Hoy os traigo un problema que nos envía nuestro lector Luis, cuyo enunciado tomó él de…bueno, ya lo diré cuando se resuelva. Ahí va el enunciado:
Dados tres enteros positivos a, b y c menores que 99 y tales que
hallar el mínimo y el máximo valor que puede tomar
.
A por él.
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para el mínimo:
a=21, b=97, c=7
a=97, b=21, c=7
a+b+c = 125
para el máximo:
a=81, b=91, c=71
a=91, b=81, c=71
a+b+c = 243
los he calculado por computador, pero no sé demostrarlo matemáticamente.
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Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo un problema que nos envía nuestro lector Luis, cuyo enunciado tomó él de…bueno, ya lo diré cuando se resuelva. Ahí va el enunciado: Dados tres enteros positivos a, b y c menores que 99 y tales que hallar ……
no ntiendo nada >:v
Los únicos extremos que hay (con
) son
pero no veo cómo llegar a ellos…
Con la condición de ser menores que 99 hay un número finito de casos. Comprobarlos todos, no importa si con ordenador o a mano, equivale a una demostración. Por tanto, dinos de dónde lo tomó Luis. 😀
El mínimo es 5^3
El máximo es 3^5
Saludos.
vayapordios, sí, eso equivale a una demostración, pero creo que se tardaría demasiado en comprobarlos todos. Se pide un desarrollo matemático, no hagas trampa : )
Rama Nujan:
, como la distancia máxima y mínima del plano a+b+c=0 al hiperboloide de una hoja a²+b²=99²⁺c²?
¿Lo has calculado a capón con el método de los multiplicadores de lagrange o has supuesto que el problema se podría interpretar geometricamente, salvo un factor
En realidad yo no he demostrado nada, me fiaba del programa de que habla Julián. Creo que valdrá por un desarrollo matemático el código que ha usado. Puede copiarlo aquí para que verifiquemos que comprueba todas las posibilidades.
Aunque lo que viene a continuación no sirve para mucho, da otra perspectiva del problema.
La ecuación
describe un hiperboloide reglado de cuello 
y 
es un plano paralelo al plano 
, el cual es asintótico al hiperboloide. La condición 
indican que pertenecen al cubo centrado en el origen de lado 2×99. Por último observar que a, b y c son enteros.
Siguiendo el comentario de vayapordios, este es el código que usé para calcularlos, es bastante simple:
min = [inf inf inf];
max = [0 0 0];
for a=1:98
for b=1:98
for c=1:98
if a^2+b^2==99^2+c^2
if a+b+c > sum(max)
max = [a b c];
end
if a+b+c < sum(min)
min = [a b c];
end
end
end
end
end
max
min
está hecho en matlab, para los que no lo tengan, el código se puede probar en http://www.matlab-online.com/
O así
var l = Enumerable.Range( 1, 98 );
var q = from a in l from b in l from c in l where a*a+b*b-c*c==9801 select a+b+c;
Console.WriteLine( «min: {0}, max: {1}», q.Min(), q.Max() );
Hay una manera de resolver este tipo de problemas que parte de un planteamiento geometrico parecido al comienzo de lo que indica Rafael, pero esto es usar maquinaria pesada, asi que no creo que fuera lo que Luis tenia en mente… La idea es buscar soluciones racionales y despues a partir de las racionales contruir las enteras. Con determinados tipos de ecuaciones polinomicas (en particular las cuadricas) es suficiente con conocer *una* solucion racional para obtener todas las demas, para esto se toma la solucion racional que conocemos, y rectas de la forma que pasen por dicho punto y tengan… Lee más »
No se que pasa que las fracciones no aparecen correctamente. el denominador en todos los casos deberia ser
.
Para las fracciones debes poner el «\frac», si no me equivoco quedaría así:
Arreglado vengoroso :).
¿No se resolverá ésto mejor usando formas bilineales?
siendo A la matriz identidad con «uno de sus unos cambiado de signo».
¿Y usando ésto?.
Si 1≤c≤98 se ha de cumplir 9802≤a^2+b^2≤19405 igualmente las restricciones 1≤a≤98, 1≤b≤98 al tener las mismas condiciones a y b basta estudiar b≥a .
