Por qué no hay solución general de la ecuación de quinto grado

La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante. Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado (despejando la incógnita) y la gran mayoría recordamos la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. También muchos, aunque posiblemente menos, sabrán que hay fórmulas del mismo tipo para las ecuaciones de grados tres y cuatro. Y algunos menos que no se puede resolver de manera general la ecuación de quinto grado. Pero, ¿sabemos por qué?

Lo que sacamos como conclusión del párrafo anterior es que existen fórmulas generales para la resolución de ecuaciones de grados uno, dos, tres y cuatro, pero no existe tal fórmula para las de grado cinco (ni para grados superiores). ¿Esto significa que ninguna ecuación de grado cinco puede resolverse? No. Esto significa que dada una ecuación cualquiera de grado cinco, no podemos calcular de manera general sus soluciones con el simple conocimiento de sus coeficientes, mientras que con ecuaciones hasta grado cuatro sí que tenemos fórmulas que nos las calculan.

Entendido esto, surge de manera natural preguntarse por qué ocurre esto. ¿Por qué dejamos de tener solución general cuando llegamos al grado cinco? Lo que vamos a hacer en esta entrada es explicar matemáticamente por qué esta fórmula general no existe para ecuaciones de quinto grado. Y, sin lugar a dudas, los matemáticos protagonistas de esta historia son Évariste Galois y Niels Henrik Abel.

Las matemáticas encargadas de ayudarnos a demostrar que tal fórmula general no existe no son sencillas, y ni mucho menos evidentes. La teoría encargada de echarnos una mano para recorrer este camino será la teoría de grupos, teoría perteneciente a lo que podríamos llamar matemáticas avanzadas, y más concretamente la teoría de Galois. Pero que esto no os asuste, intentaremos hacer el camino lo más llevadero posible para que nadie esté obligado a abandonar a mitad de travesía.

Évariste Galois

Évariste Galois (Fuente: MacTutor)

La idea brillante, y la verdadera clave de todo este asunto, fue el descubrimiento de que a cada ecuación polinómica se le podía asignar un cierto grupo (grupo: estructura algebraica que cumple ciertas propiedades), denominado grupo de Galois de la ecuación. No nos interesa saber qué es exactamente un grupo, ni cómo contruir este grupo de Galois en cada caso, simplemente que cada ecuación polinómica está asociada a su grupo de Galois.

Una de las muchas propiedades interesantes que puede tener (o no) un grupo es la solubilidad. Es decir, hay grupos solubles (también llamados resolubles) y grupos que no lo son. La definición de grupo resoluble es algo avanzada (para los interesados está al final del post), pero para continuar leyendo no es necesario conocerla. Lo que sí es interesante saber, y de hecho es uno de los pasos importantes en todo esto, es que Galois demostró que se pueden expresar convenientemente las soluciones de una ecuación polinómica si y sólo si el grupo de Galois de dicha ecuación es resoluble. Esto, si os fijáis, es bastante fuerte, ya que el hecho de expresar convenientemente las soluciones de una ecuación se reducía simplemente al estudio del grupo de Galois de dicha ecuación, y sobre grupos ya se conocían muchas cosas.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (Fuente: MacTutor)

Bien, vamos con el segundo y último paso. El grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado uno, dos, tres o cuatro es siempre resoluble, por lo que siempre podemos expresar las soluciones de dichas ecuaciones en radicales (esto de en radicales es la forma de llamar a la expresión de dichas soluciones, lo que hemos llamado antes expresar convenientemente, no nos asustemos). ¿Y el de una ecuación de grado mayor o igual que 5? Pues…en general no. Es decir, el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado cinco (o mayor) no es resoluble. Eso es lo que dice el teorema de Abel-Ruffini, también conocido como teorema de imposibilidad de Abel (también al final de este post tenéis algún detalle más matemático de este asunto).

Por tanto, no podemos aspirar a tener una fórmula general que nos dé todas las soluciones de una ecuación cualquiera de grado cinco o superior. Podremos expresar en radicales las soluciones de algunas (las que tengan grupo de Galois asociado resoluble), pero siempre habrá ecuaciones de grado cinco o mayor cuyo grupo de Galois no sea resoluble.

Fin de la historia, y esta vez con final feliz…¿o no? Bueno, depende. Por un lado quizás el hecho de que no existan esas fórmulas para el caso general con grado mayor o igual que cinco puede dejarnos una sensación de vacío difícil de llenar, pero por otra parte dejamos el problema totalmente resuelto: hasta grado cuatro tenemos fórmulas y de grado cinco en adelante no tenemos que preocuparnos de buscarlas porque no las hay. ¿En qué bando estáis, en final feliz o final vacío?


Vamos con el contenido más durillo. Primero una definición previa:

Dado un grupo G, una serie normal de subgrupos de G es un conjunto de subgrupos G_i tales que G_0=\{ e \} (el elemento neutro de G), G_n=G y G_i es un subgrupo normal de G_{i+1}, para todo i=0, \ldots ,n-1. Esta situación se representa así:

G_0=\{ e \} \vartriangleleft G_1 \vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_n=G

Los grupos cociente G_{i+1}/G_i se llaman factores de la serie.

Y ahora la definición de grupo resoluble:

Un grupo G es resoluble si posee una serie normal de subgrupos G_i tal que todos sus factores son grupos abelianos.

Entre las propiedades de los grupos resolubles destacamos la siguiente, ya que es fundamental en este caso:

Si G es un grupo resoluble, entonces todo subgrupo suyo también es resoluble.

Lo que utilizaremos será el contrarrecíproco de este resultado (recordad estas lecciones de lógica para el día a día). Esto es, que si un grupo tiene un subgrupo que no es resoluble, entonces el propio grupo tampoco lo es.

Continuemos. Por un lado, se sabe que el grupo de Galois de una ecuación polinómica genérica de grado n es el grupo de permutaciones S_n. Y por otro lado el conocido como teorema de Abel afirma que A_n, subgrupo de S_n denominado grupo alternado (que contiene las permutaciones pares de S_n), es un grupo simple para n \ge 5, es decir, que A_n no tiene sugbrupos normales propios para n \ge 5.

¿Qué nos dice esto último? Pues que la única serie normal posible para A_n, con n \ge 5, es la siguiente:

\{ id \} \vartriangleleft A_n

Para que A_n, con n \ge 5, fuera resoluble debería cumplirse (por definición) que todos los factores de dicha serie fueran abelianos. El único factor de esta serie es A_n / \{ id \}, que es el propio A_n. Pero A_n no es abeliano para n \ge 5. En consecuencia, A_n, con n \ge 5, no es resoluble, y por tanto, por el contrarrecíproco de la propiedad vista anteriormente, S_n no es resoluble para n \ge 5.

En consecuencia no podemos encontrar una forma general de expresión en radicales de las soluciones de una ecuación genérica de grado cinco o mayor.


Segunda aportación de Gaussianos a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, que organiza Marta Macho en ZTFNews.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

39 Comentarios

  1. Muy bien, en la carrera llegué hasta ahí con Gabriel Navarro, vosotros llegáis hasta ahí, pero si no es mucho pedir, ¿Podríais coger un par de polinomios de grado 5 (uno resoluble y otro no) y demostrar paso a paso su resolubilidad? Esto nunca me lo han hecho en una aula y me siento bastante frustrado con el tema. He visto todos los teoremas con sus sempiternas demostraciones, pero no se aplicarlo.
    Busco y busco por Internet y no encuentro nada, sólo la teoría.
    Gracias

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    • Cero que que lo mas concerniente seria crear una ecuación general de quinto,grado, esto para así poder salir de complicaciones y resolverlo de manera mas discreta, digo yo…se tendría que establecer una serie de normas para asi poder responder a este gran problema matemático.

