Según la Wikipedia:
Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectangulares rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente se los denomina cajas de zapatos o simplemente cajas. Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí:
Una caja de Euler (Euler Brick en inglés) es un cuboide que cumple que sus tres lados y las tres diagonales de sus caras son números enteros. La más pequeña conocida fue descubierta por Paul Halcke en 1719 y es la que cumple que las longitudes de sus lados son (240,117,44) y las longitudes de las diagonales de sus caras son (267,244,125). Otras soluciones, dadas aquí por las longitudes de sus lados, son: (275,252,240), (693,480,140), (720,132,85) y (792,231,160). Se conocen soluciones paramétricas que nos dan siempre cajas de Euler (del estilo a la que publicamos hace tiempo sobre las ternas pitagóricas), pero no las dan todas. Otra propiedad que cumplen es que si tenemos una caja de Euler de lados (a,b,c), el cuboide de lados (bc,ac,ab) también es una caja de Euler.
Un cuboide perfecto (también llamada caja perfecta) es una caja de Euler que cumple que la longitud de su diagonal espacial es también un número entero (D en la imagen):
Como hemos visto antes encontrar cajas de Euler es posible y además sencillo a partir de una dada. Pero el problema del cuboide perfecto es un problema no resuelto en Matemáticas. Es decir: nadie ha encontrado ningún cuboide perfecto ni ha conseguido demostrar que no existen. Lo máximo que se ha conseguido es encontrar alguna de las propiedades que deben cumplir las longitudes de sus lados o cuboides «semiperfectos», es decir, cuboides que aún teniendo diagonal espacial de longitud entera no cumplen alguna de las propiedades de las cajas de Euler. Por ejemplo, (672,153,104) tiene lados y diagonal espacial enteras, pero la diagonal de una de sus caras no lo es.
Así que ya tenemos otro reto más: encontrar un cuboide perfecto o demostrar que no es posible encontrarlo.
Fuentes:
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La diagonal espacial es: D² = a² + b² + c² Las diagonales de las caras: x² = a² + b² y² = a² + c² z² = b² + c² por tanto tenemos que: D² = x² + c² = y² + b² = z² + a² Sumando estas tres formas de representar D², obtenemos: 3D² = x² + y² + z² + a² + b² + c² = = x² + y² + z² + D² es decir: 2D² = x² + y² + z² de modo que, si no me he equivocado, la suma de los cuadrados… Lee más »
Si tenemos en cuenta que: x = sqrt(a² + b²) y = sqrt(a² + c²) z = sqrt(b² + c²) entonces como x,y,z son enteros: [sqrt(a² + b²) + sqrt(a² + c²)] es entero. «Sacando» el a² de las dos raíces: a[sqrt(1 + b²/a²) + sqrt(1 + c²/a²)] también debe ser entero… Aquí tengo la duda de si la suma de esas dos raíces tiene que ser necesariamente un número entero… lo que sí tengo claro es que debe ser racional. Elevando al cuadrado dicha suma llegamos a la expresión: 2 + + [(b² + c²)/a²] + + (1/a²)sqrt[a²a² +… Lee más »
Vaya, ahora tengo mis dudas… ¿existe algún número entero cuya raíz sea un número racional no entero? En mi afirmación anterior supuse que NO existe tal número…
Si la afirmación anterior es cierta, tendríamos que:
(bD, ac, K’) y (cD, ab, K») también son ternas pitagóricas.
Parece que hoy no pasa nadie por aquí… snif snif. A ver, me he dado cuenta de una cosa muy curiosa… como decía en el primer comentario: La diagonal espacial es: D² = a² + b² + c² Las diagonales de las caras: x² = a² + b² y² = a² + c² z² = b² + c² por tanto tenemos que: D² = x² + c² = y² + b² = z² + a² Sumando estas tres formas de representar D², obtenemos: 3D² = x² + y² + z² + a² + b² + c² = = x² +… Lee más »
Vaya mimetist, te veo activo con el tema. Ahora no me da tiempo a echarle un ojo al tema, luego si tengo un rato lo miro. Y a ver si pasa alguien más por aquí hoy y continúa con tu razonamiento.
