Cuarto desafío de verano que nos traen la Real Sociedad Matemática Española y El País, del estilo a los que se propusieron celebrando el Centenario de la RSME y en las dos últimas navidades. En esta ocasión lo propone Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) que, por cierto, ha colaborado un par de veces en Gaussianos (hablándonos sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon y sobre Endre Szemerédi).
Como podéis ver en el título de este post, el problema se titula Un billar a muchas bandas, y podéis ver el vídeo con el planteamiento del mismo haciendo click en este enlace. Dejo aquí de todas formas el planteamiento del problema por escrito:
El desafío se desarrolla en una mesa de billar (sin agujeros) de un metro de ancho por dos metros de largo. Golpeamos una bola situada en el centro de la mesa de tal manera que regresa al centro de la mesa por primera vez después de haber recorrido exactamente 25 metros.
El reto es responder a la siguiente pregunta: ¿cuántas veces ha rebotado la bola en las bandas? La solución deberá ir acompañada de la correspondiente explicación.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Se asume que se golpea a la bola sin ningún tipo de efecto y que esta es tan pequeña que podemos suponer que es un punto. La bola no tiene por qué seguir a trayectoria dibujada en la figura de abajo, que es simplemente un ejemplo para ilustrar cómo sería su movimiento.
Entre los que resuelvan correctamente el desafío se sorteará la colección de libros “Grandes Ideas de la Ciencia”. Si encontráis la solución y queréis participar sólo tenéis que enviarla a desafiodeagosto4@gmail.com antes de que termine el lunes 25 de agosto.
Y respecto al tema de los comentarios, al igual que hemos hecho en todos los desafíos de El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.
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la solución no es única… (?)
El enunciado no parecía dejar lugar a multiples soluciones.
Hola rtomas. La solución SÍ es única, pero hay que tener cuidado
La solución si que es única, pòr lo que se refiere al nº de rebotes en las bandas, aunque naturalmente hay distintas trayectorias simétricas. Aqui se puede practicar un poco:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Billar.html
Aunque la situación concreta del desafío puede ser un poco difícil de reproducir.
Pero para resolverlo basta poco más que el Teorema de Pitágoras …
Yo tengo más soluciones.
Para que la solución fuera única tendrian que haber dejado los agujeros en las esquinas con un radio de 0.04166666666…
Quizás 14 rebotes…
Yo también tengo más de una solución. Dos, concretamente.
Ostras, que fallo. Rectifico, hay solo una.
Creo que lo tengo, entre la solución única, el comentario de Ignacio del Tma de Pitágoras y las simetrías, me sale algo bastante mayor que el que da Lewis… y sí, también es única (por detalles) y bonito… ánimo a quien lo intente!
PD: en realidad comento por no perder el hilo del post y enterarme «de rebote» XD Perdón por el chiste fácil, pero había que hacerlo!
25 rebotes…
Se requiere formar un triángulo de Pitágoras de 15,20 y 25, en donde la hipotenusa es la distancia que recorrerá la bola. Como la mesa mide 1×2, la bola recorrerá 15 veces el lado corto de la mesa y 10 veces el lado largo de la mesa, rebotando 10+15=25 veces en total
Diego, va a ser que no …
vale, ya veo, hay que leer bien el enunciado!!!!
Me recuerda a un problema de OME de fase local y se resuelve parecido. Año 2010, problema 4 (en Galicia) si no me falla la memoria. Hablaba de un rayo rebotando en un triángulo y tal… Aunque ahí se pedía una distancia el modo de solución arroja mucho sobre como enfocar este problema.
Creo que 24 rebotes son suficientes, pero no para que sea la primera vez que vuelva al centro, sino pasando 4 veces antes. Por tanto, no vale.
Aquí hay mucho rebote.
Entiendo que la clave es que vuelve al punto de partida. Es decir, que no es suficiente calcular el numero de rebotes hasta obtener 25m
Además hay que tener en cuenta que los rebotes no tienen por qué ser alternantes entre los lados de 1 y 2. Pueden haber rebotes entre los lados de 2 de manera repetida
Información Bitacoras.com
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La solución, creo yo, puede estar en la «reflexión», en los dos sentidos de la palabra.
Daniel, te refieres a este problema:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Reflexiones_Triangulares.html
Hay que tener cuidado en las ternas pitagóricas con aquellas (o aquella) con múltiplos comunes, porque entonces no cumplimos el enunciado…
Hola:
Inicialmente obtengo tres soluciones posibles pero una de ellas se descarta inmediatamente porque, obviamente, con esa trayectoria la bola pasa muchas veces por el centro antes de recorrer 25 metros. De las otras dos, con un poco de trabajo, se ve enseguida que una de ellas no es correcta ya que, con esa trayectoria la bola habría pasado por el centro en cuatro ocasiones anteriores, concretamente al recorrer 5, 10, 15 y 20 metros. Por cierto, el número total de rebotes es un número primo.
Hay una ambigüedad en lo que puede considerarse la solución PEDIDA. Como implícitamente el enunciado supone que la solución es única, no haría falta demostrar esto, sino simplemente mostrar una solución con los 25 m recorridos al volver al centro por primera vez. Tendríamos la seguridad de que no hay otra.
Y, ahora que pienso, en la misma línea, no sé si hay que demostrar por que se descartan los múltiplos de ternas pitagóricas.
En cualquier caso, he encontrado con cierta facilidad el número de rebotes, con GeoGebra como ayuda para contarlos.
