Creo que no desvelo ningún secreto si señalo la estrecha relación que existe entre la arquitectura y las matemáticas, tanto si hablamos de la estructura de los edificios en los que vivimos (que pueden ser tan «simples como los edificios más habituales de nuestras ciudades o tan complejos y curiosos como los módulos de Bofill y Blom) como de la de otro tipo de construcciones (como el edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de los Juegos Olímpicos de Pekín de 2008).

Lo que hoy vamos a tratar es un poco distinto, ya que está relacionado con un recurso arquitectónico poco conocido pero muy utilizado por el grandísimo Antoni Gaudí. Me refiero, como dice el título de esta entrada, a los hiperboloides de Gaudí.

Sagrada FAmilia


El interesante artículo de hoy se lo debemos a Claudi Alsina, que, a petición mía, nos lo ha mandado como colaboración. Aunque pienso que Claudi no necesita presentación, voy a utilizar para ello el texto que él mismo usa para presentarse en su web:

Claudi Alsina i Català. Barcelona (Gràcia), 1952

Claudi AlsinaSoy matemático. Especialista en ecuaciones funcionales, desigualdades, lógica borrosa, espacios métricos probabilísticos, geometría de Gaudí, visualización de demostraciones sin palabras, educación matemática y divulgación.

Me licencié y doctoré en Matemáticas en la Universitat de Barcelona y cursé estudios de posgrado a la University of Massachusetts (USA).

He sido catedrático de Matemáticas en la Universitat Politècnica de Catalunya durante 33 años. He publicado más de 60 libros, más de 200 artículos de investigación y más de 200 artículos de educación y divulgación. He dirigido 16 tesis doctorales y he impartido más de 1.000 conferencias en todo el mundo.

Me encanta escribir, hacer conferencias, leer y viajar. Ir a ver espectáculos, hacer maquetas a escala 1:12 y pasar los veranos en Sant Feliu de Pallerols.

http://claudialsina.com/

Vamos, que hoy tenemos escribiendo en Gaussianos a uno de los más importantes referentes nacionales en lo que se refiere tanto a la enseñanza como a la divulgación de las matemáticas. Claudi, desde aquí te agradezco enormemente que colabores con nosotros, y además que lo hagas con un artículo tan chulo. Vamos con él.


Los hiperboloides de Gaudí

«El uso de las superficies regladas es

lógico por su superioridad plástica y

su facilidad constructiva.»

ANTONI GAUDÍ

Una de las grandes aportaciones de Gaudí a la arquitectura moderna ha sido el uso constructivo de las superficies regladas. Muchas de ellas contaban con una historia destacada en el ámbito geométrico, pero fue precisamente Gaudí el primer arquitecto que se dio cuenta de su interés arquitectónico. En este escrito veremos los sorprendentes usos gaudinianos de los hiperboloides de una hoja de revolución.

Hiperboloides de una hoja de revolución

La superficie del hiperboloide de revolución se origina a partir del giro en el espacio de las dos ramas de una hipérbola alrededor del eje de simetría que no corta la curva. Las secciones planas de los hiperboloides de revolución son pues hipérbolas y circunferencias (e incluso elipses). Pero lo sorprendente es que estas notables superficies están formadas por rectas que se apoyan entre dos circunferencias iguales y paralelas, y que unen un conjunto bien definido de puntos correspondientes entre los dos círculos. Tienen dos familias de rectas generadoras, las unas en un sentido y las otras en el contrario, y representan un caso especial entre los conos elípticos y los cilindros elípticos.

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de una hoja

Esta superficie reglada también puede describirse como el conjunto de rectas que se apoyan simultáneamente en una terna de rectas que se cruzan de dos en dos; ninguna pareja se encuentra en el mismo plano y las rectas no son todas paralelas a un mismo plano.

A nivel de ecuaciones, los hiperboloides de revolución forman parte da la conocida familia de las cuádricas, es decir, representables por polinomios de grado 2 en las tres variables x, y, z. En concreto para esta cuádrica, la ecuación reducida es:

\left (\cfrac{x}{a} \right )^2 + \left (\cfrac{y}{b} \right )^2 - \left (\cfrac{z}{c} \right )^2 = 1

El encuentro de Gaudí con los hiperboloides

Gaudí descubrió los hiperboloides en su época de estudiante, especialmente a partir de los estudios de geometría descriptiva con del texto de C. F. A. Leroy de 1855, aunque fue a raíz de su redescubrimiento experimental, trabajando con modelos y maquetas, cuando incorporó progresivamente a sus proyectos todo este repertorio reglado.

