Uno de los motivos fundamentales por el que problemas de formulación elemental en teoría de números puedan ser tan difíciles de resolver es la interacción entre la suma y la multiplicación. Si miramos a los números naturales desde un punto de vista puramente aditivo, todos los números se obtienen sin más que sumar 1 tantas veces como haga falta. Si los miramos desde el punto de vista de la multiplicación, el teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo natural se escribe de manera única como producto de primos.

Sin embargo, resulta muy complicado saber qué pasa con la factorización en primos de la suma de dos números, aunque sepamos las factorizaciones de ambos. Es por esto que cualquier resultado en teoría de números que nos ayude a relacionar la estructura aditiva con la multiplicativa suele tener consecuencias tremendas a la hora de resolver problemas.

Hoy quiero poneros un ejemplo de esto, mostrando cómo un resultado de aspecto inocente puede ayudarnos a resolver problemas tan conocidos como el último teorema de Fermat. En concreto vamos a hablar de la conjetura ABC.

Antes de formular la conjetura necesitamos introducir la noción de radical de un número natural. Por el teorema fundamental de la aritmética sabemos que todo número natural n puede escribirse como producto de primos

n = p_1^{e_1}p_2^{e_2} \dotsm p_r^{e_r}

Definimos entonces el radical de n como el número

rad(n) := p_1p_2 \dotsm p_r

es decir, el producto de los primos que aparecen en la factorización de n (todos ellos con exponentes 1). Por ejemplo, como 72 = 2^3 \cdot 3^2 entonces rad(72) = 2 \cdot 3 = 6. Algunas propiedades elementales del radical son las siguientes:

  • rad(n) es un divisor de n. En particular, rad(n) \leq n.
  • rad(n^k) = rad(n)
  • Si m y n son primos relativos, entonces rad(mn) = rad(m)rad(n). En general, para enteros cualesquiera m y n se tiene que rad(mn) \leq rad(m)rad(n).
  • n es libre de cuadrados si y sólo si n = rad(n).

Supongamos ahora que tenemos tres enteros positivos a,b y c, primos relativos, tales que a + b = c, y tratemos de comparar el valor de c con el del radical del producto abc. Observemos primero algunos ejemplos:

  • a=3,b=5,c=8, entonces rad(abc) = rad(3 \cdot 5 \cdot 8 ) = 30
  • a=2,b=3,c=5, entonces rad(abc) = rad(2 \cdot 3 \cdot 5) = 30
  • a=11,b=21,c=32, entonces rad(abc) = rad(11 \cdot 21 \cdot 32) = 11*3*7*2 = 462

Observamos que en todos los casos el radical del producto abc es mayor que c. ¿Será que esta desigualdad es siempre cierta? Desgraciadamente éste no es el caso, puesto que podemos encontrar infinitos contraejemplos de la forma a=1,b= 2^{6n}-1,c= 2^{6n}, donde n es un entero positivo.

Para ver que estos números nos dan contraejemplos para todo n necesitamos un pequeño resultado previo, que os dejo como ejercicio:

Si k divide a n, entonces 2^k -1 divide a 2^n - 1

Asumiendo el resultado propuesto, en nuestro caso tenemos que 63 = 2^6 - 1 es un divisor de b, por lo que en particular 9 divide a b, y podemos escribir b = 9b^\prime. Si calculamos entonces el radical de abc nos queda (usando algunas de las propiedades de arriba):

\begin{matrix} rad(abc) = rad(a)rad(b)rad(c) = rad(1)rad(b)rad(2^{6n}) = \\ \\ = 2 rad(9b^\prime) \leq 2*rad(9)*rad(b^\prime) = 2*3*rad(b^\prime) \leq 2*3*b^\prime = 2 *3 * \frac{b}{9} \leq \frac{2}{3} c < c \end{matrix}

Sin embargo, Oesterlé y Masser

Joseph Oesterlé y David Masser

(Imágenes tomadas de aquí y aquí)

observaron en 1985 que si elevamos el radical a una potencia superior a 1, entonces parecían existir tan sólo una cantidad finita de triples a,b,c que no cumplen la desigualdad, dando lugar a la llamada Conjetura ABC:

Conjetura ABC: Para cada \varepsilon > 0 sólo existen una cantidad finita de enteros positivos, a,b,c, primos relativos, tales que a+b = c y verificando la desigualdad c > rad(abc)^{1+\varepsilon}.

Para evitar tener que tratar con el número finito de contraejemplos, la conjetura puede reformularse en términos equivalentes como sigue:

Conjetura ABC: Para cada \varepsilon > 0 existe una constante K_\varepsilon tal que para toda terna a,b,c de primos relativos tales que a+b = c se tiene c < K_\varepsilon rad(abc)^{1+\varepsilon}.

A día de hoy, la conjetura ABC sigue sin haberse demostrado.

Demostración del UTF a partir de ABC

Pero, ¿cuál es el interés de la conjetura ABC? Como decíamos más arriba, cualquier resultado que nos diga algo acerca de los factores primos de la suma de dos números suele tener consecuencias importantes.

Para ilustrar estas consecuencias vamos a demostrar el UTF para exponentes grandes. Supongamos que la conjetura ABC es cierta en el caso particular \varepsilon = 1, y supongamos además (por simplificar lo que sigue, pero esta suposición no es absolutamente necesaria) que la constante K_\varepsilon tiene en este caso el valor 1, esto es, supongamos que para cualesquiera a,b,c coprimos y verificando a+b = c se tiene la desigualdad c < rad(abc)^2.

Supongamos ahora que tenemos enteros positivos x < y < z, primos entre si, tales que x^n + y^n = z^n, esto es, que tenemos un contraejemplo al último teorema de Fermat. Tomemos entonces a= x^n, b= y^n, c = z^n. Aplicando el caso particular de la conjetura ABC de arriba, obtenemos z^n < rad(x^ny^nz^n)^2 = rad(xyz)^2 \leq (xyz)^2 \leq z^6, y puesto que z es un entero positivo se deduce que n < 6, esto es, el último teorema de Fermat debe ser cierto para exponentes n mayores a 5, por lo que sólo necesitaríamos demostrar por separado los casos n=3,4,5.

Alguno podría pensar que esperar la igualdad K_1 = 1 es demasiado fuerte, pero a efectos prácticos es irrelevante. Puesto que para cualquier contraejemplo del UTF tendremos x < y < z, necesariamente z \geq 4; puesto que K_1 es constante debe existir algún valor n_0 tal que K_1 < 4^{n_0} \leq z^{n_0}, y la conjetura ABC nos da

z^n < K_1 rad(x^ny^nz^n)^2 \leq z^{n_0}z^6 = z^{n_0+6}

lo que demostraría el UTF para todo exponente mayor a n_0 + 6. También es sencillo ver que podríamos haber usado cualquier otro valor de \varepsilon en nuestra demostración.

Evidentemente, para poder completar una demostración usando esta estrategia sería necesario hacer una estimación de K_\varepsilon y demostrar independientemente los casos que nuestra demostración deja sin cubrir, pero si demostramos la conjetura ABC sólo sería necesario demostrar el UTF para una cantidad finita de exponentes.

Este post es una colaboración de vengoroso, que además sirve como tercera aportación de Gaussianos a la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, que este mismo blog aloja.

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