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      • ULISES PACHECO SANCHEZ: De hecho lo que se concluye con el procedimiento de Galois, es que no se puede descubrir una fórmula general para encontrar las raíces de polinomios de grado mayor a 4. Niels Henrik Abel había demostrado la imposibilidad para grado 5, pero Galois fue quien desarrolló la teoría general (Teoría de Grupos) que permitió descubrir que no existen formulas generales para la resolución de polinomios de grado mayor a 4 o lo que es lo mismo: igual o mayor a grado 5.

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    • TOBAL: Tienes un ejemplo de lo que pides en el libro “Galois Theory” de Ian Stewart, que es que yo usé en la carrera. Si no recuerdo mal es el capítulo 12, lo que te interesa.

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  2. Justo hoy una de mis profesoras me conto que como parte de su carrera tuvo que demostrar este resultado, asi que hubo una feliz coincidencia con tu blog 😛

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  3. Y es que si los matemáticos fueran caballeros estos dos señores serían Caballeros Dorados.

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  4. Me he quedado con las ganas de entender por qué no hay solución general… en el texo explicáis *como* se demuestra (muy interesante por cierto), pero no *por qué*. Es decir, después de leer el texto me pregunto: por qué un subgrupo de grupo alternado es un grupo simple para n mayor que 5? Sigo sin entender qué tiene de especial el 5…

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  5. Solamente echo en falta la definición de normal, pero igual es que es el primer concepto puramente algebraico que aparece y estaba desprevenida. Por lo demás está claro y entendible, como siempre. Nos vemos el sábado;-)

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  6. la ecuación de quinto grado tiene formula general empleando funciones hiperelípticas

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  7. Por fin alguien que pone la definición tal y como viene en los BUENOS libros.
    Por cierto Wantzel demostró ‘antes’ que Galois los famosos tres problemas y digo ‘antes’ por que lo de Galois fue publicado más tarde pero descubierto previo a Wantzel.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Wantzel

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  8. goriteiro, el teorema dice que para n>= a 5 no hay solución general para alguna ecuación polinomica de grano n>=5, como la hay en n=1,2,3,4. Eso tengo entendio que es que no se puede con los coeficientes del polinomio que sale de la ecuación polinomica, haciendo operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y radicales con los coeficientes. Pero más allá de esto, por ejemplo para la ecuación x^2*bx+c=0 los ceros de está ecuación cumplen cuando son enteros que z1*z2=c y z1+z2=-b. y me parece que esta combinación de los ceros de la ecuación tiene que ver con S2. Supongo que es como dice es post como Sn es el grupo de galois de la ecuación polinomica de grado n. A partir de S5 no se comporta lo suficientemente bien como que por ejemplo que no es abeliano y por eso no se puede resolver en general la ecuación polinomica de grado 5. Ya me irformaré mejor y lo intentaré explicar para que lo entendamos todos. saludos

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  9. Ronenpasas, eso, una buena explicación siempre se agradece. Pero existe también una solución de la cúbica basada en funciones trigonométricas.

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  10. Recuerdo que uno de los resultados que más me sorprendió en la asignatura que estudié este tema, fue el hecho de que todo polinomio tiene un cero:
    Sea K un cuerpo y p(X)\in K[X] irreducible. Consideremos el cuerpo cociente K'=K[X]/\left(p(X)\right), entonces K\subset K' y p(\alpha)=0 donde \alpha=X+\left(p(X)\right).
    Aparte de lo que supone el teorema, también sorprende que la demostración es inmediata.

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  11. goriteiro, lo decía por que, creía que te ibas por las ramas, dentro del contexto, la afirmación es correcta. ahora, no se como llegar a la solución de la quinta a partir de operaciones que no sean las elementales (sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar o radicalizar, que el teorema dice que no se puede para algunas ecuaciones) lo haces con funciones trigonometricas? como?