Gaudí, aficionado a las campanas, incluso incluyó en su taller un apartado para estudiarlas, observando que la parte baja de la campana era un trozo de hiperboloide. En el final de todas los instrumentos de viento (trompetas, trombones, tenoras…) también los perfiles hiperbólicos eran los adecuados para difundir el sonido en todas direcciones.

En su taller, Gaudí dispuso de un artefacto donde girando las bases se veía nacer los hiperboloides. Era enseñando este mecanismo, que siempre fascinó a Gaudí, que gustaba decir “¿no seria bonito enseñar Geometría de esta manera?”. Una invitación a experimentar en Geometría, método que siempre inspiró a Gaudí su creatividad tridimensional.

Hiperboloides en la obra de Gaudí

Gaudí incorporó el hiperboloide de una hoja en algunas columnas de una entrada del Parc Güell, en elementos del Palau Güell, en las cuadras de la Finca Güell y en la Casa Calvet, y en bóvedas o ventanales de la Sagrada Familia, siempre relacionándolo (¡sorpresa!) a la iluminación del templo.

Como las columnas de la nave central del Templo debían ser “como un bosque” en la cobertura superior de la nave y en otros puntos de luz, Gaudí tiene la genialidad de pensar que si las formas hiperbólicas difunden bien los sonidos estas mismas formas difundirán bien los rayos de luz. Así aparecen decenas de trozos de hiperboloides para ser acceso de luz.

Luz a través de trozos de hiperboloides

Otros hiperboloides edificados

Posterioemente a Gaudí, en ingenieria se han utilizado hiperboloides para edificar grandes torres de altura elevada, con gran resistencia estructural y una belleza formal innegable. Estas torres, en algunos casos decorativas, se han usado primordialmente en soportes de tanques de agua, torres de enfriamiento o chimeneas de centrales térmicas. Cabe destacar ya en 1896 el antiguo diseño del ruso Vladímir Shújov (1853-1939) en Polibino. El gran ingeniero español Eduardo Torroja estudió los hiperboloides edificó la torre de agua de Fedala y la azotea del Hipódromo de la Zarzuela. Oscar Niemeyer los usó en su Catedral de Brasilia; Alberto Toscano usó hiperboloides en sus Torres de tendido eléctrico de Cádiz.

Hiperboloides frutales

Alrededor del templo, Gaudí ideó situar en los pináculos correspondientes unas esculturas de cestos de frutas. Los cestos debían ser hiperboloides de una hoja y los frutos debían evocar todas las frutas más usuales con su forma y su colorido peculiar. Ha sido el escultor japonés Etsuro Sotoo (Fukuoka, 1953) el que ha realizado (junto a muchas otras obras) estas maravillosas esculturas.

Hiperboloides en las campanas

El interés por las campanas llevó a Gaudí, ya en 1915, a diseñar un modelo de campana tubular en forma de hiperboloide largo para ser situado dentro de las torres del templo. A partir de este modelo gaudiniano, el arquitecto, músico y constructor de instrumentos musicales Galdric Santana ha realizado una fundamental tesis doctoral. Como miembro de su tribunal de tesis tuve ocasión de estudiar este maravilloso trabajo donde se combina geometría proyectiva y métrica, organología musical y acústica, dejando sentadas las bases para el futuro diseño de 84 campanas conformando un carrillón que con su música dará un valor adicional al Templo. Posiblemente después del 2026 con el Templo ya acabado se desarrollará este proyecto complementario del carrillón.


Para saber más:

  • http://www.sagradafamilia.org
  • C. ALSINA, C. y GÓMEZ,J., Gaudí, Geométricamente, La Gaceta de la RSME, Vol. 5.3 (2002), 523-558.
  • ALSINA, C., Un templo de geometría: la Sagrada Familia en 2026, SUMA 82 (2016) 35-42.
  • ALSINA,C. y GÓMEZ,J., Geometria Gaudiniana, en GIRALT -MIRACLE, D.( (ed), Gaudí:Gaudí,en La Recerca de la Forma, ICB, Ajuntament de Barcelona, Lunwerg Editores, Barcelona (2002) 26-45.
  • FAULÍ, J., La Basílica de la Sagrada Familia, Editorial Palacios y Museos, Barcelona,2016

Esta entrada participa en la Edición X.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión aloja el blog Esto no entra en el examen.


La imagen principal está tomada de aquí y la foto de Claudi Alsina la he tomado de aquí. El resto de imágenes provienen del artículo que me envió Claudi.

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