Hace unos meses, un grupo de matemáticos españoles, investigadores del ICMAT (CSIC) y de la Universidad de Sevilla, en colaboración con otros institutos y universidades extranjeras, consiguieron demostrar la existencia de singularidades en las ecuaciones de Euler que modelan el movimiento de un fluido. El trabajo de este grupo, compuesto por

  • Angel Castro (Département de Mathématiques et Applications, École Normale Supérieure)
  • Diego Córdoba (ICMAT, CSIC)
  • Charles Louis Fefferman (Department of Mathematics, Princeton University)
  • Francisco Gancedo (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Sevilla)
  • Javier Gómez-Serrano (ICMAT, CSIC)

puede verse en Splash singularity for water waves, Proc. Natl. Acad. Sci., 109, no. 3, 733-738 (2012) (el link es del arXiv), y fue un tema del que se habló en muchos blogs y medios. Por poner un par de ejemplos, Francis habló sobre ello y uno de los integrantes del grupo, Javier Gómez-Serrano, lo presentó en «Matemáticas y sus Fronteras».

De izquierda a derecha: Charles Fefferman, Ángel Castro,
Javier Gómez-Serrano, Francisco Gancedo y Diego Córdoba

Hace un tiempo me puse en contacto con el grupo para ver si podían hablarme sobre el tema para Gaussianos, petición que aceptaron desde el primer momento. Al final ha sido Paco Gancedo quien ha escrito esta colaboración para todos vosotros.

En el texto que podréis leer a continuación, Paco nos presenta el problema que motiva el estudio que han realizado, comentando algunos detalles del desarrollo del mismo. Además ha aprovechado para añadir algo del trabajo Finite time singularities for water waves with surface tension, publicado en arXiv hace poco, donde añaden la tensión superficial, dando, si cabe, a esta colaboración aún más originalidad de la que ya tendría.

Singularidades en las ecuaciones de Euler

La Mecánica de Fluidos es una rama de la ciencia que estudia el movimiento de los líquidos, gases y plasmas. Es por tanto un campo de investigación peculiarmente amplio y que surge en un interminable número de problemas científicos. En consecuencia, se considera un tema central en Física e Ingeniería, además de proponer problemas clásicos desde el punto de vista de las Matemáticas. Usamos el adjetivo «clásico» porque fue durante la Ilustración, en 1755, cuando Leonhard Euler modeló el movimiento de un fluido ideal mediante las ecuaciones que llevan su nombre.

Para un fluido tridimensional con densidad constante, campo de velocidad v(x,t)=(v_1(x,t),v_2(x,t),v_3(x,t)) \in \mathbb{R}^3, con x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 la posición y t \geq 0 el instante de tiempo, las ecuaciones de Euler vienen dadas por

\cfrac{Dv}{Dt}(x,t)=-\nabla p(x,t) (1)

donde p(x,t) \in \mathbb{R} es la presión del fluido resultante de sus fuerzas internas, \nabla es el operador gradiente que considera sólo las variables x y \frac{D \, }{Dt} es la derivada a lo largo de trayectorias

\cfrac{Df}{Dt}(x,t)=\cfrac{\partial f}{\partial t}(x,t)+v(x,t) \cdot \nabla f(x,t), \quad f(x,t):\mathbb{R}^3 \times[0,+\infty) \to \mathbb{R} (2)

Es una ecuación vectorial, tres ecuaciones, con cuatro incógnitas: (v,p). Para cerrar el sistema, daremos la cuarta identidad, la condición de incompresibilidad

\cfrac{\partial v_1}{\partial x_1}(x,t)+\cfrac{\partial v_2}{\partial x_2}(x,t)+\cfrac{\partial v_3}{\partial x_3}(x,t)=0 (3)

que es equivalente a que el volumen de un conjunto de partículas del fluido sea constante a lo largo del tiempo. Este sistema fue deducido por Euler mediante el cálculo diferencial describiendo la dinámica del fluido a partir de la segunda ley de Newton y la hipótesis del continuo.

Nos encontramos con un problema de Análisis de Ecuaciones en Derivadas Parciales, que quizás se pudiese englobar dentro de los problemas de matemáticas fácil de enunciar ya que para saber qué quiere decir (1), (2) y (3) sólo hace falta el concepto de derivada parcial.