Con estas condiciones los pares a y b están delimitados por un triangulo curvilíneo de vértices (15, 98) (70, 70) y (98, 98), estos pares posibles candidatos son 1021, igualmente podríamos eliminar varias decenas cuyas terminaciones “0, 3” y “0, 7” hacen imposible que “c” sea racional.
De estos 1021 candidatos 37 forman la terna con “c” natural, siendo los de suma máxima y mínima 81 91 71 y 21 97 7
Bueno, ^DiAmOnD^, cuéntales, si consideras oportuno, de donde proviene este problema.
(El cual, hasta el momento, no ha sido resuelto en un 100%).
Saludos.
Se me ha ocurrido otra interpretacion geometrica del problema, pero de momento no he conseguido que me ayude mucho a resolverlo. Si consideramos los triangulos rectangulos con catetos y y con catetos y respectivamente, la condicion del problema nos dice que ambos triangulos tienen la misma hipotenusa. Desde un segmento dado, el arco capaz que corresponde a un angulo de 90 grados es una semicircunferencia, por lo que si colocamos los triangulos construidos con sus vertices en lados opuestos de la hipotenusa obtenemos un cuadrilatero con lados inscribible en una circunferencia, y la pregunta se reduce a obtener el perimetro… Lee más »
Por cierto Luis, no entiendo a que te refieres con «no ha sido resuelto en un 100%», la solucion se puede obtener por exhaucion y esta dada en el primer comentario, si lo que quieres es una explicacion mas teorica de esos valores entonces necesitas dar informacion adicional sobre el contexto
Una forma de expresar el problema con símbolos matemáticos podría ser:
En Haskell, un programa (completo) que lo resuelve es casi idéntico
_N = [ 1 .. 98 ]
_S = [ x+y+z | x<-_N, y<-_N, z<-_N, x^2+y^2==99^2+z^2 ]
main = print ( minimum _S, maximum _S )
¿Y se puede saber ya el misterioso orígen del problema?
Ablando de programas para resolverlo, con el sistema que he expuesto, con una hoja de cálculo, para no tener que operar a mano, en unos momentos encontré todas las ternas a, b y c y por supuesto simultáneamente la suma
josejuan, pues el origen del problema es la Olimpiada Matemática Argentina:
http://www.oma.org.ar/enunciados/oma27nac.htm
No tenemos la solución, pero no debería ser tan difícil, ¿no?
Bueno,a mi me da perfecto,aunque no lo hice matemáticamente lo hice programando en haskell,porque por mis venas corre sangre de programador (y porque me agarro la vagancia…). La solución que me da es la terna y se comprueba que: Es facil ver que ambos miembros de la ecuación dan 12010 (o que restando el miembro derecho del izquierdo da cero…). El lenguaje en el que lo resolvi (Haskell,usando programación funcional) esta orientado a expresar las cosas de manera matemática por lo que el codigo que use: Se puede expresar (en notación matemática) como: Esto esta lejos de ser una demostración… Lee más »
A lo que me refería, y en respuesta a vengoroso, era a que, hasta aquí, no se ha dado una solución que uno pueda calificar como ‘olímpica’ (que es lo que se espera para un problema que proviene de una olimpíada), a pesar de que no se había develado (hasta el último comentario de ^DiAmOnD^) que era un problema de olimpíada. A modo de ‘extra’ queda el comentario de que ninguno de los participantes en la olimpíada en la que apareció este problema (que, según me contaron, es de autoría del matemático búlgaro Svetoslav Savchev) ninguno de los alumnos presentó… Lee más »
Bueno, pues alguna propiedad concreta de esa expresión habrá que buscar, porque se trata de un problema de optimización sobre variables enteras (luego en general [y de momento] no hay otra que hacer una búsqueda exhaustiva [más o menos acotada, pero exhaustiva]).