    Ratoncillo de biblioteca, me puedes explicar un poco el teorema que has colgado en este post? es decir por lo que entiendo, si p(x) polinomio irreducible en K(x), K cuerpo, entonces dices que siempre hay un cero en K o en k/p(x)? Lo complicado es saber quien es K/p(x) verdad?

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  12. Hola ronenpasas, siempre hay un cero en el cuerpo cociente K[X]/(p(X)).

    En primer lugar K[X]/(p(X)) es un cuerpo, por ser p(X) irreducible. Considerando K\longrightarrow K[X]/(p(X)), k\mapsto [k]=k+(p(X)), resulta que es un monomorfismo y por tanto podemos ver K[X]/(p(X)) como una extensión de K.

    Ahora viene lo bueno:

    Sea \alpha=[X]=X+(p(X)), ¿que pasa si evaluamos el polinomio en \alpha? Pues que:

    p(\alpha)=a_0[X]+a_1[X]^2+\cdots+a_n[X]^n=[a_0X+a_1X+\cdots+a_nX^n]=[p(X)]=0

    Ejemplo:
    Considerando \mathbb{R}[X] y el polinomio irreducible p(X)=X^2+1, ¿quien es \mathbb{R}[X]/(X^2+1)? Pues si observamos que [X]^2=-1, vemos que se trata de \mathbb{C}. Es más, lo podríamos tomar como definición de \mathbb{C}.

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  13. recomiendo el libro divulgativo de Ian Steward, belleza y verdad, que habla sobre como este problema fue un punto de partida para la teoría de grupos y como la simetría es usada actualmente en todos los campos de la ciencia y también habla un poco sobre la vida de algunos matemáticos que contribuyeron al desarrollo de la teoria de grupos.

    Un saludo.

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  14. para ronenpasas, es fácil, x=cos(theta) y=cos(3theta), desde siempre, vaya.

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  15. @M -> Gracias por la recomendación, apuntado queda para comprarlo el día que vuelva a poder trabajar como interino, en la situación que estoy me resulta bastante caro.
    Gracias

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  16. Yo acabo de chutarme el libro “La ecuación jamás resuelta”, de Mario Livio, editorial Ariel. En él relata los esfuerzos que diversos personajes hicieron a lo largo de la historia de las matemáticas para dar solución a las ecuaciones de 5° grado y superiores. De la contribución de Evariste Galois (que sentó las bases de la teoría de grupos), para resolver éstas ecuaciones y de cómo la simetría influye en las actividades humanas. Incluye diversos aspectos históricos muy interesante al respecto y de como la teoría de grupos hoy en día tiene que ver con muchos campos de las ciencias (particularmente en la mecánica cuántica, teoría de cuerdas y la física de partículas), las artes y en diversas actividades humanas insospechadas. Se los recomiendo, su lectura es afable y puede que aclare o de respuesta a algunas de sus interrogantes.

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  17. Martín Camarena, es uno de los que tengo por ahí para leer cuando tenga tiempo. Gracias por la recomendación :).

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  18. ! SORPRESA ¡

    LAS FORMULAS SI EXISTEN, SON GENERALES, EXACTAS Y ETERNAS PARA TODA LA HUMANIDAD.

    Estas se encuentran en la Obra:

    ” Método general y soluciones analíticas de las ecuaciones de polinomios de
    grados 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, n ” . Año de publicación 2010, México.

    * Teória y Demostración
    * Deducción de las formulas
    * Ejemplos abundantes comprobados exitosamente

    Este resultado contradice al resultado de la imposibilidad de la resolucion general de la ecuacion de quinto grado mediante la teoria de Galois. Por lo que va hacer muy dificil, pero no imposible, de que queden convencidos de estos nuevos resultados.

    ” Una demostración correcta no necesariamente convence, esto último depende a veces del conocimiento y la inteligencia del que trata de refutarla”

    Espero no se enojen por que Galois y Abel se equivocaron.