Sí, Ignacio, justo me refiero a ese problema y respecto al enfoque pensé en algo totalmente análogo a lo que sale dándole al botón de ayuda en esa app. Luego ya va todo bastante rodado…
Muy bonito. Pitagoras, simetrias y 4 soluciones simétricas como era de esperar con el mismo Nº de rebotes
Por cierto, y como ayuda menor, hay que tirar a la banda larga
Hola, Juanjo Escribano:
¿Estás seguro? Yo diría que hay que tirar a la banda corta. Concretamente, hay que apuntar a la banda corta a 29,1666 centímetros por encima del centro.
Yo también tiro a banda «corta», un ángulo un poco menos que la mitad del ilustrado si mi vista no me falla, equivalente a 14000 entre 48000.
Revisando el problema (y mi solución) al comentarlo en el desayuno con mi hermano (qué bien sientan las vacaciones!) me he dado cuenta de que había un error menor, aunque sigo con el mismo concepto y me sale un número primo también… pero mayor que 14!
Yo creo que no habría porqué demostrar que la solución es única (no lo pide) pero sí porqué se descartan ciertas ternas, porque en eso basa el procedimiento hasta la solución…
14! me parecen muchos rebotes jajaja
Hola, Daniel:
Sí, como Leo no ha puesto el signo de admiración al comienzo de la frase, parece un factorial. 😉
Respecto a el problema 4 del año 2010 decir que me he vuelto loco buscando hallar el angulo de incidencia , así que me ha parecido mas dificil que los otros supuestamente mas dificiles
Por cierto, puede ser útil este enlace:
http://es.scribd.com/doc/24565763/LISTADO-DE-TERNAS-PITAGORICAS-ENTERAS-a-b-c-a-menor-o-igual-a-100
Saludos
Alguien me da una pista de como saber el angulo o angulos de incidencia para que vuelva al centro ?
Martín. La pista es que no intentes hacerlo así.
Fijaos que el tema de las ternas pitagóricas está relacionado no sólo con el hecho de que la bola pueda pasar por el centro del tablero en varias ocasiones, sino también con la posibilidad de que en un momento dado la bola incida en un vértice de la mesa, que es una situación parecida…
Yo ya he resuelto el problema en un rato libre en el curro. Ternas pitagóricas señores, con poco más que eso es suficiente! Y «reflexionar» mucho como dicen por ahí arriba 😉
Por favor no digáis la solución, aunque creo que ninguno de los que la ha dicho ha acertado, parecen ir un poco al tuntún.
Y la solución es obviamente única.
Por cierto, al menos en mi solución, es irrelevante el hecho de que tires a la banda corta o a la larga. No sé en el procedimiento que hayais usado los demás.
Bueno, a mí me da que hay que tirar a la banda corta obligatoriamente, y ya se ha comentado por aquí… y la solución es un número primo…
Después de mucha «reflexión» he llegado a la conclusión de que hay 19 rebotes, 7 de ellos en la banda vertical(corta) y 12 en la horizontal(larga)
P.S. Además de esta solución existen otras tres que se obtienen aplicando las correspondientes simetrías.
Para los que les sepa a poco sugiero pasar a 3D
Sustituimos mesa de billar por habitación de 6*7*3
Sustituimos 25 por 97
Sustituimos bola de billar por pelota de frontón
Bueno.. para variar me hice un lío con las direcciones: son 12 rebotes en la banda corta y 7 en la larga y efectivamente el primer rebote tiene que ser en la banda corta: si tomamos como dirección de referencia la banda larga hay que disparar con un ángulo cuya tangente vale 6 / 7 < 1
El problema de Sebas está interesante. A mí me queda resolver la ecuación correspondiente y ver unicidad de solución. Voy a intentar no programarlo (a ver si con módulos reduzco las comprobaciones a unas pocas) y se da hecho a mano.
Sebas Es curioso que nada más empezar a pensar en el nuevo problema lo primero de lo que me he dado cuenta es de que se puede resolver asumiendo que la trayectoria de la pelota está en un plano y que sigue siendo un problema 2D (aunque con algún elemento 3D)
Ternas pitagoricas… pues mira que no lo veo claro , sigo muy cabezon con lo de saber el angulo de incidencia y tal
El ángulo de incidencia se puede calcular a posteriori, pero no es el camino para sacar la solución. Yo la primera vez que vi algo así también me di de cabeza con el tema del ángulo varias veces y al final después de un tiempo sin resolverlo había optado por mirar la solución porque no había manera.
Como ayuda http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimp2010_archivos/primera_fase_problemas/solviernes-viernes.pdf dejo el problema 4 local de 2010 solucionado (sacado de la página de la OME). El procedimiento es muy parecido.
Rebota 25 veces. Y el ángulo de 36º.
Una vez más otra corrección 🙁 la tangente del ángulo es 7 / 24 y no 6 / 7
7,24 o 15,20 (impar, par: vertical, horizontal)
Lewis.
Lo que escribes no es el número de rebotes sino otra cosa. Por otra parte, una de las dos soluciones que das no es posible ya que, en ese caso, la bola pasa por el centro varias veces antes de los 25 metros.
Por cierto, JoseLo, ¿no habíamos quedado en que no se podía dar la solución?
En el problema de Sebas me salen de soluciones 21,31,35 y 37 rebotes. Todo eso haciendo un valor = 1 (que puede valer 8 o 10 y aún me quedan por mirar esos casos) con lo cual tiene pinta de haber bastantes soluciones… En cualquier caso, si no me confundí no hay solución única en ese problema 3D.