Los centros del triángulo: el punto de Gergonne

Después de unas semanas sin acordarnos de ellos volvemos a la carga con los centros del triángulo. Hoy vamos a ver cómo construir el denominado punto de Gergonne, que fue descubierto por el matemático frances Joseph Diaz Gergonne.

En esta ocasión también es muy fácil construir este punto. Construimos nuestro triángulo y después trazamos las bisectrices de cada uno de sus ángulos (en línea discontinua en el dibujo). El punto de intersección de las tres bisectrices, que recuerdo que se denomina incentro, es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Representamos ese punto ( en el dibujo) y trazamos la circunferencia inscrita. Para dibujarla en GeoGebra lo que he hecho es trazar una perpendicular a uno de los lados que pase por el punto . Esa perpendicular corta a dicho lado en un punto, digamos . El segmento es el radio de dicha circunferencia.

Cuando tenemos trazada la circunferencia inscrita marcamos los puntos en los que corta a cada uno de los lados (en el dibujo, y ) y después trazamos las rectas que unen cada vértice con el punto de corte de esa circunferencia con el lado contrario a dicho vértice. Esa tres rectas se cortan en un punto, que es el denominado punto de Gergonne.

Y ahora, como en todos estos artículos, una construcción hecha con GeoGebra para ilustrar la explicación anterior:

Y para terminar os dejo este artículo pdf en el que podéis ver más de veinte teoremas sobre el punto de Gergonne encontrados por un programa de ordenador especializado en encontrar resultados relacionados con la geometría euclídea. Casi nada.