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    • MartinT, lo que dices no es posible. Creo que deberías dejar de leer ese libro porque al menos una de las dos siguientes afirmaciones es cierta:
      1) no lo estás comprendiendo bien
      2) el libro que te estás leyendo no está bien

      Nota, en mi enunciado, la importancia de las palabras “al menos”.

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  19. Brian, he consultado el link y he buscado en la pagina de esa universidad si ese señor existe y figura como investigador en ingeniería química, parece ser que sí:
    http://www.unistmo.edu.mx/profesores/tehuantepec/martin_trinidad_medina_ramirez.html

    De todas formas MartínT, si quieres que se te tome MÍNIMAMENTE en serio tienes que dar algo más que una mera y triste declaración, y aportar algo que sea tangible. Yo aún no tengo conocimientos para juzgar los teoremas que acreditan el título de esta entrada pero, por ahora, me seguiré fiando de lo que dicen los investigadores y profesores de mi facultad :D.

    Quizás lo que quieres decir es que para ciertas familias de ecuaciones polinómicas existen fórmulas que nos dan las raíces, cosa que puede ser cierta (por ejemplo, una fórmula para polinomios del tipo ax^6+bx^3 + c  )

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  20. Si bien este no es el lugar preciso para estas cuestiones, debido a que falta un post donde uno pueda hacer preguntas a los colegas, me decante por éste para hacer la pregunta que haré.
    Si bien la pregunta es extensible a todos los polinomios, lo centraré donde surgió mi duda, en el cuadrático.
    Un profesor, hace tiempo, dijo que el término independient es donde tenemos x^0. Esto para mí es erróneo, porque ¿qué pasaría con x=0?

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  21. hombre algo de bombo se le da a GALOIS y eso que de todos modos su teoria no tiene aplicacion practica real 😀 al menos ABEL hizo algo practico y aplicable a mas cosas para mi ABEL >>>> GALOIS que igual se le sobreestima por la muerte joven y repentina que tuvo

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  22. Cero elevado a la potencia cero es inconsistente con que X/X=1 porque esta última ecuación sólo es válida para números no nulos.

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  23. Mi pregunta es, entonces los programas de calculo, tipo Matlab, maple, mathematica (incluyendo calculadoras avanzadas). Utilizan hasta el 4to grado las expresiones algebraicas exactas para determinar las soluciones o siempre utilizan métodos numéricos independientemente del grado para aproximar las soluciones (?)

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  24. Andri Lopez refuta el T. Abel-Ruffini.
    Demuestra que las ecuaciones de Galois tienen solución en base a sus coeficientes.
    Para ello tomamos dos de los coeficientes de mayor valor.
    sean (e) y (f) de tal manera que:

    el elemento común de (e) y (f) es el valor de (x).

    un ejemplo de la ecuación quinta:

    12x^{5} + 7x^{4} + 20x^{3} + 1032x^{2} + 280x + 32 = 0

    solución: (x = 4)

    ver: http://www.hrpub.org/journals/jour_info.php?id=24 Vol 4 (2) 2016

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    • mentira, 4 es positivo y el polinomio tambien se suma todo asi que es imposible que la suma sea 0.
      con -4 tampoco funciona.

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  25. Hola, yo creo que el teorema de Abel-Ruffini esta incompleto y, por lo tanto, no puede decirse si es correcto o no, ya que existen ecuaciones de grado cinco o mayor que si solubles por radicales. La cuestión es: son solubles o no las ecuaciones de grado cinco o mayores o no lo son?. La respuesta completa debe tomar en cuenta no solo el grado de la ecuación sino también otras propiedades matemáticas de las ecuaciones algebraicas, como su irreducibilidad sobre un cuerpo, la multiplicidad de sus raíces y si la ecuación es completa o no y no solamente el grado n de la ecuacion. Por eso digo yo que la teoría de Galois esta incompleta.

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  26. Alguien me puede recomendar un libro no muy especializado sobre teoría de galois, soy etudiante de segundo de matemáticas.

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