Por cierto, sería un punto que hubieras demostrado el tema 😀
Bueno, siento ser yo quien te diga que no has descubierto el teorema…:)
El error esta en el paso
>
Pues tu en la ecuacion 2D² = x² + y² + z² has sustituido x= a² + b², y= a² + c², z= b² + c².
Pero esas ecuaciones no eran correctas, las correctas eran
x² = a² + b²
y² = a² + c²
z² = b² + c²
Salud!
Por si sirve de algo:
D^2=a^2+b^2+c^2
si a, b, c es una terna pitagórica (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) entonces
D^2=4p^2q^2+…
D^2= 2(p^4+q^4+2p^2q^2)
D^2= 2*(p^2+q^2)^2 y esto es imposible
Tambien es conocido como el problema del ladrillo.
Un saludo
Ap2
Ups, menuda metedura de pata!! Gracias Edmond!!
La caja de Euler…
[c&p] Una caja de Euler (Euler Brick en inglés) es un cuboide que cumple que sus tres lados y las tres diagonales de sus caras son números enteros. La más pequeña conocida fue descubierta por Paul Halcke en 1719 y es la que cumple que las longi…
ap2, no veo tu razonamiento. Si los lados de la caja son a, b y c … no existe ningún motivo por el cual los tres lados tengan que formar una terna pitagórica entre ellos. Para obtener un cuboide perfecto, las ternas son entre dos lados y una diagonal superficial (cualquier combinación entre ellas que forme un triángulo) y además también tiene que ser ternas pitagóricas la combinación diagonal-espacial, diagonal-superficial, lado De hecho, es fácil demostrar que si a,b,c (los lados de la caja) forman una terna pitagórica, entonces la diagonal espacial es un número irracional (la diagonal espacial sería… Lee más »
mimetist, he estado pensando sobre tu planteamiento y aunque he avanzado en algunos aspectos, he sido incapaz de llegar a alguna contradicción que refute la existencia del cuboide perfecto. De hecho, he podido demostrar que es imposible demostrarlo basándonos en la condición par-impar de sus aristas y sus diagonales. Aunque lo que he hecho no sirve para el objetivo del problema (demostrar que es imposible tal cuboide perfecto) lo publicaré por si te sirve de algo: 1ª Cuestión: «O bien todas las diagonales son números pares, o bien hay dos diagonales impares» también puede ser expuesto como «O bien todos… Lee más »
Muy interesante, Nexus7. Por supuesto estoy interesado en esa demostración, seguramente los demás también agradecerán que la publiques… pero si es muy muy larga nos conformamos con que nos indiques el camino 🙂 Mi planteamiento en realidad era una pseudo-improvisación para ver por dónde atacar el problema… me pareció curioso el dato de las diagonales pares o impares (luego comprobé que en Wikipedia también daban ese dato). Quizá una buena forma de seguir investigando sea la relación de las ternas: (aD, bc, K), (bD, ac, K’) y (cD, ab, K») donde K, K’ y K» son números enteros. En este… Lee más »
Veamos otra cosilla curiosa que se me ha ocurrido: Según el post de las ternas pitagóricas, una terna (r s t) = (2pq, p²-q², p²+q²) es decir: r = 2pq donde p y q son enteros primos entre sí con p mayor que q. Sabemos que, según la notación de mis comentarios anteriores, (a, b, x), (a, c, y), (b, c, z) son ternas pitagóricas. No podemos afirmar con seguridad que, por ejemplo, a = 2pq porque esas ternas no tienen porqué estar «ordenadas», pero sabemos que las diagonales x,y,z son siempre el último término: p²+q² Entonces según esas ternas… Lee más »
No sé si me ha quedado tan claro como debería… básicamente he demostrado (salvo error) que si un lado es impar, los otros dos son necesariamente pares por las propiedades de las ternas pitagóricas. Lo cual entraría en contradicción con los tres resultados siguientes: (1)»O bien todas las diagonales son pares, o bien hay dos diagonales impares». (demostrado en el primer comentario) (2)»«todas las diagonales pares» implica «todos los lados pares», y «dos diagonales impares» implica «dos lados impares»» (3)»Si existe un cuboide perfecto con todos sus lados pares, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior con dos lados… Lee más »
mimetist, la primera cuestión que puse contiene un error. No es de razonamiento, sino que surge como consecuencia de haber malinterpretado tu demostración sobre la paridad de las diagonales. En tu demostración afirmas (correctamente) que 2D² es par, pero yo lo malinterpreté y en mi razonamiento presupuse (erróneamente) que D² era par y que por lo tanto D también era par. Lo que yo dije: Partimos de: x² = a² + b²; y² = a² + c²; z² = b² + c² Que al combinarlas con D² = a² + b² + c² obtenemos: D² = x² + c²; D²… Lee más »
Bueno, lo prometido es deuda. Que sus tres lados sean pares es un caso particular del caso más genérico en el que los tres lados tengan un m.c.d. (máximo común divisor) mayor que 1 (si los tres son pares, entonces m.c.d.=2k), por lo que expondré la demostración para cualquier mcd. Teorema: «Si existe un cuboide perfecto de lados a,b,c tal que m.c.d.(a,b,c)>1, entonces existe un cuboide perfecto semejante al anterior tal que m.c.d.(a’,b’,c’)=1» Llamaré d al máximo común divisor de (a,b,c) Con geometría es fácil pues una vez construído el cuboide perfecto a escala 1cm:1 solo precisaría decir que cambiamos… Lee más »
Donde pone:
[Como (a,b,X) es una terna pitagórica] implica (lema1) [(a/d,b/d,Z/d)=(a’,b’,X’) también es una terna pitagórica.
Debería poner:
[Como (a,b,X) es una terna pitagórica] implica (lema1) [(a/d,b/d,X/d)=(a’,b’,X’) también es una terna pitagórica.
A ver, a: a2+b2=c2 podemos escribirlo como: (a,b,c)2p2+(a,b,c)2q2=(a,b,c)2r2 (siendo a=(a,b,c)p, b=(a,b,c)q, c=(a,b,c)r) Luego de simplificar se obtiene la terna pitagórica con mcd=1 entre sus componentes. Extendiendo el pensamiento se debe obtener una terna q responda a una caja de Euler con mcd=1 entre sus elementos. Me parece q es una demostración un poco mas simple y «visual» de lo posteado por Nexus7 Igual en gral. se q mi pensamiento va a sonar poco pincha globo, pero creo q la probabilidad de resolver una conjetura de un genio como euler, y q muchos otros genios en muchos años no la resolvieron,… Lee más »
Yo personalmente sé que resolver esta cuestión es prácticamente imposible; de hecho, cuando creí haberlo hecho supe inmediatamente que estaba equivocado y que debía irme a dormir. Pero existen tres cuestiones muy importantes que me llevan a «intentarlo». 1ª Me parece divertido. He disfrutado mucho llegando a la conclusión que si existe algún cuboide perfecto, entonces existe un cuboide cuya diagonal espacial es impar, tiene dos diagonales impares y otra par, y tiene dos lados pares y otro impar. Y aplicando el razonamiento del negando niego, si se puede demostrar que esa combinación es imposible entonces se habrá demostrado que… Lee más »
Gaussianos » La caja de Euler…
Para los que os guste las matematicas…….
Otra manera de verlo:
Demostrar que no existe un cuboide perfecto es equivalente a demostrar lo siguiente:
«Es imposible encontrar 3 triángulos rectángulos con la misma hipotenusa, y que además todos los lados sean enteros»
o
«Es imposible encontrar seis números enteros diferentes tal que A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2»
Las ternas no tienene que ser ternas primitivas. Partiendo de tres ternas cualquiera (3,4,5; 5,12,13; 8,15,17) podemos obtener un contraejemplo a tu proposición.
mínimo común múltiplo de (5,13,17)= 1020. Por lo tanto 1.020 es la hipotenusa de tres triángulos rectángulos donde todos los lados son enteros.
(3*12*17)²+(4*12*17)² = (5*5*17)²+(12*5*17)² = (8*5*13)²+(15*5*13)²
Perdón, al postear se me fue la hoya y utilicé 12 en algunos sitios donde debería haber utilizado el 13.
mínimo común múltiplo de (5,13,17)= 1105. Por lo tanto 1.105 es la hipotenusa de tres triángulos rectángulos donde todos los lados son enteros.
(3*13*17)²+(4*12*17)² = (5*5*17)²+(12*5*17)² = (8*5*13)²+(15*5*13)²
Sabía yo que esto pasaría…
se me olvidó añadir que A y B, C y D, E y F tienen que ser coprimos entre sí…
sorry
y gracias por tu interés en mi proposición!
Bueno, pues mi mejor argumento es un ejemplo:
1073, 264, 1105
943, 576, 1105
817, 744, 1105
(¿se nota mucho que he empleado la fuerza bruta y todavía no he encontrado un ejemplo de cuboide perfecto?)
Gracias por el contraejemplo…
otro camino menos por el que seguir jeje
He simplificado el dibujo de «lo que hay que encontrar». Para empezar «diseccionamos» la caja perfecta dividiéndola usando el plano que contiene a D y a X. Eso nos deja con una «Rampa perfecta» que podemos «desdoblar» en un mismo plano así: Rampa perfecta A partir de la rampa (montada) podemos «recortarla» siguiendo el plano que contiene a D y a Y, de ese modo nos quedará una pirámide cuya base es un rectángulo de lados c,b con diagonal Z. Dicha pirámide podemos dividirla de nuevo, esta vez usando el plano que contiene D y «a», obteniendo las siguientes figuras:… Lee más »
Ups, pequeña errata en las últimas ecuaciones. Quería decir:
b = sqrt((1/2)(x² + r)) – k
c = sqrt((1/2)(y² + s)) – k
(donde esas k son, respectivamente: r/2 y s/2)
Salu2! 🙂
Me encanta el interés que habéis mostrado por el tema. Si yo tuviera tiempo me uniría, pero es que estoy muy pillado ahora con los exámenes de mis alumnos.
mimetist dale caña, yo me leo todos los comentarios con atención y seguro que hay mucha más gente que también lo hace.
Seguid así, sería un exitazo llegar a algo en un problema abierto como éste.
Pues ya que las aportaciones no caen en saco roto … Aunque lo parezca, la cuestión no trata de números enteros sino de números racionales. Teorema1 Si existe un cuboide con aristas y diagonales racionales, entonces existe un cuboide semejante al anterior con todas sus aristas y diagonales enteros La demostración es trivial, se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de todos los denominadores y se multiplican todos los lados y diagonales por dicho número; como todo racional multiplicado por un múltiplo de su denominador es un entero … todos los lados y diagonales del nuevo cuboide serán números enteros.… Lee más »
Esa es una de las cosas curiosas que había deducido de la «estructura» de la base de la pirámide… el seno y el coseno de cada ángulo debe ser racional. Además sabemos que los ángulos no pueden ser iguales por contradicción con poder formar triángulos pitagóricos: (Demostración) x² = k² + k² = 2k² x = k*sqrt(2) sqrt(2) = x/k lo que es imposible para x,k racionales. Por tanto, como los dos ángulos no son iguales, uno de ellos es menor… por tanto el valor máximo del ángulo pequeño es PI/4. Llamemos los ángulos de la siguiente manera: A =… Lee más »
Ups, ya he visto el error.
No es cierto que senA = senF, sino xsenA = DsenF
Ay, qué poco dura la felicidad…
teorema:no exsiste el cuboide perfecto.
demostracion:
supongamos que existe al menos un cuboide perfecto entonces podemos tener las relaciones entre enteros:
d^2=a^2+b^2+c^2 sii 2d^2=a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2..(hp)
como (a,b,m),(a,c,n),(b,c,p) son ternas pitagoricas entonces m^2,n^2,p^2 son imapares
en (hp) par=impar(absurdo)
por lo tanto no existe el cuboide perfecto.
discipulodegauss.
no entiendo porqué m^2,n^2,p^2 deben ser imapares. Una será par y las otras dos impares.
