en punto) a otra. En concreto nuestro objetivo es el siguiente:

Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial?

Lo primero que vamos a hacer es definir qué es lo que vamos a considerar como esfera en este artículo. Una esfera será para nosotros el conjunto de puntos que distan de un punto fijo una cierta cantidad (radio) o menos. Por ejemplo, en dimensión 1 una esfera es un intervalo, en dimensión dos es un círculo relleno y en dimensión tres es algo así como una pelota.

Comencemos con dimensión 1. Es evidente que dado una esfera en esta situación sólo es posible colocar dos esferas iguales a ésta (una a la izquierda y otra a la derecha), tal como muestra la siguiente figura:

En dimensión dos el estudio también es sencillo. Dada una esfera pueden colocar seis esfera alrededor de ésta que tocan a la inicial, y no se pueden poner más. Lo podemos ver en esta imagen:

¿Y en dimensión tres? Pues aquí la situación se complica bastante. Al parecer the kissing number problem (que es como se denomina en inglés a este problema) raíz de unos estudios sobre mecánica celeste de Isaac Newton. El propio Newton conjeturó que eran las esferas que pueden colocarse besando a una esfera dada en tres dimensiones. Pero apareció David Gregory, quien aseguraba que ese número era .

Vamos a analizar la cuestión con un poco más de detalle. Es relativamente sencillo colocar 12 esferas tocando a una esfera dada, por ejemplo así:

Pero esta no es la única forma de colocarlas, y quizás este hecho sea lo que provoca la dificultad de este problema. Hay más formas de colocar estas esferas. De hecho a partir de una colocación cualquiera se pueden mover las esferas hasta que queden colocadas sobre los vértices de un icosaedro (poliedro de 20 caras y 12 vértices) cuyo centro es el mismo que el de la esfera interior. Esta colocación es la siguiente:

La duda aparece cuando uno analiza esta configuración y aprecia que queda una cierta cantidad de espacio entre las esferas. Por ello no es ni mucho menos una locura plantearse que las esferas pueden recolocarse de tal forma que esos huecos permitan colocar una esfera más besando a la interior.

Esa fue la disputa entre Newton y Gregory: el primero decía que esto no se podía conseguir y el segundo estaba convencido de que sí.

¿Qué diríais vosotros? ¿Podremos juntar todos esos huecos en uno para poder colocar otra esfera? Es cierto que la apuesta más segura quizás es la de Newton, pero en cierto modo la opción Gregory es tentadora…Bueno, no me extiendo más. El ganador es:

Enhorabuena a los que hayáis acertado. En realidad no se pueden aprovechar esos huecos para colocar otra esfera. Newton acertó y Gregory falló, pero por desgracia ninguno de los dos conoció una demostración de este hecho en vida. De hecho hubo que esperar hasta 1953 (casi 300 años después del planteamiento inicial del problema) para conseguir tal demostración. Algo así como el último teorema de Fermat, pero con menos renombre.

Bien, resuelto el tema de dimensión tres, ¿qué ocurre en dimensiones mayores? Bien, en dimensión cuatro el problema tampoco es fácil. De hecho se dudaba entre 24 y 25. De hecho la situación es parecida a la anterior: es relativamente sencillo colocar 24 esferas tocando a una dada en dimensión cuatro, pero quedan muchos huecos entre ellas. La cuestión se resolvió en el año 2003 y la respuesta es también del estilo a la del caso anterior: aunque quedan huecos no se puede colocar niguna más. Es decir, en dimensión cuatro el kissing number es .

Si seguimos subiendo…poca información más tenemos. Se sabe que en dimensión 8 podemos colocar de esta manera esferas y en dimensión 24 ese número es . Pero no se conoce con exactitud ningún otro kissing number. En el resto de caso lo único que tenemos son cotas superiores e inferiores de este número. Por ejemplo, en dimensión 5 se sabe que este número de esferas se encuentra entre 40 y 44, en dimensión 6 entre 72 y 78, en dimensión 12 entre 840 y 1357, en dimensión 20 entre 17400 y 36764…En el segundo enlace que de las fuentes podéis ver una tabla con todas las cotas hasta dimensión 24.

Como dato final comentar que parecer este kissing number muestra una tendencia de crecimiento exponencial, como podéis apreciar en el gráfico de la derecha (podéis verlo a mayor tamaño en el segundo enlace de las fuentes. La parte gris representa para cada n el intervalo de valores entre los que esta el kissing number. El problema, claro está, es que no se conoce la base de este crecimiento exponencial.

Fuentes:

• Artículo de Plus Magazine sobre the kissing number problem.
• Kissing number problem en la Wikipedia inglesa.