Comenzamos esta semana con un problema. Ahí va el enunciado:
Hallar el menor valor posible que toma la expresión
, siendo
y
números reales tales que la ecuación
tiene solución real.
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Yo diría que la solución es
(si no me he equivocado en los cálculos) y se obtiene para 
y 
, pero no desvelaré aún cómo lo he obtenido.
No estoy seguro, pero ¿podría ser 4, tomando a = 0 y b = -2?
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Comenzamos esta semana con un problema. Ahí va el enunciado: Hallar el menor valor posible que toma la expresión , siendo y números reales tales que la ecuación tiene solución real. Que se os dé bien. Entra en Gaussiano……
Con «tiene solución real» te refieres a que todas sus raíces son reales o a que al menos una de sus raíces es real?
Hay solución real por debajo de alguna de las rectas las rectas b = +/- 2a – 2, si |a| = 4, con ‘a’ en el eje horizontal y ‘b’ en el vertical. Ver: http://people.missouristate.edu/lesreid/AdvSol117.html? En algún lado debo tener un applet de GeoGebra sobre este problema. a ver si lo encuentro … La respuesta es claramente el cuadrado de la distancia al origen de las rectas b = +/- 2a – 2, que puesta en forma general es +/- 2a – b – 2 = 0 por lo que el mínimo de a^2 + b^2 es 2^2/(2^2 + 1^2)… Lee más »
Los puntos en que se alcanza el mínimo son evidentemente a = +/- 4/5, b = -2/5, se me escapó ese últimno signo ‘-‘.
Aqui esta el applet:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/MSU_Adv_Oct_08.html
Muestra las zonas en que hay cada número de soluciones y la gráfica de la cuártica cuyos coeficientes a y b son las coordenasdas del punto P, que puede moverse libremente.
asumiendo a=0, x^4+b*x^2+1=0, b=(1-n^2)/n, nER+
d(1/n-n)/dn=0 no existe en R
lim(1/n-n, n->+inf)=-inf
lim(1/n-n, n->-inf)=+inf
lim(1/n-n, n->0)=1/0
lim(1/n-n, n->+1)=1-1=0
si n=1 => b=0, y como a=0 => a^2+b^2=0
Algo hice mal.
sqrt(a^2+b^2)=-(1+x^4)/(sqrt(1-d^2)*x^2+d*x+d*x^3)
Se busca el mínimo y ya esta
Se me ocurre ligarlo a un problema de extremos condicionados de la función s(a,b)=a^2+b^2, aunque habría que mirar cómo condicionar a y b de manera que haya raíz Real… ¿alguna idea? Lo miraré con algo más de tiempo, aunque parece que por ahí arriba ya han dado la solución…
Ésta es una versión mejorada del applet que mencione antes:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Raices_cuartica_reciproca.html
Aunque va un opoco lenta, debido a la simlplificación e intento de factorización del polinomio.
Los puntos más próximos al origen, (a, b) = (0, 0), con raíces reales, está claramente en las proyecciones del origen sobre las rectas b = +/- 2a – 2. Es decir, en (+/- 4/5, -2/5).