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La integración por partes

Nunca me gustó la fórmula de la integración por partes. Me refiero a ésta:

\displaystyle{\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du}

Escrita así, siempre me pareció asimétrica e incómoda de aplicar. El caso es que, como casi todos los métodos de resolución de integrales indefinidas, éste es una consecuencia directa de las reglas de derivación. Concretamente de la regla del producto. Veámoslo:

\cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = \cfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \cfrac{dv}{dx}

Si ahora reordenamos los términos:

u \cdot \cfrac{dv}{dx} = \cfrac{d}{dx} \left (u \cdot v \right ) - \cfrac{du}{dx} \cdot v

e integramos:

\displaystyle{\int \left( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right) \cdot dx = \int \left( \cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) \right) \cdot dx - \int \left( \cfrac{du}{dx} \cdot v \right) \cdot dx}

Voilà!, recuperamos la fórmula inicial.

El método

Pero, un momento. Si la fórmula de integración por partes no es más que la regla del producto escrita de otra manera… ¿debería ser posible integrar utilizando únicamente derivadas y sus propiedades? La respuesta no sólo es afirmativa, sino que además el proceso es relativamente sencillo. Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos integrar la función f(x) = x \cdot e^{2x}. En lugar de empezar a bautizar variables como u y dv , intentemos buscar una solución a ojo. Busquemos una función que, una vez derivada, nos dé al menos algo parecido a f(x) . Por ejemplo, probemos con \frac{x}{2} \cdot e^{2x} :

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) = x \cdot e^{2x} + \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

¡Vaya!, ha estado cerca. El segundo término nos está haciendo la puñeta. Despejando f(x) se ve muy claro el problema:

f(x) = x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) - \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

Pero… ¡un momento!, el segundo término puede expresarse a ojo como una derivada (o lo que es lo mismo, es una integral inmediata):

-\cfrac{1}{2} \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Insertando esta última expresión en la inmediatamente anterior obtenemos:

f(x) = x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) + \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Y como la derivación es una operación lineal:

f(x) = x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Ya tenemos la integral:

\int f(x) \cdot dx = \int x \cdot e^{2x} \cdot dx = \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} + c

Este método puede parecer retorcido la primera vez que se aplica, pero os aseguro que una vez que uno se acostumbra ya no quiere volver a saber nada de u y dv . Si os animáis a intentarlo, os dejo un ejercicio en el que el proceso debe aplicarse dos veces. Integrar:

f(x) = x^2 \cdot \cos (x)

Una pista, como primer candidato utilizad x^2 \cdot sen(x) . Los pasos por los que deberíais pasar son los siguientes:

x^2 \cdot \cos (x) = \dfrac{d}{dx} \left( x^2 sen(x) \right) - 2x \cdot sen(x)

- 2x \cdot sen(x) = \cfrac{d}{dx} \left( 2x \cdot \cos (x) \right) -2 \cos (x)

-2 \cos (x) = \cfrac{d}{dx} \left( -2 sen(x) + c \right)

Integrar derivando

Recapitulemos. Todo el método descansa sobre el Teorema Fundamental del Cálculo, que hablando pronto y mal nos dice que existe la siguiente relación entre derivada e integral indefinida:

F(x) = \displaystyle{\int f(x) \cdot dx \Rightarrow f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F(x) \right)}

Los casos en los que podemos encontrar directamente una función F(x) se corresponden con las integrales inmediatas. Muchos casos de cambio de variable también son fácilmente abordables desde el punto de vista de la derivada. Por ejemplo, para integrar e^{5x} podemos empezar observando que:

\cfrac{d}{dx} \left( e^{5x} \right) = 5 \cdot e^{5x}

y dado que la derivación es una operación lineal:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} \right) = e^{5x}

tenemos libertad para sumar una constante arbitraria dentro de la derivada, pues se convertirá en un cero una vez derivada:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} + c \right) = e^{5x}

y por tanto:

\cfrac{e^{5x}}{5} + c = \int e^{5x} \cdot dx

El caso de las integrales por partes es quizá el más retorcido, pues el proceso implica aplicar una o varias expresiones sucesivas del tipo:

f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F_{parte}(x) \right) + \epsilon(x)

La principal ventaja práctica de abordar de esta manera los problemas de integración es que nos ahorra memorizar las integrales inmediatas y las reglas de integración. Hay otra ventaja un poco más teórica y más oculta, y es que si nos acostumbramos a usarlo, nunca más se nos olvidará el teorema fundamental del cálculo. Os animo a darle una oportunidad.

Y para terminar un poquito de humor. No puedo dejar pasar la oportunidad que me brinda esta colaboración de Don Mostrenco para aconsejaros que veáis el vídeo I integrate by parts. No tiene desperdicio.

Esta entrada participa en la Edición 5.1: Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro Tito Eliatron.

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