La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante. Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado (despejando la incógnita) y la gran mayoría recordamos la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. También muchos, aunque posiblemente menos, sabrán que hay fórmulas del mismo tipo para las ecuaciones de grados tres y cuatro. Y algunos menos que no se puede resolver de manera general la ecuación de quinto grado. Pero, ¿sabemos por qué?

Lo que sacamos como conclusión del párrafo anterior es que existen fórmulas generales para la resolución de ecuaciones de grados uno, dos, tres y cuatro, pero no existe tal fórmula para las de grado cinco (ni para grados superiores). ¿Esto significa que ninguna ecuación de grado cinco puede resolverse? No. Esto significa que dada una ecuación cualquiera de grado cinco, no podemos calcular de manera general sus soluciones con el simple conocimiento de sus coeficientes, mientras que con ecuaciones hasta grado cuatro sí que tenemos fórmulas que nos las calculan.

Entendido esto, surge de manera natural preguntarse por qué ocurre esto. ¿Por qué dejamos de tener solución general cuando llegamos al grado cinco? Lo que vamos a hacer en esta entrada es explicar matemáticamente por qué esta fórmula general no existe para ecuaciones de quinto grado. Y, sin lugar a dudas, los matemáticos protagonistas de esta historia son Évariste Galois y Niels Henrik Abel.

Las matemáticas encargadas de ayudarnos a demostrar que tal fórmula general no existe no son sencillas, y ni mucho menos evidentes. La teoría encargada de echarnos una mano para recorrer este camino será la teoría de grupos, teoría perteneciente a lo que podríamos llamar matemáticas avanzadas, y más concretamente la teoría de Galois. Pero que esto no os asuste, intentaremos hacer el camino lo más llevadero posible para que nadie esté obligado a abandonar a mitad de travesía.

Évariste Galois

Évariste Galois (Fuente: MacTutor)

La idea brillante, y la verdadera clave de todo este asunto, fue el descubrimiento de que a cada ecuación polinómica se le podía asignar un cierto grupo (grupo: estructura algebraica que cumple ciertas propiedades), denominado grupo de Galois de la ecuación. No nos interesa saber qué es exactamente un grupo, ni cómo contruir este grupo de Galois en cada caso, simplemente que cada ecuación polinómica está asociada a su grupo de Galois.

Una de las muchas propiedades interesantes que puede tener (o no) un grupo es la solubilidad. Es decir, hay grupos solubles (también llamados resolubles) y grupos que no lo son. La definición de grupo resoluble es algo avanzada (para los interesados está al final del post), pero para continuar leyendo no es necesario conocerla. Lo que sí es interesante saber, y de hecho es uno de los pasos importantes en todo esto, es que Galois demostró que se pueden expresar convenientemente las soluciones de una ecuación polinómica si y sólo si el grupo de Galois de dicha ecuación es resoluble. Esto, si os fijáis, es bastante fuerte, ya que el hecho de expresar convenientemente las soluciones de una ecuación se reducía simplemente al estudio del grupo de Galois de dicha ecuación, y sobre grupos ya se conocían muchas cosas.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (Fuente: MacTutor)

Bien, vamos con el segundo y último paso. El grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado uno, dos, tres o cuatro es siempre resoluble, por lo que siempre podemos expresar las soluciones de dichas ecuaciones en radicales (esto de en radicales es la forma de llamar a la expresión de dichas soluciones, lo que hemos llamado antes expresar convenientemente, no nos asustemos). ¿Y el de una ecuación de grado mayor o igual que 5? Pues…en general no. Es decir, el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado cinco (o mayor) no es resoluble. Eso es lo que dice el teorema de Abel-Ruffini, también conocido como teorema de imposibilidad de Abel (también al final de este post tenéis algún detalle más matemático de este asunto).

Por tanto, no podemos aspirar a tener una fórmula general que nos dé todas las soluciones de una ecuación cualquiera de grado cinco o superior. Podremos expresar en radicales las soluciones de algunas (las que tengan grupo de Galois asociado resoluble), pero siempre habrá ecuaciones de grado cinco o mayor cuyo grupo de Galois no sea resoluble.

Fin de la historia, y esta vez con final feliz…¿o no? Bueno, depende. Por un lado quizás el hecho de que no existan esas fórmulas para el caso general con grado mayor o igual que cinco puede dejarnos una sensación de vacío difícil de llenar, pero por otra parte dejamos el problema totalmente resuelto: hasta grado cuatro tenemos fórmulas y de grado cinco en adelante no tenemos que preocuparnos de buscarlas porque no las hay. ¿En qué bando estáis, en final feliz o final vacío?


Vamos con el contenido más durillo. Primero una definición previa:

Dado un grupo G, una serie normal de subgrupos de G es un conjunto de subgrupos G_i tales que G_0=\{ e \} (el elemento neutro de G), G_n=G y G_i es un subgrupo normal de G_{i+1}, para todo i=0, \ldots ,n-1. Esta situación se representa así:

G_0=\{ e \} \vartriangleleft G_1 \vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_n=G

Los grupos cociente G_{i+1}/G_i se llaman factores de la serie.

Y ahora la definición de grupo resoluble:

Un grupo G es resoluble si posee una serie normal de subgrupos G_i tal que todos sus factores son grupos abelianos.

Entre las propiedades de los grupos resolubles destacamos la siguiente, ya que es fundamental en este caso:

Si G es un grupo resoluble, entonces todo subgrupo suyo también es resoluble.

Lo que utilizaremos será el contrarrecíproco de este resultado (recordad estas lecciones de lógica para el día a día). Esto es, que si un grupo tiene un subgrupo que no es resoluble, entonces el propio grupo tampoco lo es.

Continuemos. Por un lado, se sabe que el grupo de Galois de una ecuación polinómica genérica de grado n es el grupo de permutaciones S_n. Y por otro lado el conocido como teorema de Abel afirma que A_n, subgrupo de S_n denominado grupo alternado (que contiene las permutaciones pares de S_n), es un grupo simple para n \ge 5, es decir, que A_n no tiene sugbrupos normales propios para n \ge 5.

¿Qué nos dice esto último? Pues que la única serie normal posible para A_n, con n \ge 5, es la siguiente:

\{ id \} \vartriangleleft A_n

Para que A_n, con n \ge 5, fuera resoluble debería cumplirse (por definición) que todos los factores de dicha serie fueran abelianos. El único factor de esta serie es A_n / \{ id \}, que es el propio A_n. Pero A_n no es abeliano para n \ge 5. En consecuencia, A_n, con n \ge 5, no es resoluble, y por tanto, por el contrarrecíproco de la propiedad vista anteriormente, S_n no es resoluble para n \ge 5.

En consecuencia no podemos encontrar una forma general de expresión en radicales de las soluciones de una ecuación genérica de grado cinco o mayor.


Segunda aportación de Gaussianos a la Edición 3,141592 del Carnaval de Matemáticas, que organiza Marta Macho en ZTFNews.

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