No podía comenzar mejor el año para las matemáticas en general y para los números primos en particular. Ayer, día 3 de enero de 2018, el grupo GIMPS anunciaba el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 50 (podéis leer aquí la nota de prensa). Este primo de Mersenne tiene nada más y nada menos que 23249425 dígitos, y se convierte en el mayor número primo conocido hasta la fecha, superando al anterior, también un primo de Mersenne (el número 49) en casi un millón de dígitos.

Este primo de Mersenne, el número 50 que se encuentra y que se designará como M_{77232917}, es el siguiente:

Este monstruo tiene más de 23 millones de dígitos. Siempre que aparecen números tan exageradamente grandes digo lo mismo, y hoy no va a ser menos. Es prácticamente imposible que nos podamos hacer una idea de las enormes dimensiones de este M_{77232917}, y voy a dejar dos datos para que lo veáis:

  • Imaginad que tenéis un millón de euros. Mucho dinero, ¿verdad? Bien, pues el número 1000000 tiene 7 dígitos…
  • Imaginad que escribís tremendamente rápido, digamos 3 dígitos por segundo. Buena velocidad, ¿verdad? Bien, pues con esa frecuencia de escritura, y sin parar en ningún momento, tardaríais casi 90 días en escribirlo entero…

Por cierto, si alguien quiere verlo podéis decargarlo aquí (es un txt comprimido en zip).

Aquí tenéis la lista completa de los primos de Mersenne. Es interesante destacar que, a día de hoy, se ha confirmado esa lista hasta el primo de Mersenne número 45. Esto significa que hasta ese número ya se sabe que no hay más primos de Mersenne entre los que se conocen. Para el resto, de 46 al 50, podría ocurrir que haya algún otro primo de Mersenne entre dos de ellos que todavía no se ha descubierto. Estaremos pendientes por si hay más novedades.

Os dejo enlaces de algunos artículos de Gaussianos relacionados con los primos de Mersenne:

Por cierto, me enteré de este nuevo descubrimiento gracias a este aviso por Twitter de @SamuelDalva. Muchas gracias compañero.


Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 50 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{77232917-1} \cdot (2^{77232917}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo (posiblemente miles de años), que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene más de 46 millones de dígitos

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