Después de leer las distintas aportaciones aparecidas posteriores a mi comentario he vuelto a repasar mi método. Sigo apoyando las limitaciones que propongo del triangulo y por consiguiente la solución que anoté, pero al volver a las limitaciones de las terminaciones de “a, b y c” me doy cuenta que me quedé corto con las prisas, pues no las consideré al hacer los cálculos con Excel. Las terminaciones que se pueden excluir creo que son 31, lo que hace que limite los posibles candidatos “a y b” a unos 700. De todas formas con lo aparecido informando que es uno… Lee más »
Aún seguimos sin demostración simple, quizá porque nos hemos atascado en la búsqueda exhaustiva… lo que he podido sacar en claro por ahora (aunque un poco inconexo) es lo que sigue: Supongamos que . Podemos usar un poco de álgebra y vemos que: luego, . De esta manera tenemos que: y como , debe ser que y esto significa que . Hemos visto que . Si calculamos 99^2 = 9801, entonces suponiendo que (para hallar el mínimo valor posible de , tenemos que queda . Luego . Además, como resulta que , análogamente como resulta que , luego hemos visto… Lee más »
A mí no me queda muy claro el objectivo, porque lo del «mínimo valor que PUEDE tomar» es ambiguo. Es claro que la ecuación tendrá una cantidad de tuplas soluciones (enteras), ahora bien: me están pidiendo que encuentre los valores extremos que tomará S=a+b+c dentro del conjunto de esas tuplas soluciones, o sólo que encuentre un par de cotas? Si lo primero, no veo cómo. Si lo segundo, no es difíl encararlo por el lado algebraico o geométrico (yo obtuve 99<S<3 x 99, por un consideraciones geométricas; basicamente lo mismo que mimetist). Pero en este caso estamos ignorando la condición… Lee más »
También me pegunto si el valor numérico (99) será relevante o no…
Hola, hernan, de hecho las cotas encontradas son malas, dado que lo que se pide es encontrar el mínimo y el máximo valor que PUEDE tomar a+b+c, y está claro que a+b+c no puede tomar el valor 297, ni 296, etc.
El problema sigue en pie.
De la igualdad
Reescribimos
y obtenemos facilmente:
pensé que podía tomar a
como un término, afirmando que fuera una ‘hipotenusa’ y así buscar la menor terna pitagórica. Pero en el proceso se obtienen valores muy altos.
Seguiré pensando
Saludos!
Esto me recuerda a un problema de análisis de varias variables… ¿multiplicadores de Lagrange?
Tambien lo he estado pensando y dejo mi pequeño aporte algebraico (totalmente trivial a mi parecer) pero por si a alguien le sirve o quiere construir de el aqui le va la ayuda:
Sumando
a ambos lados de la ecuación tenemos:
realizando la diferencia de cuadrados se puede obtener:
Eso al menos hace aparecer el
, no es mucho, pero si alguien le saca provecho, bienvenido. Yo voy a tratar de seguir avanzando.
Lo pongo bien, no sé por qué al editar el mensaje, el sistema omite los carácteres «\». Tengo algo: Curiosamente ayer, antes de acostarme, como si estuviera resolviendo el típico sudoku que aparece en el periódico local, me puse a re-pensar este problema. Surgió lo siguiente: Notemos que: Implica que: . (1) Y recíprocamente, (1) implica que . Entonces, si asumimos que son impares, se tiene que existen enteros positivos tales que: . Es decir que: Pero, por lo que vimos, se tiene que: . Creo que a partir de acá quizá puede ser más fácil usar algunas desigualdades. Además,… Lee más »
Con un poquito de aritmética elemental podemos tratar de acotar la suma mínima. El mínimo valor para c es 1. La suma de a^2 + b^2 tiene que ser, por lo menos 99 x 99 + 1 = 9802. La suma de dos números cuya suma de cuadrados tiene valor fijo es menor cuanto más distintos sean entre sí, es decir, cuanto mayor sea el mayor y menor sea el menor. El mayor valor que podemos tomar para a es 98 (ya que el enunciado exige que sea entero y menor que 99) luego el cuadrado de b tiene que… Lee más »
Pensemos en un triangulo rectangulo de catetos a y b, y en otro triangulo rectangulo de catetos c y 99. Ambos triángulos tienen la misma hipotenusa, que la podemos ver como el diámetro de una circunferencia.
x^2 + y^2 = r^2, con r=(sqr(a^2+b^2)) / 2
Podemos pintar un triángulo hacia abajo y el otro hacia arriba, formando un cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Y ahora ver cómo maximizar minimizar el perímetro del cuadrilátero (a+b+c+99).
Creo que por aquí podemos llegar a algo.
