Uno de los motivos fundamentales por el que problemas de formulación elemental en teoría de números puedan ser tan difíciles de resolver es la interacción entre la suma y la multiplicación. Si miramos a los números naturales desde un punto de vista puramente aditivo, todos los números se obtienen sin más que sumar 1 tantas veces como haga falta. Si los miramos desde el punto de vista de la multiplicación, el teorema fundamental de la aritmética nos dice que todo natural se escribe de manera única como producto de primos.
Sin embargo, resulta muy complicado saber qué pasa con la factorización en primos de la suma de dos números, aunque sepamos las factorizaciones de ambos. Es por esto que cualquier resultado en teoría de números que nos ayude a relacionar la estructura aditiva con la multiplicativa suele tener consecuencias tremendas a la hora de resolver problemas.
Hoy quiero poneros un ejemplo de esto, mostrando cómo un resultado de aspecto inocente puede ayudarnos a resolver problemas tan conocidos como el último teorema de Fermat. En concreto vamos a hablar de la conjetura ABC.
Antes de formular la conjetura necesitamos introducir la noción de radical de un número natural. Por el teorema fundamental de la aritmética sabemos que todo número natural puede escribirse como producto de primos
Definimos entonces el radical de como el número
es decir, el producto de los primos que aparecen en la factorización de (todos ellos con exponentes 1). Por ejemplo, como
entonces
. Algunas propiedades elementales del radical son las siguientes:
es un divisor de
. En particular,
.
- Si
y
son primos relativos, entonces
. En general, para enteros cualesquiera
y
se tiene que
.
es libre de cuadrados si y sólo si
.
Supongamos ahora que tenemos tres enteros positivos y
, primos relativos, tales que
, y tratemos de comparar el valor de
con el del radical del producto
. Observemos primero algunos ejemplos:
, entonces
, entonces
, entonces
Observamos que en todos los casos el radical del producto es mayor que
. ¿Será que esta desigualdad es siempre cierta? Desgraciadamente éste no es el caso, puesto que podemos encontrar infinitos contraejemplos de la forma
, donde
es un entero positivo.
Para ver que estos números nos dan contraejemplos para todo necesitamos un pequeño resultado previo, que os dejo como ejercicio:
Si
divide a
, entonces
divide a
Asumiendo el resultado propuesto, en nuestro caso tenemos que es un divisor de
, por lo que en particular
divide a
, y podemos escribir
. Si calculamos entonces el radical de
nos queda (usando algunas de las propiedades de arriba):
Sin embargo, Oesterlé y Masser
observaron en 1985 que si elevamos el radical a una potencia superior a , entonces parecían existir tan sólo una cantidad finita de triples
que no cumplen la desigualdad, dando lugar a la llamada Conjetura ABC:
Conjetura ABC: Para cada
sólo existen una cantidad finita de enteros positivos,
, primos relativos, tales que
y verificando la desigualdad
Para evitar tener que tratar con el número finito de contraejemplos, la conjetura puede reformularse en términos equivalentes como sigue:
Conjetura ABC: Para cada
existe una constante
tal que para toda terna
de primos relativos tales que
se tiene
A día de hoy, la conjetura ABC sigue sin haberse demostrado.
Demostración del UTF a partir de ABC
Pero, ¿cuál es el interés de la conjetura ABC? Como decíamos más arriba, cualquier resultado que nos diga algo acerca de los factores primos de la suma de dos números suele tener consecuencias importantes.
Para ilustrar estas consecuencias vamos a demostrar el UTF para exponentes grandes. Supongamos que la conjetura ABC es cierta en el caso particular , y supongamos además (por simplificar lo que sigue, pero esta suposición no es absolutamente necesaria) que la constante
tiene en este caso el valor 1, esto es, supongamos que para cualesquiera
coprimos y verificando
se tiene la desigualdad
.
