Vamos con el problema de esta semana. A ver si después de este fin de semana largo tenemos la cabeza lo suficientemente centrada como para resolver con rapidez:
Determinar el menor valor posible que toma la expresión
siendo
una permutación de
.
A por él.
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Por la desigualdad aritmetico geometrica
.
, de modo que este es valor pedido.
por lo tanto la expresion siempre toma valor mayor o igual que
Por otra parte
(jajajaj hacia tiempo que no cogia uno de estos a tiempo 🙂 )
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos and Ciencia Tecnología, redes sociales web. redes sociales web said: #hispaciencia Menor valor: Vamos con el problema de esta semana. A ver si después de este fin de semana largo tene… http://bit.ly/aNuBHJ […]
Además esos productos que ha encontrado Dani son los únicos que minimizan la expresión. Si buscamos otros tres productos de tres números que sumen 214 y su producto sea
, a partir de la desigualdad
se puede encontrar que
y lo mismo para los demás productos.
Analizando el polinomio se puede ver que los únicos valores posibles de los productos
, 
y 
son 70 y 72 y los valores que ha encontrado Dani son los únicos que pueden dar esos productos.
pues vaya si lo resolvió con rapidez 🙂
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Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. A ver si después de este fin de semana largo tenemos la cabeza lo suficientemente centrada como para resolver con rapidez: Determinar el menor valor posible que toma la expresión siendo……
Mínimo(a1a2a3+a4a5a6+a7a8a9)=774
147+258+369
147+259+368
147+268+359
147+269+358
Y así hasta 36 resultados.
¿Como se deduce la desigualdad que ocuparon al principio?
¿Alguien sabe?
Saludos!
Lecter, puedes ver varias pruebas aqui: http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_de_las_medias_aritmética_y_geométrica aunque no es de las mas bonitas. Hay mas en la wiki inglesa y hay una demostracion usando teoria de la medida que es fantastica. Si a alguien le interesa la cuento. Creo que es interesante preguntarse la siguiente generalizacion: Si fijamos y un divisor de , cual es el minimo valor que puede alcanzar la expresion: tomando ? Una vez mas por la desigualdad aritmetico geometrica vemos que nunca va a poder ser menor que , pero no esta nada claro que se pueda alcanzar el valor entero inmediatamente mayor (o igual)… Lee más »
El problema me recuerda al «subset sum», se trata de hacer que todos los sumandos tengan el mismo valor (el más parecido posible). Creo que es un problema de combinatoria… Aunque en este caso los elementos que intervienen son conocidos (de 1 a n), igual hay una propiedad por ahí… —————————— Si d=1 o d=n o n es primo (d=1 o n) la solución es trivial (todo sumas o todo productos). En otro caso, para obtener soluciones únicas podemos ordenar los sumandos por aquel que tiene el menor número al mayor, y dentro de cada sumando por el menor número… Lee más »
Veo que la suma geométrica es menor que la aritmética. Pero de donde se saca que es el mínimo valor??. Por definicion, si se tiene un conjunto de sumandos su valor mínimo va a ser su media geométrica???.
Siempre es interesante ver otras maneras de resolver el problema, se me ocurre una que es más laboriosa, pero tiene algunas ventajas: Permite deducir los valores que minimizan la suma y además demostrar que los valores que encuentra Dani son únicos salvo permutaciones triviales. Por otra parte es un método entretenido, donde hay que recurrir a la lógica, tipo Sodoku, tanteando hasta llegar a la solución final. El método se basa en una propiedad que ha de cumplir la solución. Supongamos que tenemos dos de los sumandos de la solución y , con . Como forman parte de la solución… Lee más »
Pues si que es interesante porque la «solucion minimizadora» la encontre a ojo tanteando para que los tres productos fuesen lo mas parecidos posibles, pero si tuviesemos una expresion mas complicada seria imposible proceder de esta manera y habria que recurrir a un algoritmo como el que acabas de mostrar (evidentemente el algoritmo de probar todas las cominaciones es una locura- requiere un numero de computaciones que crece desorbitadamente con ). Me pregunto si serias capaz de generalizar este algoritmo para el problema que he propuesto y si el numero de computaciones necesarias puede acotarse de manera razonable (por ejemplo… Lee más »
Gracias, bueno yo conocía la demostración por inducción, pero no es de las mas sutiles que digamos jaja, saludos y nuevamente gracias.
Con el resultado de @Gulliver se prueba que para todas las expresiones en que los sumandos están formados por dos multiplicandos, su solución es única (salvo permutaciones de términos y de multiplicandos dentro de cada término) y además, son de la forma:
es decir
(es claro que N debe ser par para poder agrupar por parejas).
Así, para cada N existe una expresión para el mínimo buscado, para agrupaciones de 1 cifras, N cifras y 2 cifras.
Ya sólo falta el resto de divisores de N, ja, ja, …
Conjetura:
Para
cifras (de 
a 
) agrupadas en términos de 
multiplicandos, existe una permutación con valor mínimo de la forma: