Varignon, Thébault y Van Aubel: inesperado orden en cuadriláteros caóticos

Hay pocas cosas en matemáticas que puedan sorprender más que un resultado geométrico inesperado, de esos que «se ven», que «no necesitan demostración», de esos que nunca se nos hubieran ocurrido, y que al conocerlos nos parecen imposibles, pero que luego no podemos más que aceptar después de un simple vistazo.

El teorema de Van Aubel es uno de ello. Si alguien no ha leído este post le invito a que lo haga, seguro que le gustará, a la vez que le sorprenderá. Seguro que pasará de un «no puede ser» a un «vaya, pues sí» simplemente echando un vistazo al applet de GeoGebra que aparece (y si se lee la demostración mucho mejor). Es lo que suele ocurrir. Uno comienza diciendo algo sí como «¿en un cuadrilátero cualquiera? ¿da igual qué forma exacta tenga?» y acaba rindiéndose a la evidencia.

Pero Van Aubel no está solo en este mundo de los teoremas geométricos inesperados, ni mucho menos. Hay unos cuantos resultados más que sorprenden por la inesperada armonía que presentan partiendo de una situación relativamente caótica. Por ejemplo, el desafío que propuse por el Centenario de la RSME, muy relacionado con Van Aubel (aquí podéis ver mi solución). Hoy vamos a ver dos más.

El teorema de Thébault

Este teorema no parte de una situación totalmente caótica (como en Van Aubel, en donde se comienza con un cuadrilátero cualquiera), sino que se empieza con un caos relativo. Pero, por otra parte, obtenemos como resultado un orden completo. Veamos su enunciado para comprender bien todo esto:

Teorema de Thébault: Dado un paralelogramo cualquiera (cuadrilátero con dos parejas de lados paralelos, por lo que tiene sus ángulos opuestos iguales), apoyemos en cada uno de sus lados un cuadrado y representemos los centros de cada uno de ellos (los puntos de corte de las diagonales). Entonces, el cuadrilátero que tiene como vértices a los cuatro centros de los cuatro cuadrados es también un cuadrado.

Sí, es siempre un cuadrado, independientemente del paralelogramo con el que comencemos. Inesperado, ¿verdad? Bueno, quizás no tanto, ya que si uno mira con ojos geométricos (y se ha leído el post que enlacé en los comienzos de esta entrada) verá que este teorema de Thébault no es más que un caso particular del teorema de Van Aubel (os dejo que penséis el porqué).

Decíamos al comienzo que lo interesante es verlo con nuestros propios ojos, ¿no? Pues ahí GeoGebra no tiene rival. Con vosotros el teorema de Thébault en un applet de GeoGebra:

Como podéis ver el polígono resultante es un cuadrado para el caso en el que los cuadrados se dibujan externos al paralelogramo inicial…y también para el caso en el que se dibujan de forma interna. Me encanta.

Debemos la proposición de este teorema al matemático francés Victor Thébault (1882-1960), que propuso otros dos interesantes teoremas geométricos más cuyos enunciados podéis ver aquí.

El teorema de Varignon

En este caso sí que vamos a partir de la situación más caótica posible en lo que a polígonos de cuatro lados se refiere: un cuadrilátero cualquiera. ¿Cualquiera? Sí, cualquiera. Pero tendrá que ser convexo al menos, ¿no? Pues no, puede ser no convexo. Hemos dicho un cuadrilátero cualquiera. Esta libertad inicial va a suponer que no obtengamos un orden completo al final, pero el resultado al que se lleva también es inesperado. Veamos el enunciado:

Teorema de Varignon: Dado un cuadrilátero cualquiera, representemos los puntos medios de casa uno de sus lados. Entonces el cuadrilátero cuyos lados unen los puntos medios de cada dos lados consecutivos de es un paralelogramo.

Nada, otro que quiere darle orden al caos…partimos de un cuadrilátero cualquiera, todo lo raro, deformado o caótico que podáis pensar, y con sus puntos medios obtenemos un paralelogramo, que no es que represente el «orden total», pero sí que tiene bastante más regularidad que el inicial.

¿Quieres verlo en un applet de GeoGebra? Tus deseos son órdenes:

Este interesante resultado geométrico se debe a Pierre Varignon, matemático francés de los siglos XVII y XVIII (1654-1722). En este enlace tenéis una sencillísima a la par que maravillosa demostración del mismo.

Pero el teorema no se queda ahí, dice más cosas. Por ejemplo dice que si el cuadrilátero inicial no se corta a si mismo (moviendo los vértices de ese cuadrilátero podríamos conseguir una figura que se corta a si misma) entonces el área del paralelogramo obtenido por el teorema es la mitad del área del cuadrilátero inicial. Y más cosas que dejo que descubráis vosotros (y que, si lo veis conveniente, lo comentéis).

Hay muchos más resultados geométricos con una conclusión inesperada y muy visual. Esta entrada pretendía recordaros uno (Van Aubel) y presentaros dos de los que no habíamos hablado por aquí (Varignon y Thébault), y seguro que en los próximos tiempos habrá más ejemplos comentados por aquí. Si conocéis alguno que cumpla estas características y que os guste especialmente no tenéis más que comentarlo.