Las ternas deben ser pitagóricas, pero no tienen porqué ser ternas pitagorias primitivas (6,8,10 es una terna pitagorica -no primitiva- y no es forzoso que la diagonal sea impar)
sip teneis razon
cuando el bachillerato escuche hablar de la caja de euler pero nunca habia leido todabia sobre ella. quusiera que me mandara muhca mas informacion a mi correo, ya que me intereso demaciado
Me ha parecido interesante el tema, vamos que me
he puesto ha echar números y creo obtuve un plantemiento interesante para el problema de la caja de Euler que podría extrapolarse para el cuboide perfecto.
Pondré un resumencillo:
Buscamos un cubo que cumpla:
a^2 + b^2 = x^2
a^2 + c^2 = y^2
b^2 + c^2 = z^2 …Cuadrados perfectos
Y supondré siempre a>b>c
Un cuadrado perfecto se puede poner de la
forma (akí E significa sumatorio):
(n)E n = n*n = n^2
(Sería sumatorio i=1,..,n de n)…
sigo en el siguiente post
.. a ver, empezemos por la expresion
a^2 + b^2 = x^2
(a)Ea + (b)Eb = (x)Ex
(a)E[a+b] + (a+1 .. b)Eb = (x)Ex
opps bueno sigo.
mi x^2 estará entre a^2 y (a+b)^2
Ahora veamos los cuadrados perfectos:
1
2*2=2+2=4
3*3=3+3+3=9
4*4=4+4+4+4=16
Un entero n y el siguiente tienen cuadrados
que se diferencian en
(2*(n+1)-1)
Entonces puedo escribir la expresión anterior:
(a)Ea + (n’)E[2*(a+i)-1]=a^2 + b^2
Que simplificando y generalizando a las otras me lleva a
(n’)E[2*(a+i)-1]=b^2
(n»)E[2*(a+i)-1]=c^2
(n»’)E[2*(b+i)-1]=c^2
Que serían las ecuaciones a resolver para el problema de Euler.
En el siguiente post añado algunas cosas útiles que saqué
pude avanzar un poco operando para sumar las series, esto es: (n’)E[2*(a+i)-1]= … =(2a-1)*(n’)+(n’)(1+n’) Que al final me deja el sistema de la forma n'(2a+n’)=b^2 n»(2a+n»)=c^2 n»'(2a+n»’)=c^2 Hasta donde llegué, se llegá a la misma expresión de forma mucho más rápida planteando la cosa así: a^2 + b^2 = (a+n’)^2 a^2 + c^2 = (a+n»)^2 b^2 + c^2 = (b+n»’)^2 .. y operar un poco con n’,n»,n»’ enteros es decir que x^2 …etc son cuadrados perfectos n’ .. etc ordenes mayores que a … Esto confirma que el planteamiento anterior es correcto. No pude seguir analíticamente y llegar a la… Lee más »
Por favor alguien puede ayudarme con la demostración matemática de cómo se llegó a obtener la solución de la caja de euler, en la que las diagonales de las caras son números enteros
hola DiAmOnD encontre una solucion parametrica a la caja perfecta y pido tu permiso para postearlo,espero tu pronta respuesta.
discipulodegauss permiso concecido, pero vamos, no hacía falta que lo pidieras :D.
Bueno tal vez este loco de tanto pensar e intentos frustrados y ya no diferencio bien las cosas por eso os dejare las magnitudes del primer cuboide perfecto que halle para que os comprobais y espero tu respuesta.
a=18063674500.
b=26927216640.
c=19702603900.
bueno que decis?
Estais tardando mucho………………………..
discipulodegauss, ¿lo has comprobado? Porque a mí no me dan números enteros. Yo he probado con la diagonal de una de las caras y con la diagonal espacial y no salen números enteros. Échale un ojo.
sabes no confio en estos aparatos lo hare manualmente y te aviso.
ouw al hacer cumplir la ultima condicion dejo de cumplirse la penultima ahi esta el error …..pero basta por ahora y perdonen por la falsa.