1- Si hay una errata y sobra el cuadrado del 99…
Dados tres números enteros positivos a,b y c menores que 99 que verifican la ecuación a^2+b^2=c^2+99,hallar el máximo y el mínimo valor de a+b+c.
http://newsgrupos.niuz.biz/es-ciencia-matematicas/1088667-max-y-min-de-b-c.html
2- Y si no hay errata:
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=8&t=128
Mucho nos hemos lanzado a buscar soluciones de «a», «b» y «c» (confieso que támbien lo hice con fuerza bruta, hoja de cálculo) cuando se pide a+b+c que resulta que es facil. Me explico, estudio las posibles valores «b+c» (relamente lo hago con «b-c») para todos los posibles «a» (no son demasiados). A primera vista parece muy pesado pero unicamente se necesita un poco de tiempo para efectuar productos y sumas que se pueden hacer mentalmente.
Ahora veo que es un problema de Olimpiadas, basta saber descomponer en factores primos.
Saludos
Considerando tenemos y Haciendo de donde (b-c)(b+c)=(99-a)(99+a) Por ser necesariamente por tanto lo que equivale a . Con estas condiciones hay que estudiar 28 valores de "a", su estudio es fácil, pongo varios ejemplos; Si a=97, 99-a=2 y 99+a=196 cuyo producto descompuesto en factores primos es , este producto descompuesto en dos factores b-c y b+c, con la condición unicamente es posible b-c 4, 8 ó 14, entonces b+c seran 98, 49 ó 28 respectivamente lo que hace a+b+c igual a 185, 146 ó 125 Si a=91 99-a=8, 99+a=190 producto que descompuesto en primos es , b-c comprendido entre 9… Lee más »
Si no hay errores he encontrado una cota máxima en 281 y buscaré con la misma idea la mínima. Tenemos en cuenta que a> c y b > c y la fórmula demostrada por HM2P33 y llamo A = max(a,b): a+b+c = (99^2+2ab)/(a+b-c) pero 2ab A, luego sutituyendo a+b+c -99^2/A^2 + 2 = 0 => 2 A^2 = 99^2 => para el máximo 99^2/A = 2 A, y A = 70,0.. por lo que a+b+c < 4A casi igual a 280 por encima, luego 280 es el máximo entero posible de a + b +c. Como curiosidad A = max(a,b)… Lee más »
Perdón la cora es 280 (no 281 en el original)
Otra errata: Perdón la cota es 280 (no 281 en el original)
Y se ha publicado con basura
La idea es que de la fórmula a+b+c = (99^2+2ab)/(a+b-c)
pongo algo mayor en el numerador y algo menor en el denominador
Numerador 2A elevado al cuadrado
Denominador A
y me queda a+b+c < (99^2+2A^2)/A
Cáculo el valor A del máximo derivando e igualando a 0 y me sale lo que se ve ya bien
Anulo lo anterior, dado que no es máximo sino un mínimo, y lo escrito no vale.
Perdón
Aportación nimia (para JJGJJG)
Bajo uno la cota superior:
Si a = b => 2a2 = 99^2 + c^2, como 99^2 impar => c^2 impar => c impar, luego c<= 95 y balamos la cota a 291
necesito un proyecto que aplique el mietodo simplex para minimizar y maximizar por favora ayada muchachos
franz, a ver si te sirve esto de algo:
PHPSimplex
¿Me podéis echar una mano con este problema?
Estoy bloqueado…
En la fiesta de la escuela deciden gastar 82 euros para comprar chocolatinas a repartir
entre el alumnado. En una tienda cercana venden las chocolatinas en paquetes de 12
unidades a 6 euros, paquetes de 22 unidades a 10 euros y paquetes de 35 unidades a 15
euros. ¿Cuántos paquetes completos de cada clase se deberán comprar para que la cantidad de chocolatinas sea máxima, si se quiere gastar exactamente los 82 euros?
¿Cuál es el número total de chocolatinas?
Hola Miguel,
euros c/u
si te fijas, el costo por chocolatina en cada caso es:
quiere decir que mientras más se compren en paquetes de 35 saldrá más barato y por tanto el máximo de chocolatinas, esto se logra con: 4 de C, 1 de B y 2 de A:
euros.
chocolatinas.
Esta es la solución. Si quieres hacer un estudio más exhaustivo tendrías que entrar a mirar las ecuaciones diofánticas ya que aquí se buscan resultados con números enteros. Y luego de plantear sus soluciones buscar el máximo de chocolatinas.