En este caso consideramos que el fluido ocupa todo el espacio sin tener en cuenta condiciones de frontera. Pero para que tenga sentido desde un punto de vista físico, se estudian datos iniciales

v(x,0)=v_0(x)

que decaigan en el infinito (no queremos que las partículas se muevan en el infinito) y por lo tanto con energía cinética finita:

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^3}|v_0(x)|^2dx < +\infty}

Entonces, si existe una solución clásica (v(x,t) es una función regular), se tiene que la energía se conserva:

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}^3}|v_0(x)|^2dx=\int_{\mathbb{R}^3}|v(x,t)|^2dx}

de ahí el adjetivo «ideal». Para esta ecuación sabemos que para un dato inicial regular v_0 existe una solución única que se mantiene regular para un instante de tiempo [0,T) donde T depende de la regularidad de v_0. Decimos en este caso que el sistema está bien propuesto. Sin embargo, una cuestión fundamental como la existencia global de solución es un problema abierto a día de hoy. No se sabe si, para un dato inicial regular, la solución de la ecuación de Euler sigue regular para todo tiempo o por el contrario hay una pérdida de regularidad. Diremos en este caso que hay una singularidad. Encontraríamos un instante de tiempo en el que alguna derivada de la velocidad o la presión explota haciéndose infinito (ver [P. Constantin, Bulletin of the AMS, 2007; http://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01184-6/home.html] para un resumen más técnico). Nos gustaría pensar que esta formación de singularidades es la explicación de algunos fenómenos de la naturaleza. Por ejemplo, la aparición de los tornados, donde las partículas giran de forma violenta; las ventiscas, en las que se producen unos cambios de temperatura dramáticos; la formación de gotas, en la que se fragmenta el fluido; o la manera en que se rompe una ola [D. Córdoba, M.A. Fontelos y J.L. Rodrigo, Gaceta de la RSME, 2005; http://gaceta.rsme.es/vernumero.php?id=59].

(Imagen tomada de aquí)

Juguemos un poco con la ecuación para tratar de entender cómo se mueve un fluido ideal. Aplicando el operador rotacional a la ecuación (\nabla \wedge ), encontramos un sistema donde la presión ha desaparecido y se puede escribir en términos de la vorticidad:

\omega=\nabla \wedge v (4)

que nos indica cómo las partículas del fluido giran. Así, en un fluido con vorticidad grande las partículas giran a gran velocidad y lo llamaremos turbulento.

La ecuación que resulta sería

\cfrac{D \omega}{Dt}(x,t)=\nabla v(x,t) \omega(x,t) (5)

en la que se puede ver que la derivada a lo largo de trayectorias es igual a un término cuadrático debido a que \omega es una configuración especial de los términos que aparecen en la matriz \nabla v(x,t).

Para entender el significado del término cuadrático en ecuaciones de evolución se puede simplificar la dificultad y considerar un modelo de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Tomando la derivada a lo largo de trayectorias como una derivada en tiempo y considerando el campo \omega como una función de tiempo y(t) nos quedaría el siguiente sistema

y^\prime (t)=(y(t))^2

Es fácil ver que la solución de esta EDO es

y(t)=\cfrac{y_0}{1-y_0 t}

para y_0=y(0). Se ve claramente que la solución de la ecuación se aproxima a +\infty (se produce una singularidad a tiempo finito) para t aproximándose a 1/y_0 si y_0 > 0. Por lo que la solución deja de ser regular y explota en tiempo 1/y_0.

¿Qué se puede decir en este sentido con las ecuaciones de Euler? Si nos fijamos, el término cuadrático presenta una cancelación: la suma de los elementos de la diagonal de la matriz \nabla v es cero por la incompresibilidad del fluido. Esta cancelación complica la afirmación de la formación de singularidades o, por el contrario, la existencia de soluciones para todo tiempo para soluciones con vorticidad no nula. Se podría decir que la incompresibilidad hace que las partículas no se puedan concentrar y eso dificulta la búsqueda de situaciones donde pueda producirse una singularidad.

