Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 50

No podía comenzar mejor el año para las matemáticas en general y para los números primos en particular. Ayer, día 3 de enero de 2018, el grupo GIMPS anunciaba el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 50 (podéis leer aquí la nota de prensa). Este primo de Mersenne tiene nada más y nada menos que 23249425 dígitos, y se convierte en el mayor número primo conocido hasta la fecha, superando al anterior, también un primo de Mersenne (el número 49) en casi un millón de dígitos.

Este primo de Mersenne, el número 50 que se encuentra y que se designará como M_{77232917}, es el siguiente:

Este monstruo tiene más de 23 millones de dígitos. Siempre que aparecen números tan exageradamente grandes digo lo mismo, y hoy no va a ser menos. Es prácticamente imposible que nos podamos hacer una idea de las enormes dimensiones de este M_{77232917}, y voy a dejar dos datos para que lo veáis:

  • Imaginad que tenéis un millón de euros. Mucho dinero, ¿verdad? Bien, pues el número 1000000 tiene 7 dígitos…
  • Imaginad que escribís tremendamente rápido, digamos 3 dígitos por segundo. Buena velocidad, ¿verdad? Bien, pues con esa frecuencia de escritura, y sin parar en ningún momento, tardaríais casi 90 días en escribirlo entero…

Por cierto, si alguien quiere verlo podéis decargarlo aquí (es un txt comprimido en zip).

Aquí tenéis la lista completa de los primos de Mersenne. Es interesante destacar que, a día de hoy, se ha confirmado esa lista hasta el primo de Mersenne número 45. Esto significa que hasta ese número ya se sabe que no hay más primos de Mersenne entre los que se conocen. Para el resto, de 46 al 50, podría ocurrir que haya algún otro primo de Mersenne entre dos de ellos que todavía no se ha descubierto. Estaremos pendientes por si hay más novedades.

Os dejo enlaces de algunos artículos de Gaussianos relacionados con los primos de Mersenne:

Por cierto, me enteré de este nuevo descubrimiento gracias a este aviso por Twitter de @SamuelDalva. Muchas gracias compañero.


Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 50 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{77232917-1} \cdot (2^{77232917}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo (posiblemente miles de años), que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene más de 46 millones de dígitos

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Disculpe pero en el ejemplo que das 2^n -1=7
    y 7*7= 49 no 28 como lo expones la verdad no entiendo como se aplica ése producto.

    Publica una respuesta
    • Hola mileyme,2^(3-1)=2^2=4 y 2^3-1=7 entonces la multiplicación es 4*7=28

      Publica una respuesta
  2. Jeje, no es tan difícil ni hacen falta miles de años para calcular los divisores de 2^{77232917-1} \cdot (2^{77232917}-1), porque ya nos lo dan factorizado.

    Son todos los números de la forma 2^n con n<77232917, y además de estos, todos ellos multiplicados por el primo de mersene (2^{77232917}-1). Llamando M al primo de Mersene, podemos hallar la suma (que incluye al propio número, ojo):

    (2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^77232916) + (2^0·M + 2^1·M + 2^2·M + … + 2^77232916·M)

    Sacando factor comun M nos queda:

    (M+1)(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^77232916) =
    = (M+1)·(2^77232917-1) =
    = (M+1)·M =
    = 2^77232917·M =
    = 2 \cdot (2^{77232917-1}) \cdot M

    Es decir, que se trata de un número perfecto (repito, hemos incluido al propio numero en la suma, por eso da el doble).

    Publica una respuesta
    • Sive, vaya ganas de quitarle la épica al cálculo de divisores :P.

      Ya en serio, muy bueno tu argumento, es verdad que no era tan difícil :).

      Publica una respuesta
      • Estamos condenados a récords del mundo de primos de Mersenne durante los 100 próximos años, si no se descubre algo radicalmente nuevo a la hora de demostrar la primalidad.

        Publica una respuesta
        • Yo tengo números Mersenne mucho mayores que los actuales y no tengo ayuda para publicarloS con el test actual de un mes exigido en el sitio web de los Mersenne en el que estoy inscrito, en mi caso con el software . Pero AL NO POSEER NI EL ORDENADOR REQUERIDO, NI EL FLUIDO ELÉCTRICO CONSTANTE EL TIEMPO DE PRUEBA REQUERIDO estoy impedido de hacerlo por mi mismo. EL QUE QUIERA AYUDARME A UBICARME EN IGUALDAD DE CONDICIONES AL SISTEMA DE gIMSP PUEDE HACERLO. SINO QUE No SE TOME EL TRABAJO DE ESCRIBIRME. MI correo
          alandav10@gmail.com
          HÁGALO AHORA Y NO ME HAGA MUCHAS PREGUNTAS, LES DOY LA CIFRA Y PUNTO, con garantías.A.L.V
          Deseo garantía de no ser estafado.

          Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *