Soluciones de ecuaciones cuadráticas

Publicado por ^DiAmOnD^ | 15 febrero, 2011 | Juegos | 8 |

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Probar que para todo valor de $a \in \mathbb{R}$ , al menos una de las siguientes dos ecuaciones cuadráticas

$x^2-(a^2-2) x +a-2=0$
$x^2+(2-a^2) x+a^2+a-1=0$

tiene dos soluciones reales distintas.

Que se dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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15/02/2011 08:53

[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and Ciencia Tecnología, jhonattangaona. jhonattangaona said: Soluciones de ecuaciones cuadráticas: Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado: Probar que para… http://bit.ly/f2Z0xw […]

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josejuan

15/02/2011 09:55

¿Está bien la primera ecuación?, porque yo juraría que la primera ecuación tiene siempre dos soluciones reales se tome el $a$ que se tome…

O es que la segunda es para despistar 🙂

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Ircopcito

15/02/2011 10:27

Sea:
$\alpha$ la representación del coeficiente del término cuadrático, $\beta$ la representación del coeficiente del término lineal y $\gamma$ la del coeficiente del término constante.
$\alpha= 1$
$\beta = (a^2-2)$
$\gamma= (a - 2)$
Usando la fórmula de Bascara…

$x = \frac{-(\beta) \pm \sqrt{\beta^2 - 4*\alpha*\gamma}}{2*\alpha}$
Reemplazando:

$x = \frac{-(a^2-2) \pm \sqrt{(a^2 - 2)^2 - 4* 1 *(a - 2)}}{2*1}$

Simplificando:

$x = \frac{-a^2 + 2 \pm \sqrt{(a^2 - 2)^2 - 4 * (a - 2)}}{2}$

Desarrollando:
$x = \frac{-a^2 + 2 \pm \sqrt{a^4 + 12 - 4 * (a^2 + a) }}{2}$

Como $a^4 + 12$ crece más rápido que $4*(a^2 + a)$ , entonces $a^4 + 12 - 4 * (a^2 + a) > 0 \ \forall \ a \in \mathbb{R}$ , entonces la raiz existe (no es nula), por tanto existen 2 valores diferentes (pertenecientes a los reales) que resuelven la ecuación.

Algo así recuerdo que se resolvía…
Me duele la cabeza, mejor a dormir…

Aioz.-

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josejuan

15/02/2011 12:19

La primera ecuación tiene por raíces

$x\vspace{1pt}=\frac{a^{2}-2\pm \sqrt{a^{4}-4a^{2}-4a+12}}{2}$

que serán reales y diferentes siempre que el radicando sea real positivo, pero la primera derivada respecto de a del radicando es

$\frac{\partial (a^{4}-4a^{2}-4a+12)}{\partial a}=\allowbreak 4a^{3}-8a-4$

y que es cero en los puntos

$\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5},-1$

y en todos ellos el radicando es positivo, por tanto la primera ecuación siempre tiene dos raíces diferentes.

Responde

Bitacoras.com

15/02/2011 13:25

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado: Probar que para todo valor de , al menos una de las siguientes dos ecuaciones cuadráticas tiene dos soluciones reales distintas. Que se dé bien. Entra en Gaussiano……

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gaussianos

Admin

15/02/2011 16:22

Ups…cierto. El problema lo saqué de aquí, donde lo resolvían de otra forma, y no tuve en cuenta ese detalle.

Bueno, como este problema ha sido más fácil de lo esperado os dejo otro para esta tarde.

Responde

Ircopcito

15/02/2011 19:53

¿Eso quiere decir que respondí medianamente correcto?. Wow. :]

Aioz.-

Responde

Ñbrevu

16/02/2011 04:54

No debo de haberme enterado bien, porque me parece increíblemente fácil…

Dados los signos, resulta que las ecuaciones sólo difieren en un término independiente, por lo que la única posibilidad de que ambas tengan una única solución reside en que sean la misma ecuación. Para esto, tiene que verificarse:

$a-2=a^2+a-1\Rightarrow a^2+1=0$

Esta ecuación no tiene solución real, lo que demuestra que las ecuaciones son siempre diferentes sea cual sea el valor de a. De este modo, no puede darse el caso de que ambas tengan una solución doble.

¿Puede ser que en la primera ecuación el término sea $+(a^2-2)$ y no $-(a^2-2)$ ?

Responde

gaussianos

Admin

17/02/2011 03:30

No, no, el enunciado estaba bien. Lo que es cierto es que era demasiado fácil, y yo no me di cuenta antes de plantearlo :S.

Responde

adrian irias

25/02/2011 04:01

No se si estoy interpretando bien el problema al considerar otro punto de vista: debemos demostrar que para cualquier valor real de «a» a lo menos uno de los miembros de este par de parabolas pertenecientes a la familia definida por el enunciado corta al eje de las X siempre en dos puntos (obviamente diferentes). Veamos si podemos establecer una estrategia. Como las parabolas estan «llenando» ( de acuerdo a la presentacion de ambas los terminos cuadraticos son positivos ) si una de ellas esta «arriba» de la otra, entonces el comportamiento de la «mas baja» obliga a la primera… Lee más »

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