Supongamos ahora que tenemos enteros positivos , primos entre si, tales que
, esto es, que tenemos un contraejemplo al último teorema de Fermat. Tomemos entonces
. Aplicando el caso particular de la conjetura ABC de arriba, obtenemos
, y puesto que
es un entero positivo se deduce que
, esto es, el último teorema de Fermat debe ser cierto para exponentes
mayores a 5, por lo que sólo necesitaríamos demostrar por separado los casos
.
Alguno podría pensar que esperar la igualdad es demasiado fuerte, pero a efectos prácticos es irrelevante. Puesto que para cualquier contraejemplo del UTF tendremos
, necesariamente
; puesto que
es constante debe existir algún valor
tal que
, y la conjetura ABC nos da
lo que demostraría el UTF para todo exponente mayor a . También es sencillo ver que podríamos haber usado cualquier otro valor de
en nuestra demostración.
Evidentemente, para poder completar una demostración usando esta estrategia sería necesario hacer una estimación de y demostrar independientemente los casos que nuestra demostración deja sin cubrir, pero si demostramos la conjetura ABC sólo sería necesario demostrar el UTF para una cantidad finita de exponentes.
Este post es una colaboración de vengoroso, que además sirve como tercera aportación de Gaussianos a la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, que este mismo blog aloja.
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Muy curioso y muy bien explicado. También sería interesante saber qué perspectivas hay entre los especialistas de obtener una prueba de la conjetura ABC.
Sin ser un especialista en el tema, diría que no hay muchas perspectivas. La conjetura abc no sólo implica el teorema de Fermat, sino muchos otros resultados como la conjetura de Mordell (teorema de Faltings), la conjetura de Fermat-Catalan (¿creo que esta apareció por aquí como conjetura de Belal?), resultados de aproximación diofántina, la conjetura de Erdös-Woods… mucha tela 🙂 Hay resultados análogos a la conjetura ABC en otros contextos (por ejemplo para polinomios con coeficientes en un cuerpo), pero ninguno parece trasladarse al caso entero. Por ejemplo la demostración para polinomios funciona también tomando , así que no hay… Lee más »
[…] Y yo, desde Gaussianos, os traje el post La conjetura ABC y el último teorema de Fermat. […]
Hay un rumor circulando por ahí de que Mochizuki podría tener lista una demostración de la conjetura ABC:
http://sbseminar.wordpress.com/2012/06/12/abc-conjecture-rumor-2/
Me temo que no comprendo los detalles de su «teoría de Techmüller inter-universal» para evaluar el enfoque, pero algunos de mis compañeros que lo conocen en persona dicen que es un programa de trabajo serio. Daré noticias si me entero de algo más.
[…] la Universidad de Kyoto, estaba cerca de publicar una posible demostración de la veracidad de la conjetura ABC, un importantísimo problema no resuelto de teoría de números. Pues bien, ese momento ha llegado. […]
[…] principio, llevaba a fin uno de los problemas más importantes de la teoría de números (la ‘Conjetura abc‘), es […]
Interesante. Aparte de wikipedia leí otros artículos, incluyendo unos acerca del teorema de femat, tratando de encontrar a dónde quieren llegar con la demostración de la conjetura. Y no. No encontré nada. Seguramente al igual que la filosofía, que dicen no es sirvienta de nadie, eso tampoco servirá para nada. Lo dudo, sin embargo, porque comprendo la importancia que las matemáticas tienen en todo nuestro entorno. Entonces, con palabras para un simple mortal, ¿Podría usted hacerme el favor de decirme para qué servirá demostrar la conjetura abc?
Gracias de antemano.
Para a=3, b=5, c=8 rad(3*5*8) =120 ; disculpa que subraye el error.
Está bien el texto, el 8 es 2^3, entonces para el radical el 2 aparece una vez sola. No temas a equivocarte. Saludos
Lo que pasa es que 8=2^3 y solamente tomamos el numero primo 2 sin subirlo a la potencia 3 (por definicion de radical), asi que queda rad(3*5*8)=3*5*2=30