Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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de modo que los tres números
x = 2, y = 3, z = 6
2 + 3 + 6 = 11
2 * 3 * 6 =36
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy os traigo el problema de esta semana. Ahí va: Hallar todas las ternas de números racionales positivos de modo que los tres números son números naturales. Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún……
También x = y = z = 1, pero ¿Hay mas?
También es x = y = z = 3
Y también x = 1, y = z = 2
Jugando con las 3 ecuaciones se puede conseguir reducir el problema a una ecuación polinomial de grado 3, función de 3 números enteros.
Ahora me queda aplicar la solución analítica de este tipo de ecuaciones y ver las que tienen sentido según los 3 parámetros enteros.
Un saludo.
Parece que no hay mas soluciones con Nºs naturales, dado que la suma de inversos solo puede ser 1, 2 ó 3.
Para 3 solo hay x = y = z = 1
Para 2 solo hay x = 1, y = z = 2
Para 1 hay x = y = z = 3 además de x = 2, y = z = 4 y x = 2, y =3, z = 6.
y cualquier combinación con Nºs mayores no alcanza el valor 1 en la suma.
Falta ver si hay Nºs racionales que lo cumplan
Con x, y, z enteros es fácil comprobar que solo existen cuatro ternas posibles: (1, 1, 1),
(2, 3, 6), (2, 2, 4) y (3, 3, 3). Queda, pues, resolver si existen ternas con números fraccionarios. (No deberíamos considerar como válidas las que, con igual valor que las citadas están formadas por fracciones impropias equivalentes como (2m/m, 3p/p, 6q/q) a pesar de que también son números racionales).
Así a bote pronto, creo que cualquier solución con fraccionarios se puede convertir en solución con enteros. Por ejemplo, una solución con fraccionarios en x + y + z o n/m + o/p + q/r, multiplicamos la suma por el mcm de m, p y r, que se convierte así en suma de tres enteros. Con las otras dos fórmulas igual o parecido. Luego se escoge el producto de números adecuados para «arreglar» la cosa.
Si JJGJJG tienen razón, sólo hay cuatro soluciones racionales.
Bueh… Con mi «método» se «arreglan» la suma y el producto, pero no tengo claro que se «arregle» la suma de inversos. Tal vez si multiplicamos cada número de la terna solución fraccionaria por el mcm de los denominadores y por el mcm de los numeradores…
No sé…
Para mayor comodidad de escritura, llamo a, b, c, a los números buscados (en lugar de x, y, z). Como 1/a + 1/b + 1/c = (ab + ac + bc)/abc, entonces ab + ac + bc = (1/a + 1/b + 1/d)abc. Luego, ab + ac + bc es un número natural. Consideremos el polinomio P(x) = (x – a)(x – b)(x – c) = x^3 – (ab + ac + bc)x^2 + (a + b + c)x + abc. Los números a, b, c son raíces racionales de P(x), que es un polinomio con coeficientes naturales y además… Lee más »
Hola, factor limitativo más importante es a mi juicio que xyz pertenezca a los naturales, ello, implica que x, y y z son digitos, es decir están entre 0 y 9. Teniendo en cuenta esto la solución correcta es la misma que la Juanjo
Gustavo,
muy bueno.
No conocía el lema de Gauss, y resuleve definitavemente el problema.
5 soluciones.
Un detalle menor, el último término creo que es -abc en vez de +abc
Perdón, si conocía el lema de Gauss, sin nombre y en mi libro de 1º de carrera (que no abría hace 35 años) está.
Correcto, Juanjo, es -abc. Gracias.