En los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos de Descartes, relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada de su historia y también para demostrarla.

Qué es la regla de los signos de Descartes

Supongamos que tenemos el polinomio p(x)=x^5+3x^4-5x^2+x-7. Si igualamos p(x) a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

x^5+3x^4-5x^2+x-7=0

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:

\{1,3,0,-5,1,-7 \}

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando C(p) al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio p(x), tendríamos entonces que en este caso C(p)=3.

Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede propocionar información muy interesante sobre la cantidad de raíces positivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla:

Regla de los signos de Descartes

El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).

Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya que C(p)=3. Pero se puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho sabemos que si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.

La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático francés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.

Demostración de la regla de los signos de Descartes

Vamos a terminar este artículo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostración de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente líder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que p(0) \ne 0), ya que si lo es podemos sacar factor común un término de la forma x^k que después se puede eliminar.

Vamos a probar esta regla por inducción en n:

  • Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la ecuación es x-a=0 con a > 0 (un cambio de signo) la única solución es x=a (una solución positiva). Si es x+a=0 con a > 0 (ningún cambio de signo) la única solución es x=-a (ninguna solución positiva).
  • Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n > 1, con coeficiente líder igual a 1 y con p(0) \ne 0. Distinguimos dos casos:
    1. Si p(0) < 0[/latex], entonces el número de cambios de signo de la ecuación debe ser impar, ya que comenzamos en un número positivo, el <em>1</em>, que es el coeficiente líder, y terminamos en un número negativo, [latex]p(0). Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación también es impar:

      Como el grado del polinomio es n, se tiene que el término x^n es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x. De hecho, para algún valor grande y positivo de x, digamos x_0, se tiene que p(x_0) es positivo, por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0,x_0] tenemos que existe al menos una raíz de p(x) en el intervalo (0,x_0), esto es, positiva.

      Si llamamos k a esa raíz, se tiene que p(x)=(x-k) \cdot q(x), con q(x) un polinomio de grado n-1 y tal que q(0)={p(0) \over {-k}} es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo). Aplicando la hipótesis de inducción a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un número par de raíces positivas, por lo que p(x) tiene un número impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k).

    2. Vamos con el caso p(0) > 0. Si la ecuación no tiene soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple, ya que cero es un número par. En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva, llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que p(x)=(x-k) \cdot q(x), siendo q(x) un polinomio de grado n-1 tal que q(0)={p(0) \over {-k}} es negativo (ya que k es positivo y p(0) también). Podemos aplicar la hipótesis de inducción a q(x), lo que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces positivas. En consecuencia, p(x) tiene un número par de raíces positivas (todas las de q(x) junto con k).

    Lo que nos dice todo esto es que el número de cambios de signo y el número de raíces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos números son iguales o difieren en un múltiplo de dos.

    Nos queda probar que hay más cambios de signo que raíces positivas, es decir, que el número de cambios de signo es una cota superior del número de raíces positivas. Lo vemos:

    Si hubiera más raíces positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x), entonces debería haber al menos dos raíces positivas más que el número de cambios de signo (por lo que hemos probado antes). Manteniendo la notación anterior, tenemos que al menos debería haber C(p)+2 raíces positivas.

    Por otra parte, se tiene que p^\prime (x) tiene al menos una raíz entre cada dos raíces de p(x) (sabéis por qué, ¿verdad?). Por tanto habría al menos C(p)+1 raíces de p^\prime (x).

    Pero p^\prime (x) tiene como mucho tantos cambios de signo como p(x), es decir, C(p) cambios a lo sumo, y además su grado es n-1. En estas condiciones la hipótesis de inducción nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos, es decir, cumple que tiene más cambios de signo que raíces positivas.

    Llegamos entonces a una contradicción provocada por la suposición inicial. Por tanto hay más cambios de signo que raíces positivas.

Como comentario final, es interesante resaltar que si tomamos el polinomio p(-x) y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del número de soluciones negativas de p(x).

Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de Descartes

El gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de raíces positivas del polinomio, sino una cota superior de las mismas. Por ello no podemos solamente con esta regla cuántas raíces positivas tiene nuestra ecuación. Pero sí podemos aprovechar algún conocimiento previo sobre las raíces positivas de la misma. Pongo un ejemplo:

Supongamos que tenemos una ecuación polinómica con dos cambios de signo entre sus coeficientes, y supongamos también que mediante otros métodos hemos encontrado una solución positiva de la misma, digamos k.

Por la regla de los signos sabemos que la ecuación tendrá dos soluciones positivas o no tendrá ninguna. Pero tenemos ya una, k, por lo que nuestra ecuación tiene dos raíces positivas exactamente. Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raíz de la ecuación, podemos hacerlo entre los números positivos, ya que seguro que hay otra más.

También se puede combinar el comentario final, que nos calcula una cota del número de raíces negativas, con la propia regla, para así obtener más información sobre las raíces reales de la ecuación.

Y para finalizar os dejo este mensaje del foro de Rincón Matemático donde hay un par de documentos en pdf con información adicional acerca de la regla de los signos de Descartes y otros resultados relacionados.

Fuentes y artículos relacionados:

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