Este fenómeno, en el que se presenta un término cuadrático igual a la derivada a lo largo de trayectorias, se denomina vortex-stretching y se da en aquellas ecuaciones de fluidos en las que la posible formación de singularidades juega un papel importante.

Entonces, en el modelo clásico de la evolución de un fluido ideal, la Mecánica de Fluidos se da de bruces con una enorme dificultad de índole matemática que los expertos en el área no entienden.

¿Qué se puede decir de la ecuación si tratamos de resolverla con un ordenador? Pues resulta que no son lo suficientemente potentes para decidir si hay o no formación de singularidades. Si describimos sus consecuencias de manera simplificada se podría decir que ésta es la razón por la que es difícil predecir en Meteorología, por poner un ejemplo.

Si suponemos que el fluido sólo se mueve en dos direcciones, esto es, v(x,t)=(v_1(x_1,x_2,t),v_2(x_1,x_2,t),0), entonces la vorticidad es un escalar \omega(x,t)=(0,0,\overline{\omega}(x_1,x_2,t)) y la ecuación para \overline{\omega} no presenta vortex-stretching

\cfrac{D \overline{\omega}}{Dt}(x,t)=0

Es un resultado clásico para esta ecuación la existencia de soluciones regulares para cualquier instante de tiempo y en consecuencia la no existencia de singularidades.

Recientemente hemos conseguido probar el primer resultado de formación de singularidades para las ecuaciones de Euler en un caso más complicado pero al mismo tiempo más singular [A. Castro, D. Córdoba, C. Fefferman, F. Gancedo y J. Gómez-Serrano, ArXiv:1106.2120, http://arxiv.org/abs/1106.2120; PNAS 2012, http://www.pnas.org/content/109/3/733; ArXiv:1112.2170, http://arxiv.org/abs/1112.2170; ArXiv:1204.6633, http://arxiv.org/abs/1204.6633]

Consideramos la ecuación de Euler en dos dimensiones para simplificar (pero el resultado se puede extender al caso tridimensional):

\cfrac{Dv}{Dt}(x,t)=-\nabla p(x,t)-(0,g) (6)

\cfrac{\partial v_1}{\partial x_1}(x,t)+\cfrac{\partial v_2}{\partial x_2}(x,t)=0 (7)

donde hemos añadido al sistema la fuerza externa de la gravedad, siendo g la constante gravitatoria.
Pero en este caso x pertenece a un dominio \Omega(t) \subset \mathbb{R}^2 que varía con el tiempo. Para fijar ideas, pensemos que el fluido es el mar (\Omega(t)) y arriba se encuentra el aire (\mathbb{R}^2 \setminus \Omega(t)). Entonces la frontera del dominio \Omega(t) es donde se dibujan las olas.

(Imagen tomada de aquí)

Daremos una ecuación para las olas parametrizando la frontera del dominio \Omega(t):

\partial \Omega(t)=\{z(\alpha)=(z_1(\alpha),z_2(\alpha)) \in \mathbb{R}^2,\,\alpha \in \mathbb{R},\,t \geq 0\} (8)

cuya evolución viene dada por la velocidad del fluido

\cfrac{\partial z}{\partial t}(\alpha,t)=v(z(\alpha,t),t) (9)

Para este escenario, que podemos denominar como un problema de frontera libre, daremos una condición extra para la vorticidad bidimensional

\overline{\omega}(x,t)=0, si x pertenece a \Omega(t) (10)

Esto no quiere decir que el problema es de vorticidad nula y por tanto fácil de resolver, sino que la vorticidad se concentra en la frontera \partial \Omega(t), por lo que la dinámica tiene lugar en la curva z(\alpha,t) y en consecuencia la ola gira.

(Imagen tomada de aquí)

Para terminar con la formulación del problema daremos unas condiciones clásicas en la frontera sobre la presión:

p(z(\alpha,t),t)=\tau \kappa(\alpha,t) (11)

para \kappa(\alpha,t) la curvatura de z(\alpha,t). La constante \tau es el coeficiente de tensión superficial de manera que en el caso \tau > 0 diremos que se satisface la condición de Laplace-Young. El caso \tau=0 se denomina «sin tensión superficial». La tensión superficial introduce una fuerza de regularización en el sistema que se produce en la frontera entre fluidos de distinta especie. Desde un punto de vista físico, la tensión superficial es la responsable de que algunos animales puedan sostenerse sobre la superficie del agua, o que las gotas tengan forma esférica.

Para este conjunto de ecuaciones (6)-(11) se sabe que el problema está bien propuesto [S. Wu, Invent. Math. 1997; http://www.springerlink.com/content/m2wyxgjn79rukbpf/?MUD=MP], y recientemente se han dado resultados de soluciones para tiempos largos con datos iniciales donde la frontera está cerca de ser plana (el mar está calmado) [S. Wu, Invent. Math. 2009; http://www.springerlink.com/content/c3v28534883m7131/], [P. Germain, N. Masmoudi y J. Shatah, Ann. of Math 2012; http://annals.math.princeton.edu/2012/175-2/p06]. Ver [C. Bardos y D. Lannes, aceptado en Panorama et Synthèses; http://arxiv.org/abs/1005.5329] para mas información de la ecuación de Euler con frontera libre.

(Imagen tomada de aquí)

Pasemos a la caza de la singularidad. Una de las razones que hace de una gran dificultad la comprensión de estos modelos es que son ecuaciones no lineales, con operadores no acotados (que involucran derivadas) y no locales. La no localidad hace que lo que ocurre en un entorno de un punto dependa del sistema en todo el espacio. Es una de las razones por lo que las simulaciones numéricas se presentan como una herramienta de gran utilidad a la hora de buscar posibles candidatos para la formación de singularidades. Nos pueden dar pistas cuando se ve el crecimiento de alguna cantidad, como podría ser en este caso la pendiente de la ola, la curvatura, etc.

En este sistema las simulaciones numéricas nos condujeron a un tipo de singularidad que hemos denominado singularidad splash. Todo permanece regular salvo si nos fijamos en dos partículas diferenciadas de la ola que evolucionan hasta un tiempo finito en que colapsan en una sola partícula (ver la figura de abajo):

Singularidad Splash. La interfase colapsa en un punto.

Hemos probado que existe una familia de datos iniciales regulares para los que se forma una singularidad splash en tiempo finito. Una vez que se produce, el sistema tal y como lo planteamos anteriormente deja de tener sentido.

Para finalizar, daremos algunos ingredientes de la prueba. La ecuación de Euler se puede resolver hacia atrás en el tiempo. Así que si queremos obtener una solución que termina en un splash a tiempo T_s se puede tomar un dato final que sea un splash a tiempo T_s e ir de {0} a T_s. El dato final tiene que ser apropiado. Nos tiene que permitir separar las dos partículas que se tocan, luego hay que escoger cuidadosamente la velocidad a tiempo T_s de manera que al resolver hacia atrás en el tiempo se obtenga una solución de Euler. Se le puede dar sentido usando la siguiente propiedad. Si nos fijamos en (7) y (10) nos damos cuenta que la velocidad es armónica

\Delta v=0

Luego podemos transformar mediante una aplicación conforme P la ola en una curva cerrada y llevar el dominio \Omega(t) a un nuevo dominio P(\Omega(t)) de manera que la velocidad del nuevo sistema es también una función armónica. Conseguiremos un nuevo sistema de ecuaciones con esta transformación que llamaremos P(Euler). P se tiene que escoger cuidadosamente de manera que, como función de variable compleja, tiene una raíz cuadrada cuyos puntos de discontinuidad pasan justo por el punto donde se produce el splash de manera que son dos puntos diferentes y bien definidos en P(z(\alpha,t)). Los puntos singulares de P (donde no es invertible) están en \mathbb{R}^2 \setminus \Omega(t) (donde no está el mar) y no plantean ningún problema al invertir P. Así, resolvemos el nuevo sistema P(Euler) que nos da una solución de Euler produciendo un splash invirtiendo P.

Francisco Gancedo agradece a Ángel Castro, Diego Córdoba, Javier Gómez-Serrano y Santiago Pozo por la revisión del artículo.

Si teneís alguna pregunta que hacer podéis usar los comentarios para ello, y Paco Gancedo os la responderá cuando le sea posible.

Esta entrada es mi primera participación en la Edición 3,14159 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es en esta ocasión nuestro José Manuel López Nicolás desde su blog Scientia.

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